Термех__109_теор механика_Тарг

ет

положение

точки

D

по отношению

к

тележке,

получим

vц

=

=

Уо + Иор,

где численно

v'E =

х,

v°op =

v2

= R<f- Тогда,

принимая

во

внимание, что

при возрастании

<р и х скорости

v'S и у0пер

направлены

в разные стороны и что точка Е для

катка — мгновенный

центр

скоростей, получим

.

vd

x — R<f

Подставляя все

найденные

значения скоростей и значения 10 и

ID в равенства

(3) и учитывая,

что Pi =

Рз =

2Р, а Р2 =

4Р, получим

окончательно

из (2)

следующее

выражение

для Т:

T = - L ( 4 R

2 ^ - 3 R i i + - ^ - x ! ) .

(4)

Отсюда

находим

§ .

^

йф

-(ад8ф-з

Ri),

|L

= 0 ;

g

o<f>

§ - =

7 f - a t f + a i ) .

f

=

0 .

(5)

3. Теперь

определим

обобщенные силы

Qi

и

Q2.

Изображаем

упругости F и F', где численно F' = F = сх,

и пару с моментом М.

а) Для определения Qi сообщим системе возможное перемещение,

при котором

координата ф получает

приращение 6 ф > 0 ,

а * не изме-

няется, т. е.

6* = 0

(пружина

при

таком

перемещении

системы не

изменяет свою длину). Тогда тележка и центр D катка

получают

одинаковые

перемещения 6s2 =

8s0 =

R&р и элементарная

работа дей-

ствующих сил будет

равна

6Д, =

Ш<р — P2 sin30o -Ss2 — Рз sin 30°-6so — F'6s2

+

F6sD.

Заменив здесь все величины их значениями, найдем в результате,

что

6Л, =

(М — 0,5P2R — 0,5Р3/г)бф = Р/?бф .

(6)

6Л2

= Рз sin 30° • Ьх — F6x = (Р — сх)Ьх .

(7)

Коэффициенты

при

6Ф и б* в равенствах (6) и (7)

и будут

искомыми обобщенными

силами; следовательно,

Qi = PR ; Q2 = Р — сх.

(8)

-у-{8Я2 ф -

3Rx) =

PR ,

3 % + Зх) =

Р — сх.

(9)

4. Для

определения х =

исключим

из

уравнений

(9)

ф.

Получим дифференциальное

уравнение

вида

jc + k2x

—

а,

где

t 2

8

eg

11

, l n .

к = 1 5 ~ Т Г ' а ~ 8 -

( Ш )

Общее

решение

уравнения

(10),

как

известно

из высшей мате-

матики,

имеет

вид х — х\-\-х2,

где

Xi — общее

решение

однородного

уравнения

x +

k2x=

0, т.е. xi =

Cis'm(kt)

+C2cos(kt),

а

х2—

частное

решение

уравнения

(10). Будем

искать решение

х2

в виде

х2

= А =

= const. Подставляя

значение х2 в уравнение

(10),

получим

А

=

а/к2.

Таким образом, общее решение уравнения

(10)

имеет вид

x=C,sm(kt)

+ C2cos{kt)

+

a/k2,

(И)

где С\ и С2 — постоянные интегрирования. Для

их определения

найдем

еще производную х от х по

времени:

х= Cikcos(kt)~C2ksm(kt).

(12)

По

начальным

условиям

при

* =

0

х =

0,

х =

0

(движение

рована). Подставляя эти величины

в уравнения (11) и

(12), найдем

из них, что С1 = 0 , С2 — — а/к2.

Окончательно получим искомую зависимость х = j(t)

в виде

* •= - £ г ( 1

- c o s kt),

(13)

к*

Стержень 3 соединен с колесом

2 невесомым стержнем 6. Колеса

У и 2 или находятся в зацеплении

(рис. О—4), или соединены неве-

В табл. Д12 заданы массы т ,

тел (кг) и коэффициенты жест-

кости Ci пружин

(Н/м). Прочерки в

столбцах

таблицы означают, что

соответствующие

тела или пружины

в систему

не входят (на

чертеже

эти тела и пружины не изображать);

в результате в каждом

конкрет-

состоит из колеса

1

радиуса

Ri,

ступенчатого

колеса

2

с

радиусами

Ri и /*2 и груза 3, подвешенного на нити, намотанной

на

колесо

2;

колеса соединены

невесомым

стержнем АВ

(рис. Д12а).

К

колесу

1

прикреплена вертикальная пружина с коэффициентом жесткости

с.

Д а н о :

mi =

12 кг, т 2 =

6 кг, тз = 3 кг,

Ri = R2

=

R, т2 =

0,5R,

с =

900 Н/м.

Колеса

считать

сплошными

однородными

цилиндрами.

О п р е д е л и т ь :

частоту k и период т малых колебаний системы

около

положения равновесия и значение Хст.

Решение. 1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в ка-

честве обобщенной

координаты угол <р поворота

колеса

/

от

равновес-

ного

положения (при

равновесии

q> = 0 и sD

=

0, s3 =

0); при движе-

нии

системы,

рассматривая малые

колебания,

считаем

угол

<р малым.

d ( дТ \

дТ

_

.

<ЭП

I T K W ) — W = Q ' г д е

Q =

— 5 5 -

( 1 )

Г = Г , +

Г2 +

Г3 .

(2)

Так как колеса /

и 2 вращаются вокруг осей 0\

и 02 ) а груз 3 дви-

жется поступательно,

то

Г, =

/ 01ш?/2 ,

Г2 =

/02й)1/2 ,

где

Г3 = m3vl/2

,

(3)

/ о , =

т , Я ? / 2 ,

/ 0 2 =

m2 /?i/2.

(4)

wi =

ф , оз2 =

/?1ф/г2

=

2ф,

и3 =

2Яф .

(5)

Подставляя

величины

(4),

где R\ =

R2

=

R, и

(5) в

равенства

(3),

получим из

равенства

(2)

Т =

0,5а0ф2, где

а0 = (0,5т, +

2 т 2 +

4т3 )/?2 .

(6)

Отсюда

находим

а г

•

дТ

п

d / дТ \

~

._.

3. Определим

потенциальную энергию П системы, учитывая, что

для пружины П =

0,5сХ2, где X — удлинение (сжатие)

пружины, а для

поля сил тяжести

П = mgzc,

где гс—координата

центра

тяжести

(ось г направлена по вертикали вверх).

Тогда для всей

системы

П

=

0,5сЛ2 +

m3geC3

•

(8)

Определяя X, учтем, что в положении равновесия

пружина может

иметь некоторое статическое (начальное) удлинение

или сжатие

Хсп

необходимое для

сохранения равновесия (в нашем случае для

уравно-

колеса 1 на

угол ф пружина

получит дополнительное к Хст удлинение

sD= R 1фСледовательно, X =

X„ + sD =

>.Ст+ /?ф-

•Для zc3,

направляя ось z

из точки

Оз вверх, получим гС з — —S3-

Подставляя

все найденные величины в равенство

(8),

получим

П

= 0,5с(ХСт +

Я<р)2 -

2m3 gR<f .

(9)

4. Определим обобщенную силу

Q и Xtl. Сначала

находим

<ЭП

Q = — дф

• =

-cR(X„

+ R<f) +

2m3gR.

(10)

Входящую

сюда

неизвестную

величину

Хст

найдем

из

условия, что

при равновесии,

т. е.

когда ф =

0,

должно

быть и

Q =

0.

Полагая

в (10) ф =

0 и

Q = 0,

получим

cRXCT = 2m3gR,

откуда

Лет = 2 m3g/c.

(11)

Заменяя в

(10)

Хст этим значением,

найдем,

что

О =

— cR2<p.

(12)

5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляя значения произ-

водных из равенств (7)

и значение

Q из

(12)

в уравнение

(I),

получим

Ооф = — cR2ф

или,

с учетом

обозначения

в (6),

Ф +

6

2 Ф = 0, где

=

а0

_

, Л 1 С ,

„ _

.

(13)

mi + 4 т 2 + 8 т з

Из теории

колебаний

известно,

что

когда

уравнение приведено

произведя

соответствующие

подсчеты, получим

из

(13) и (11)

о т в е -

т ы : k =

5,48 с - 1 ,

т = 1,11

с, 1 С Т = 0,065 м = 6,5

см.

Пример Д126.

Находящаяся в равновесии

механическая

система

Д а н о :

mi =

10 кг, m2 =

12

кг,

m3 = 4

кг,

mi = 0,

R2

=

R,

r2 — 0,5R,

с =

750

Н/м,

0\A =

I —

\ м,

0,B =

1/3.

Колесо 2

считать

сплошным

однородным

цилиндром.

О п р е д е л и т ь :

частоту

ft

и

пе-

ли, считая ф малым, и составим для

системы

уравнение

Лагранжа.

Поскольку все действующие

активные

силы (сила упругости и силы

тяжести) потенциальные, выразим обобщенную силу Q через потен-

циальную энергию П системы. Тогда исходным уравнением будет

d / дТ \

дТ

п

п

<ЗП

I T I - W ) — а ^ = ( ? ' г д е ( 3 = — W

( 1 )

порядка. Для этого надо найти выражения

Т и П с точностью до ф2 и

Ф2, так как в (1) входят первые производные

от Т и П по ф и ф, а

при

дифференцировании

многочлена

его

степень

понижается

на единицу

2. Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме

энергий всех тел:

T=TS+T2

+ T3.

(2)

Так как стержень 1 и колесо 2 вращаются вокруг осей Oi и С2

соответственно, а груз 3 движется поступательно, то

7\

=

/0,<о?/2 ;

Т2

= /С2coi/2 ;

(3)

где

Т3

=

m3vl/2,

/ 0 |

=

/wj/2/3 ;

Jc2

= m2R2/2 . .

(4)

Все

скорости,

входящие в

равенства (3), надо выразить через

обобщенную скорость <р. Тогда

он =

<р. Затем

ввиду малости <р можно

считать

y c = D B = t t > i / / 3 .

Учтя

это,

найдем

m = vo/r2 = vD/0,5R

и

и3 = vE

= 4>2R- Таким

образом,

o)i =

ф; «2 =

2/ф/ЗЯ;

уз =

2/ф/З .

(5)

Подставляя величины

(4)

и

(5)

в равенства

(3),

получим из

(2)

Г

.„

=

/ m |

2m2

4m3

\

„

(6 )

Т = -у-аоф , где а0

(

—

+ — д - + — § - ) 1

•

Отсюда

находим

дТ

.

дТ

„

d /

дТ

<3ф

Оо<^'

(Зф

di V

дф

3. Определим потенциальную энергию П системы, учитывая, что

для

пружины

П =

0,5сХ2, где X — удлинение

(сжатие)

пружины,

а

для

поля

сил тяжести

П =

mgzc,

где

zc—координата

центра

тяжести

(ось z направлена

по вертикали вверх). Тогда для всей системы

П = 0,5сХ2 + m,gza+

ni2gzc2+

m3gzC3,

(8)

где величины X, Zc{, гсг, zc3 должны быть выражены через ср.

Определяя X, учтем, что в положении равновесия

пружина

может

иметь некоторое статическое (начальное) удлинение

или сжатие

Х„,

необходимое для сохранения

равновесия (в нашем случае для

уравно-

вешивания

силы

тяжести

Р3).

В

произвольном

положении

(см.

рис. Д12, в)

пружина

получит

дополнительное

удлинение, равное

s.4,

причем

ввиду

малости

ф можно

считать «л =

/ф. Тогда X =Х„ -f-s^

=

=

Хст +

/ф.

Для

Zci,

направляя

ось

гi

из

точки

Оi

вверх,

получим

гс ,

=

=

0,5/соэф. Разлагая здесь соБф в ряд и сохраняя член с ф2, получим*

с 0 5 ф =

1

—

И

.

Для Zc2, взяв начало координат в точке С2, получим Zc2 =

0.

Для гСз, совмещая начало координат 03

с положением

центра

тяжести

груза

3 при равновесии,

получим Zc3 =

—s3,

где s3 — переме-

равенств

(5) s3 = 2f<p/3 и г С з =

— 2/ф/З.

Подставляя

все найденные величины в равенство (8),

получим

п =

- f i x ^ +

ly)2

+ _ i - m , g / ( l

- A m 3 g ; ( p .

(9)

4. Определим обобщенную силу Q и Х„. Сначала находим

Q =

-[

cl(X„+l<f)

i-m,g/cp

'

Входящую сюда неизвестную величину Лсг найдем из условия, что

при

равновесии,

т. е. когда ф = 0, должно быть и Q =

0. Полагая

в равенстве (10)

ф = 0

и

Q =

0,

получим clX„ — 2m3gl/3

— 0, откуда

=

2

m3g

( И )

—

— .

* В случае когда стержень 0\А

горизонтален (поверните рис. Д12,в

на

90°),

будет

г

с =0,5/5Шф, и нужное

приближение получится,

если

считать

sin ф =

ф.

Заменяя в (10) А,ст этим значением, найдем окончательно

Q=— by, где b = {cl — Q,bmig)l.

(12)

- .

fc»

n

^

b

9(2с/

rn\g)

(1 3 )

ф + « ф =

0 , где

к

=

г ъ

Г~л—П--

Из теории

колебаний

известно,

что когда

уравнение приведено

Чтобы найти обобщенную силу Q, надо изобразить на чертеже

(рис. Д12,б)

действующие

активные силы, совершающие работу при

перемещении

системы,

т. е.

силу упругости пружины F, приложенную

к стержню I

в точке

А и

направленную вправо (пружину считаем

растянутой), силу тяжести Pi, приложенную к стержню /

в точке Сi,

и силу тяжести Р3, приложенную к грузу .?; обе эти силы

направлены

6Л =

(— f / c o s ф P i s i n ф ) 6 ф - j - P38S3.

(15)

В равенстве (15)

надо выразить 6s3 через 6ф. По аналогии с послед-

ним из равенств (5) найдем, что

6s3 = 2/бф/З .

(16)

Определим еще значение силы упругости F. По модулю F =

сХ, где

X — удлинение пружины, слагающееся из начального удлинения Х„ и

считать равным

/ф. Тогда

Х=

Хст-\-1<( и

F = с ( х с т + / ф ) .

(17)

Подставив

величины

(16)

и (17) в равенство (15) и

учтя,

что

р, = m\g, а Рз = rn3g и что ввиду малости ф можно считать

sin<p =

ф,

cosф = 1, приведем окончательно равенство (15) к виду