Термех__109_теор механика_Тарг

ШШШШШШЯШ

Ш Ш / Ш Ш Ш

Рис. ДЗ.О

Рис. Д3.1

Рис. Д3.2

Рис. ДЗ.З

Пример

ДЗ.

Механическая

система состоит из грузов D\

массой mi и D2

массой

т 2

и из

прямоугольной

вертикальной

плиты

массой

тз,

движущейся

вдоль

горизонтальных

направ-

ляющих

(рис.

ДЗ).

В

момент

времени /0

=

0, когда система на-

ходилась в покое, под действием

внутренних

сил

грузы

начинают

двигаться по желобам, представ-

Рис. ДЗ

ляющим собой окружности ради-

усов г

и R, по законам

q>i =

fi(t)

И ф2 =

fi{t).

Д а н о :

mi =

6 кг, m2 =

8 кг, тз =

12

кг,

г — 0,6

м, R =

1,2 м,

ф! = nt

рад,

ф2 =

-^-{1 — 0

РаД

U — в

секундах).

О п р е д е л и т ь :

хз — fiit)

— закон движения плиты, N = f{i) — закон изменения

со вре-

менем полной нормальной реакции направляющих.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты

и грузов D1 и 02, в произвольном положении

(рис. ДЗ).

Изобразим

действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р\,

Рз и

реакцию направляющих N. Проведем координатные оси Оху

так,

чтобы ось у проходила через точку Сзо, где находился центр

масс

плиты в момент времени to =

0.

а) Определение перемещения

хз• Для определения

х3

=

f3(t)

вос-

дифференциальное уравнение его движения в проекции на

ось х.

Получим

Мхс =

или Мхс — 0 ,

(1)

постоянная. Так как в начальный

момент времени vcx — 0, то Сi =

0.

Интегрируя уравнение Мхс =

0, получим

Мхс=

const,

(2)

т. е. центр масс системы вдоль оси Ох перемещаться не будет.

Определим значение Мхс.

Из

рис. ДЗ видно, что в произвольный

момент времени абсциссы грузов равны соответственно xi—хз — Rtos

q>i,

Хг — хз + г вшфгТак как по

формуле, определяющей координату

х с

центра масс системы, Мхс =

miX\ + m2;e2 + т'зхз, то

Мхс = (mi + m2 -f тз)хз — mii? cos(n<)+ m2r sin (я/2 — л</2) .

(3)

вательно, учитывая,

что при to = 0 х3 = 0, получим

— mlR'+

m2r =

(mi + m2 + т3)х3 — mi/?tos(nO + m2r cos(n</2). (4)

Отсюда получаем зависимость от времени координаты хз-

О т в е т :

хз =

0,09[3cos(^) — 2cos(n//2)— 1]м, где t — в секундах.

на вертикальную ось у (см. рис. ДЗ):

Мус=

ШУ

или Мус =

N — Pi — Р2 — Рз •

(1)

Отсюда получим, учтя, что Pi — rtiig,

и т. д.:

N =

Myc+(mi

+ m2 + m3)g .

(2)

По формуле, определяющей ординату у с центра масс системы,

Мус =/nii/i +

тгу2 + тзу3,

где у\ =

Н + /?"Sin<pi,

у2 = Н — г cos<p2, у3 — Н — О Сзо -

const, получим

Мус = (mi +

т2 + т3)Н + mi/?-sin(n/) — m2/-cos (я/2 — nt/2)

или

Мус=

(mi + т2 + т3)НmiR%'m{nt)—

m2rs\n(nt/2).

Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени,

найдем

Мус= miRncos(nt")—

m2r(n/2)cos(nt/2);

Мус=

—miJ?ft2sin(ni) +

m2 r(n2 /4)sin(ni/2) .

Подставив

это

значение Мус

в уравнение

(2), определим

искомую

зависимость N

от t.

О т в е т :

N =

254,8—l,2ji2[6sin (я/) —sin (nt/2)\, где

t — в се-

кундах, N — в

ньютонах.

плиты 1 массой mi =

18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направ-

ляющих, и

груза D массой

т2 =

6 кг (рис. Д4.0 — Д4.9,

табл.

Д4).

В момент времени

to = 0,

когда

скорость

плиты

ио = 2

м/с,

груз

под действием внутренних сил начинает двигаться

по

желобу плиты.

На рис. О—3 желоб КЕ прямолинейный и при движении

груза

расстояние

s == AD

изменяется

по

закону

s = fi(t),

а

на

рис,

4—9

желоб — окружность

радиуса R'=

0,8 м и при движении

груза

угол

<р= <LACiD

изменяется по

закону

q> = /2(0- В табл. Д4

эти зависи-

v//w/////////#w////ww,

ш////////ш/ш//т/ш

Рис. Д4.2

Рис. Д4.3

Рис. Д4.4

шм/тм/ш/м/т,

у / Ж Ж Ж Ш

>/////м//,//////м////////м//.

Рис. Д4.5

Рис. Д4.6

Рис. Д4.7

А

'/////////////////////Z/////////,

i L - k

-

W//S////////////S/////WM/.

Рис. Д4.8

Рис. Д4.9

Т а б л и ц а Д4

Номер

s

= W)

4> = МО

усло-

вия

рис. 0,1

рис. 2,3

рис.

4,5,6

рис.

7,8,9

0

0,8 sin (л/2)

0,4(3f2— 2)

л(3 -

2 0 / 3

л(2/2 — 1)

1

l,2.cos(n*/2)

0,6sin(n*2 /2)

л( l - 3 / 2 ) / 4

л ( 1 - 4 0 / 3

2

0 , 6 ( 2 / 2 - 1 )

0,8 cos (nt)

л(/2 — 3)/6

л(3 +

4 0 / 6

3

0,4sin(n*2 /3)

0,5 sin ( л г / 6 )

л(2

-

О

л ( / 2 + 1 ) / 2

4

0,5 cos (л//6)

l,2cos(n</3)

я(

1 + 2 0 / 6

л( 1 - 5 0 / 4

5

0,6 sin ( л г / 4 )

0,5(3 — 4 r )

л ( 5 * 2 + 1 ) / 4

л ( < 2 - 4 ) / 3

6

0,8(2— Зг)

0,8sin(n<2/3)

л(/

—2)/2

л/ / 4

7

0,6cos(n</3)

0,4 cos (л//4)

4 3 + 0 / з

л(3/2— 1)/6

8

l , 2 s i n ( n r / 6 )

1,2 sin (л/2)

я ' / 2

2)/6

л(<2 +

3)/2

9

0,8cos(n//4)

0,6cos(n//6)

л ( г +

л(2 — / )/4

Д а н о :

mi = 24

кг,

т 2

= 12

кг,

и0 = 0,5 м/с, 1 =

0,6

м, <р

=

= (л/ЗХ1 +

2t3)

рад

(/ — в

секундах).

О п р е д е л и т ь :

и =

/(/)

—

закон изменения

скорости

тележки.

ния

системы Q в проекции на

ось х. Так

ю

как

все действующие на систему

внешние

h

силы вертикальны (рис. Д4),

то

h f l x = 0

Рис. Д4

и теорема дает

Задача

Д5

Однородная горизонтальная

платформа

(круглая

радиуса

R

или

прямоугольная со

сторонами

R

и 2R,

где

R =

1,2

м) массой

mi =

24 кг вращается

с угловой

скоростью

too =

10

с~'

вокруг

вер-

стоянии

ОС — Ь (рис.

Д5.0 — Д5.9, табл.

Д5);

размеры

для

всех

прямоугольных платформ показаны на рис. Д5.0а

(вид сверху).

В момент времени

to — 0 по желобу платформы

начинает

двигать-

ся (под действием внутренних сил) груз

D

массой

т 2 =

8 кг

по

закону

s = AD — F(t),

где s выражено в

метрах,

t — в

секундах.

том

М (задан

в

ньютонометрах;

при М<.0

его

направление

противо-

положно

показанному на рисунках).

Определить,

пренебрегая

массой

вала,

зависимость

to =

f(t),

т. е. угловую скорость платформы, как функцию

времени.

На

всех

рисунках

груз D

показан

в положении,

при

котором

s > 0

(когда

s < 0 , груз

находится по

другую

сторону

от точки

А).

складывается

из относительной

иотн и переносной t>„ep скоростей,

т . е . v = и0тн +

^пер. Поэтому и

количество движения этого

груза

mv — /пчоти 4-"!УПер. Тогда можно

воспользоваться

теоремой Вариньона

(статика), согласно которой m^mv) = m2(mv„H) +

ttt2{tn Упер); эти

момен-

чертеже вид

на платформу сверху (с конца оси г), как

это

сделано

на рис. Д5.0, а — Д5.9, а.

Момент

инерции пластины с массой т относительно

оси

Сг, пер-

Рис. Д5.2

Рис. Д5.2а

Рис.

Д5.3

Рис. Д5.3а

V

А в

£

0

с/

1

1 /

^

С

:Ш/.\

„

Рис. Д5.4

Рис. Д5.4а

Рис. Д5.5

Рис. Д5.5а