adapt_curs

ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА ПРИ СИБИРСКОМ ФЕДЕРАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

МАТЕМАТИКА АДАПТАЦИОННЫЙ КУРС

Учебное пособие

Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия по дисциплине вузовского компонента "Математика.

Адаптационный курс" для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности ВПО 010101 "Математика" , направлениям 010100 "Математика" , 010300 "Математика. Компьютерные науки"

Красноярск ИПК СФУ 2009

УДК 51(075) ББК 22.1я73 K97

Рецензенты:

профессор Сибирского государственного аэрокосмического университета С.И. Сенашов; кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений

Института математики Сибирского федерального университета

K97 Математика. Адаптационный курс : учеб. пособие / ЗЕНШ при СФУ; сост. : А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, С.Г. Мысливец. Красноярск ИПК СФУ, 2009. 196 с.

ISBN 978-5-7638-1552-8

Учебное пособие предназначено для проведения занятий по элементарной математике для студентов первого курса специальностей и направлений, обучение на которых предполагает высокий базовый уровень математической подготовки. Оно также может быть полезно выпускникам школ при подготовке к сдаче единого государственного экзамена.

УДК 51(075) ББК 22.1я73

ВВЕДЕНИЕ

Данное учебное пособие предназначено для проведения занятий по элементарной математике для студентов первого курса специальностей и направлений с большим объемом дисциплин математического цикла. Цель этих занятий состоит в том, чтобы по возможности быстро довести математическую подготовку первокурсников до уровня, необходимого для успешного освоения таких разделов высшей математики, как математический анализ, линейная алгебра, аналитическая геометрия и др. Пособие также может быть полезно выпускникам школ и абитуриентам как при самостоятельной подготовке к сдаче единого государственного экзамена, так и для занятий в группе на подготовительных курсах.

Теоретический материал, практические занятия систематизированы по темам и уровню сложности, приведены примеры с решением задач. Таким образом пособие ориентировано на широкий круг учащихся с различным уровнем математической подготовки и различными целями изучения математики.

В пособии мы придерживаемся обычных обозначений теории множеств: пустое множество ?, знаки теоретико-множественных операций \, [, , , 2. Обозначения числовых множеств: N множество натуральных чисел, Z множество целых чисел, Q множество рациональных чисел, R множество действительных (вещественных) чисел. Обозначения числовых промежутков (a; b); открытый промежуток или интервал, [a; b] замкнутый промежуток или отрезок, [a; b), (a; b], ( 1; a], ( 1; a), (a; +1), [a; +1), ( 1; +1)=R числовые промежутки разного типа.

Учебный план курса

I. Преобразование арифметических и алгебраических выражений

Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. Модуль (абсолютная величина) действительного числа и его геометрический смысл. Проценты, пропорции. Числовые и буквенные выражения. Равенство и тождество. Формулы сокращен-

ного умножения. Свойства степеней и действия с арифметическими корнями. Сте- p

пень с рациональным показателем. Арифметический корень. Тождество 2n x2n =jxj. Действия над арифметическими корнями. Выделение полного квадрата в подкоренных выражениях. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Упрощение иррациональных алгебраических выражений и выражений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

II. Прогрессии и текстовые задачи

Понятие о числовой последовательности и способах ее задания. Арифметическая прогрессия, определение и свойства. Формула n–го члена и суммы первых n членов прогрессии. Геометрическая прогрессия, определение, свойства. Формула n–го члена и суммы первых n членов прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, ее сумма. Схема решения текстовых задач. Задачи, связанные с понятием "концентрация"и "процентное содержание". Задачи на движение, работу

3

и производительность труда. Задачи на процентный прирост и вычисление сложных процентов.

III. Рациональные уравнения

Равенство, тождество, уравнение. Корень уравнения. Равносильные уравнения и неравносильные преобразования при решении уравнений. Расширение и сужение области допустимых значений уравнения. Линейные уравнения. Уравнения с параметром. Квадратные уравнения. Дискриминант. Формула для решения квадратных уравнений. Теоремы Виета, прямая и обратная. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Биквадратные уравнения. Рациональные уравнения. Многочлен с одной переменной. Корень многочлена, теорема Безу, разложение многочлена на множители.

IV. Алгебраические уравнения и системы уравнений

Иррациональные уравнения, область допустимых значений. Уравнения с параметром и уравнения с модулем. Системы уравнений. Совместные и несовместные системы уравнений. Определенные и неопределенные системы уравнений. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический способ решения. Линейные системы с параметром. Различные системы уравнений (рациональные и иррациональные). Системы уравнений с параметром.

V. Рациональные неравенства

Числовые неравенства, их свойства. Неравенства с одной переменной, равносильные преобразования неравенств. Решение квадратных неравенств, рациональных неравенств. Метод интервалов. Системы рациональных неравенств. Равносильные преобразования систем. Совокупность систем неравенств. Неравенства с параметром.

VI. Алгебраические неравенства

Иррациональные неравенства и их системы. Область допустимых значений. Неравенства, содержащие знак модуля, и их системы. Схемы решения. Равносильные преобразования неравенств и систем неравенств, неравенства с параметром.

VII. Преобразование тригонометрических выражений

Понятие угла и дуги, их градусная и радианная меры. Определение тригонометрических функций числового аргумента: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Промежутки сохранения знака для тригонометрических функций. Вычисление значений тригонометрических выражений без таблиц. Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента. Основное тригонометрическое тождество. Четность, нечетность. Периодичность.

4

Формулы сложения. Формулы приведения. Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение и обратно.

Определение обратных тригонометрических функций: арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. Нахождение тригонометрических функций от обратных тригонометрических функций.

VIII. Тригонометрические уравнения и неравенства

Решение простейших тригонометрических уравнений: sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a. Основные типы тригонометрических уравнений и методы их решения: метод дополнительного угла; замена переменной в уравнениях вида R(cos x+sin x; cos x sin x)=0; понижение степени уравнения переходом к кратным углам; однородные тригонометрические уравнения; выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Тригонометрические неравенства.

IX. Преобразование логарифмических и показательных выражений

Логарифмы, десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмы произведения, частного, степени и корня. Основное логарифмическое тождество. Переход к новому основанию. Потенцирование. Преобразование показательных выражений. Преобразование смешанных выражений.

X. Логарифмические и показательные уравнения

Показательные уравнения, логарифмические уравнения. Простейшее уравнение. Приемы сведения уравнения к простейшему. Смешанные уравнения и уравнения с параметром.

XI. Логарифмические и показательные неравенства и системы уравнений

Показательные неравенства. Логарифмические неравенства. Смешанные неравенства. Логарифмические и показательные системы уравнений. Неравенства с параметром. Системы уравнений с параметром.

XII. Функции и их графики

Понятие числовой функции, способы задания, область определения, область значений функции. График функции. Общие свойства функции: промежутки знакопостоянства, монотонность, ограниченность, четность, нечетность, периодичность. Понятие обратной функции. Графики прямой и обратной функции.

Элементарные функции.

Преобразования графиков функций: сдвиг вдоль осей координат, растяжение и сжатие вдоль осей координат, преобразования, связанные с наличием знака модуля у аргумента или функции.

5

XIII. Исследование функций

Уравнение касательной к графику функции.

Правила вычисления производных: производные суммы, разности, произведения и частного двух функций. Таблица производных. Производная сложной функции. Максимумы и минимумы (экстремумы) функции, промежутки возрастания и убывания. Общая схема построения графиков функций. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Применение производной для решения задач.

XIV. Планиметрия. Основные понятия

Смежные и вертикальные углы, их свойства. Перпендикуляр и наклонная. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Признаки параллельности прямых. Теорема Фалеса. Свойство средней линии треугольника. Треугольники. Признаки равенства треугольников. Правильный треугольник. Равнобедренный треугольник и его свойства. Медиана, биссектриса, высота треугольника. Сумма величин внутренних углов треугольника и выпуклого многоугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Свойства углов с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников. Прямоугольный треугольник и метрические соотношения в нем. Катет и гипотенуза. Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Окружность, круг.

XV. Планиметрия. Различные геометрические фигуры на плоскости

Параллелограмм, свойства и признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Средняя линия трапеции. Свойство диагоналей в ромбе. Вписанные и описанные многоугольники. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность. Свойство четырехугольника, описанного вокруг окружности. Окружность, вписанная в треугольник, ее центр и радиус. Площадь треугольника, параллелограмма, ромба, прямоугольника, трапеции. Длина окружности, число . Площадь круга, площадь сектора.

XVI. Векторы на плоскости и в пространстве

Векторы на плоскости и в пространстве, линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на число. Метод координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами в координатной форме. Длина вектора. Скалярное произведение векторов, его свойства. Угол между векторами. Условия перпендикулярности и коллинеарности векторов.

6

XVII. Стереометрия

Прямые и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве. Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. Признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Многогранники. Призма, виды призм: прямая и правильная призмы, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед. Пирамида. Площадь поверхности и объем призмы, параллелепипеда и пирамиды. Тела вращения (цилиндр, конус и шар). Площадь поверхности и объем цилиндра, конуса, усеченного конуса. Сфера, шаровой сектор, шаровой сегмент. Площадь поверхности сферы, объем шара.

1.Преобразование арифметических и алгебраических выражений

Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. Модуль (абсолютная величина) действительного числа и его геометрический смысл. Проценты, пропорции. Числовые и буквенные выражения. Равенство и тождество. Формулы сокращенного умножения. Свойства степеней и действия с арифметическими корня-

ми. Степень с рациональным показателем. Арифметический корень. Тождество p

2n x2n =jxj. Действия над арифметическими корнями. Выделение полного квадрата в подкоренных выражениях. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Упрощение иррациональных алгебраических выражений и выражений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

1.1. Справочный материал

При решении задач на выполнение арифметических действий прежде всего следует обратить внимание на форму представления чисел и порядок действий. В процессе вычислений нужно сначала максимально упростить арифметическое выражение, выбрав подходящее представление чисел, освободиться от степеней с отрицательными показателями и т. п.

Разложение натурального числа на простые множители

Для разложения натурального числа на простые множители применяем следующий прием:

а) подбираем наименьшее простое число, на которое делится данное число; б) представляем данное число как произведение найденного простого множителя и некоторого натурального числа;

в) повторяем пункты а) и б) для нового натурального числа до тех пор, пока оно не станет равным единице.

7

Наибольший общий делитель

Для отыскания наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел необходимо выполнить следующие операции:

а) разложить каждое из данных чисел на простые множители; б) найти произведение простых множителей, входящих в каждое из данных чисел.

Если какой-то простой множитель входит в эти разложения в разных степенях, то в наибольший общий делитель он входит в наименьшей из этих степеней. Если нет ни одного простого множителя, входящего в оба рассматриваемых числа, то наибольший общий делитель равен единице. В этом случае говорят, что числа взаимно просты.

Можно рекомендовать также следующий способ нахождения НОД двух натуральных чисел a и b (алгоритм Евклида). Пусть b6a. Сначала делим большее число a на меньшее число b. Остаток от деления обозначим r1. Затем делим b на r1. Остаток от деления обозначим через r2. Потом r1 делим на r2. И так далее. Получаем остатки r3, : : :, rk, : : :. Если на некотором шаге получаем, что rk =0 (т. е. деление произошло нацело), то предыдущий остаток rk 1 и есть НОД. Если же на некотором шаге rk =1, то числа взаимно просты и их НОД=1.

Наименьшее общее кратное

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух натуральных чисел необходимо выполнить такие операции:

а) разложить каждое из данных чисел на простые множители; б) найти произведение простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного из чисел.

Если какой-то простой множитель входит в эти разложения в разных степенях, то в наименьшее общее кратное он входит в наибольшей из этих степеней.

Полезно помнить формулу о связи НОД и НОК. Если a и b натуральные числа, то НОД(a; b) НОК(a; b)=a b.

Модуль (абсолютная величина) числа

По определению для всякого вещественного числа a

8

>a; если a>0;

<

jaj= 0; если a=0;

>

: a; если a<0:

Свойства модуля

1.jaj>0 и jaj=0 в том и только в том случае, когда a=0;

2.jabj=jaj jbj;

3.ja+bj6jaj+jbj (неравенство треугольника).

Формулы сокращенного умножения

8

Свойства степеней и действия с корнями

Для вещественных a; x; y и натуральных n и k

крайними членами, x и b – средними членами пропорции. Свойства пропорции:

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних чле-

е. в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

4. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, надо произведение крайних (средних) членов разделить на известный средний (крайний) член

Средним геометрическим n неотрицательных чисел a1; : : : ; an называется число p

n a1 an.

9

Классическое неравенство

pab6 a+2 b

справедливо для неотрицательных чисел a и b.

Проценты

Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Процент обозначается знаком %. Например, 5 %, 100 %.

Если данное число принять за 1, то 1 % составляет 0,01 этого числа, 25 % составляют 0,25 числа (или 14 числа) и т. д.

Чтобы число процентов выразить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на 100. Например, 125 %=1; 25; 2; 3 %=0; 023.

Чтобы найти a % от числа b, надо b умножить на 100a . Например, 30 % от 60

составляют 6010030 =18.

Если известно, что a % числа x равно b, то число x можно найти по формуле x= ab 100.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение этих чисел умножить на 100 %, т. е. вычислить ab 100 %.

Упрощение алгебраических выражений

Алгебраическое выражение это выражение, содержащее некоторые числа и некоторые переменные, над которыми производятся алгебраические операции: сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня и взятие модуля (абсолютной величины).

Под упрощением алгебраического выражения понимается приведение его к виду, содержащему меньшее число алгебраических операций.

Если в алгебраическом выражении присутствуют только арифметические операции: сложение, умножение, вычитание и деление, а также возведение в целую степень, то оно называется рациональным.

Алгебраическое выражение, содержащее знаки корня или возведение в нецелую степень, но не содержащее модулей, называется иррациональным.

При преобразовании иррациональных выражений необходимо учитывать, что по определению корень четной степени есть величина неотрицательная, в то время как корень нечетной степени может быть как положительной, так и отрицательной величиной (см. свойства степеней).

Преобразование алгебраических выражений, содержащих знак модуля некоторой функции, обычно производится отдельно на каждом промежутке знакопостоянства этой функции.

1.2. Примеры

Пример 1. Найти частное от деления наименьшего общего кратного чисел 12 600 и 8820 на их наибольший общий делитель.

10