- •1. Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события.
- •2. Основные типы событий, алгебра событий.
- •3.Понятие вероятности события. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Свойства вероятностей.
- •Урны и шарики
- •Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
- •8.Формула полной вероятности.
- •9. Формула Бейеса.
- •10. Формула (схема) Бернулли.
- •11. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Формула Пуассона и условия её применимости.
- •Предельные теоремы для схем Бернулли
- •Пуассоновское приближение
- •Нормальное приближение
- •О применимости предельных теорем в схеме Бернулли
- •12. Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •13. Дискретные случайные события и возможности их описания.
- •15. Функция распределения и её свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал.
- •16. Плотность распределения и её свойства. Вероятностный и геометрический смысл плотности распределения.
- •17. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
- •18. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Свойства дисперсии. Производящая функция.
- •19. Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили распределения.
- •20. Математическое ожидание и дисперсия числа появления события в независимых опытах.
- •21. Непрерывная случайная величина. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •Кривая распределения вероятностей.
- •22. Закон равномерного распределения.
- •23. Экспонентный закон распределения.
- •24. Нормальное распределение. Функция Лапласа. Вероятность попадания в заданный интервал.
- •25. Функция распределения двумерной случайной величины.
- •26. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и её свойства.
- •27. Зависимость и независимость двух случайных величин. Числовые характеристики двумерной с.В. Математическое ожидание и дисперсия.
- •28. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Свойства ковариации и коэффициента корреляции.
- •Свойства ковариации Править
- •29. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство и теория Чебышева
- •31. Центральная предельная теорема.
- •32. Математическая статистика. Основные понятия.
- •33. Генеральная совокупность и выборка. Характеристики выборки. Способы отбора.
- •34. Статистическое распределение выборки.
- •35. Эмпирическая функция распределения.
- •36. Полигон и гистограмма.
- •37. Статистические оценки параметров распределения.
- •39. Точечная и интервальная оценки. Доверительный интервал. Методики нахождения точечных оценок.
- •40. Метод статистических гипотез.
37. Статистические оценки параметров распределения.
Пусть x1, x2, …, xn – выборка объема n из генеральной совокупности с функцией распределения F(x ). Рассмотрим методы нахождения оценок параметров этого распределения. Рассмотрим для этого выборочное распределение, т.е. распределение дискретной случайной величины, принимающей значения x1, x2, …, xn с вероятностями, равными 1/n . Числовые характеристики этого выборочного распределения называютсявыборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками. Следует отметить, что выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения генеральной совокупности. Однако эти характеристики можно использовать для оценок параметров генеральной совокупности. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Точечная оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки (n => ∞) она сходится по вероятности к истинному значению параметра. Эффективной называют точечную оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию. В математической статистике показывается, что состоятельной, несмещенной оценкой генерального среднего значения а является выборочное среднее арифметическое: где хi – варианта выборки, ni – частота варианты хi, – объем выборки. Для упрощения расчета целесообразно перейти к условным вариантам (в качестве с выгодно брать первоначальную варианту, расположенную в середине вариационного ряда). Тогда . Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины Х. Если величина Х распределена по нормальному закону, то оценка является эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправления выборочная дисперсия , так как , где σ2 – генеральная дисперсия. Более удобна формула . Если . Оценка s2 для генеральной дисперсии является также и состоятельной, но не является эффективной. Однако в случае нормального распределения она является «асимптотически эффективной», то есть при увеличении n отношение ее дисперсии к минимально возможной неограниченно приближается к единице. Итак, если дана выборка из распределения F(x) случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией σ2 , то для вычисления значений этих параметров мы имеем право пользоваться следующими приближенными формулами:
38. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.
Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:
, (16.1)
где xi– варианты,ni- частоты.
Замечание.Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой случайной величины. В дальнейшем будет рассмотрен вопрос, насколько точной является такая оценка.
Определение 16.2. Выборочной дисперсиейназывается
, (16.2)
а выборочным средним квадратическим отклонением –
(16.3)
Так же, как в теории случайных величин, можно доказать, что справедлива следующая формула для вычисления выборочной дисперсии:
.