- •1. Задачи, приводящие к оду
- •2.Оду 1-го порядка. Общие понятия
- •4. Однородное (относительно переменных) оду 1-го порядка
- •5. Линейные оду 1-го порядка, их интегрирование
- •6.Уравнение Бернулли, его интегрирование.
- •7.Уравнение в полных дифференциалах, его интегрирование.
- •8.Оду n-го порядка. Общая теория.
- •9.Оду высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •10. Лоду n-го порядка. Общая теория
- •11. Теорема о структуре общего решения лоду n-го порядка (Если надо будет, то это свойство 5)
- •12.Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами, его решение
- •13.Лноду n-го порядка. Общая теория.
- •14.Теарема о структуре общего решения лноду n-го порядка.
- •15.Нахождение частных решений лноду n-го порядка по виду правой части.
- •16. Решение лноду n-го порядка методом вариации постоянных
- •17. Нормальные системы оду 1-го порядка. Общая теория
- •18. Приведение нормальной системы оду 1-го порядка к одному оду высшего порядка
- •19.Приведение оду высшего порядка к нормальной системе оду 1-го порядка.
- •20.Системы линейных оду 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера для решения этих систем.
1. Задачи, приводящие к оду
Задача 1 (Задача о радиоактивном распаде)
Составить уравнение радиоактивного распада вещества при условии, что скорость распада пропорциональна количеству вещества в любой момент времени t.
Решение
m(t) - количество вещества
- скорость распада
= - mk (1)
m' + mk = 0
Задача 2 (Задача о свободном падении тела в среде с сопротивлением)
Произвольное тело массой m свободно падает в воздушной среде. составить дифференциальное уравнение относительно скорости паления при условии того, что скорость пропорциональна силе сопротивления.
Решение
ma = mg - kv (2)
= ma
mv' + kv = mg (2')
Задача 3 (Задача об охлаждении нагретого тела)
В среде с температурой среды Tc находится нагретое тело. Составить дифференциальное, описывающие процесс охлаждения тела в этой среде при условии, что v охлаждения пропорциональна разности TЛ - Tс
Решение
T(t)
= - (Tл - Tc) (3)
T' + k(Tл - Tc) = 0 (3')
2.Оду 1-го порядка. Общие понятия
F(x, y, y') = 0 (1)
y' = f(x, y) (1')
Начальное условие одно, так как порядок 1
НУ : y(x0) = y0 (2)
(1) - (2) - называется задача Коши для дифференциального уравнения (1)
y = (x) - решение, график его решения называется интегральная кривая.
О1 Общим решением (ОР) дифференциального уравнения называется однопараметрическое семейство функций y= (x, С), которое удовлетворяет 2 условиям
1) y = (x, С) - является решением при любом С.
2) при любом НУ вида (2) существует такое C = C0, что y = (x, С0) - решение удовлетворяет этому НУ
y= (x, С) - ОР
О2 Частным решением (ЧР) ОДУ называется решение, полученное из общего решения при фиксированном C = C0, то есть y = (x, С0) - ЧР
Иногда общее решение получается не в виде y = (x, С), а в виде ϕ (x, y, C) = 0 - интеграл.
Частный интеграл - решение, полученное из общего интеграла при фиксированном значении C, то есть
C = C0
ϕ (x, y, C0) - частный интеграл
Теорема (О существовании единственности решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка)
Пусть имеем задачу Коши для ОДУ 1-го порядка
y' = f(x,y), y(x0) = y0
Пусть f непрерывна в некоторой области D ⊂ R2 и M0(x0, y0) ∈ D, тогда в некоторой окрестности точки x0:(x0- δ, x0+δ), тогда существует по меньшей мере одно решение y = 𝜑(x) этого дифференциального уравнения. При дополнительном условии ограниченности вот такой частной производной в некоторой окрестности точки M0, это решение единственно и удовлетворяет НУ (без доказательства)
3. ОДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными.
y' = f1(x)*f2(y) (1)
M1(x)*M2(y)dx + N1(x)*N2(y)dy = 0 (2)
N1(x)*N2(y)dy = - M1(x)*M2(y)dx
dy = - dx
= -
4. Однородное (относительно переменных) оду 1-го порядка
О1 Называется однородным к-го порядка если выполняется следующее равенство
f(λx, λy) =λk f(x, y)
Если к = 0, то это однородное уравнение нулевого порядка.
О2 ОДУ y'= f(x, y) Называется однородное(относительно переменных), если f(x, y) - однородное нулевого порядка
y'= ( ) (1)
= t
y=tx
y' = t'x + t
t'x + t=
x=- t
=
=