- •10 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •11!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
- •12!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Общее Частное Базисное решения
- •13!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Собственные векторы и собственные значения
- •Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
- •14 !!!!!!!! Линейная модель многоотраслевой экономики Леонтьева
- •15!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Операции над векторами Умножение вектора на число
- •16 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Определение линейной зависимости системы векторов
10 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
Составим матрицы: A = ; B = ; X = .
Систему уравнений можно записать:
AX = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,
т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В
Х = А-1В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А-1.
= det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11 = = -5; M21 = = 1; M31 = = -1;
M12 = M22 = M32 =
M13 = M23 = M33 =
A-1 = ;
Cделаем проверку:
AA-1 = =E.
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В = = .
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.
11!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) снеизвестными. Требуется решить эту систему: определить, сколько решений она имеет (ни одного, одно или бесконечно много), а если она имеет хотя бы одно решение, то найти любое из них.
Формально задача ставится следующим образом: решить систему:
где коэффициенты иизвестны, а переменные— искомые неизвестные.
Удобно матричное представление этой задачи:
где — матрица, составленная из коэффициентов,и— векторы-столбцы высоты.
Стоит отметить, что СЛАУ может быть не над полем действительных чисел, а над полем по модулю какого-либо числа , т.е.:
— алгоритм Гаусса работает и для таких систем тоже (но этот случай будет рассмотрен ниже в отдельном разделе).
Алгоритм Гаусса
Строго говоря, описываемый ниже метод правильно называть методом "Гаусса-Жордана" (Gauss-Jordan elimination), поскольку он является вариацией метода Гаусса, описанной геодезистом Вильгельмом Жорданом в 1887 г. (стоит отметить, что Вильгельм Жордан не является автором ни теоремы Жордана о кривых, ни жордановой алгебры — всё это три разных учёных-однофамильца; кроме того, по всей видимости, более правильной является транскрипция "Йордан", но написание "Жордан" уже закрепилось в русской литературе). Также интересно заметить, что одновременно с Жорданом (а по некоторым данным даже раньше него) этот алгоритм придумал Класен (B.-I. Clasen).
12!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Общее Частное Базисное решения
Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:
Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.
Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.
Базисное решение (вектор) называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.
Теорема (1)
Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).