Термех__109_теор механика_Тарг

Т а б л и ц а С2

Сила

F,

ж

Нагружейный

и,

участок

F,

= 10 кН f 2 = 20 кН F3 = 30 кН

40 кН

Т а б л и ц а С2а

Участок на

угольнике

Участок

на стержне

горизонтальный

верти-

рис.0, 3, 5,7,8

рис. 1,2, 4, 6, 9

кальный

4 Н Ш Ш Ш 1

\

Пример

С2. На

угольник

ABQ

(Z.ABC

=

90°),

конец

А которого

жестко

заделан,

в точке С опирается стержень

DE

(рис.

С2,

а).

Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему

приложена

сила

F,

а

к

угольнику — равномерно

распределенная

на

участке KB нагрузка интенсивности q и пара с моментом

М.

Д а н о :

F=

10

кН,

М = 5

кН-м,

q =

20

кН/м,

а =

0,2

м.

О п р е д е л и т ь :

реакции

в

точках

А,

С,

D,

вызванные

заданными

нагрузками.

Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рас-

смотрим

сначала

равновесие

стержня

DE

(рис.

С2, б).

Проведем

координатные оси ху и изобразим действующие на

стержень

силы:

силу F,

реакцию

N,

направленную

перпендикулярно

стержню,

и

сос-

тавляющие

Х0 и

YD реакции шарнира D. Для полученной плоской

системы сил

составляем

три

уравнения

равновесия:

2 F 4 , =

О, XD + F — Nsin60°

= 0 ;

(1)

2 FK,

=

О,

YD-\-N

c o s

6 0 °

=

0 ;

( 2 )

2

mdFk)

=

0,

N-2a

— f

.5asin60° =

0 .

(3)

2 ^

=

0,

XA-\-Qcos60° + Af'sin60° =

0 ;

(4)

2 FKY

=

0,

YA

— Q sin 60° — N' cos 60° =

0 ;

(5)

^ т Д П )

= 0, M,, +

M +

Q-2a + W'cos60°• 4а + УУ'sin60°-6а =

0 . (6)

При

вычислении

момента силы N' разлагаем ее на составляющие

N'1 и N'i

и

применяем

теорему Вариньона. Подставив в составленные

уравнений (1) — (6), найдем искомые реакции. При решении

учитываем,

что численно N' = N в силу равенства действия и

противодействия.

О т в е т :

N = 21,7 кН,

YD=

—10,8 кН;

XD = 8,8

кН, ХА =

= —26,8 кН,

Ya = 24,7 кН, МА =

- 4 2 , 6 кН • м.

Знаки указывают, что силы YD, ХА и момент МА

направлены

противоположно показанным

на рисунках.

Шесть невесомых стержней соединены своими

концами шарнирно

друг с другом в двух узлах и прикреплены

другими концами (тоже

шарнирно) к неподвижным опорам А, В,

С, D

(рис. СЗ.О — С3.9,

табл. СЗ). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Я, К, L или

М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и долж-

который в

каждом столбце

таблицы указан

первым, приложена сила

Р = 200 Н;

во втором узле

приложена сила

Q = 100 Н. Сила Р обра-

равные соответственно

ai = 45°, pi = 60°, yi =

60°,

а сила

Q — углы

а2 = 60°, р2

= 45°, у2 =

60°; направления осей х,

у,

z

для всех рисунков

показаны

на

рис. СЗ.О.

Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху, — квадраты.

Диагонали

других боковых граней образуют с

плоскостью ху угол

Ф = 60°,

а

диагональ

параллелепипеда образует

с

этой

плоскостью

угол 9 = 51°. Определить усилия в

стержнях.

На рис. С3.10 в качестве примера показано, как должен

выглядеть

чертеж С3.1, если по условиям задачи узлы находятся в точках L и М, а

стержнями являются LM, LA, LB;

МЛ, МС, MD. Там же

показаны

углы ф и 0.

Т а б л и ц а

СЗ

Номер условия

0

1

2

3

4

Узлы

Н, М

L, М

К, м

L, Н

К, н

НМ, НА, LM, LA,

КМ, КА,

LH, LC,

кн,

кв,

Стержни

НВ, МА, LD, МА, KB, МА, LD, НА,

КС, НА,

MC, MD, MB, МС, МС, MD, НВ, НС

НС, HD

Рис. C3.0

Рис. C3.1

Рис. C3.2

Рис. С3.9

Рис. С3.10

(подшипником) в точке В

и невесомым стержнем 1 (рис. С4.0 — С4.7)

или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя

невесомыми

стержнями 1 н 2

(рис. С4.8, С4.9); все стержни прикреплены

к

плитам

и к неподвижным

опорам

шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты

=

5 кН,

вес меньшей

плиты Яг =

3 кН. Каждая из плит расположена

парал-

лельно одной

из

координатных плоскостей (плоскость ху

— горизон-

тальная).

На плиты действуют

пара сил с моментом М — 4 кН-м,

лежащая

ния и точки приложения указаны в табл. С4; при этом силы Fi

и Ft

ле-

жат в плоскостях, параллельных плоскости ху,

сила Fz — в

плоскости,

параллельной

хг,

и сила

Рз — в

плоскости, параллельной

yz.

Точки

приложения сил

(£>, Е,

Н, К)

находятся в углах или в серединах

сторон

плит.

Определить реакции связей в точках Л и

В

и

реакцию

стержня

(стержней). При подсчетах принять а =

0,6

м.

Указания. Задача

С4 — на

равновесие

тела

под действием

произ-

вольной

пространственной

системы

сил.

При

ее

решении

учесть,

что реакция сферического шарнира

(подпятника)

имеет три

составляю-

щие

(по

всем

трем координатным

осям), а

реакция

цилиндрического

шарнира

(подшипника) — две

составляющие,

лежащие

в

плоскости,

перпендикулярной оси

шарнира

(подшипника).

При

вычислении

мо-

мента

силы

F

часто

удобно

разложить

ее

на

две

составляющие

F' и

F",

параллельные

координатным

осям

(или

на

три);

тогда,

по теореме Вариньона,

mx(F)

=

mx(F')

+ mx(F")

и т. д.

Рис. С3.9

Рис. С3.10

Рис. C4.6

Рис. С4.7

Рис. С4.8

Рис. С4.9

3**

27

закреплена

сферическим шарниром

в

точке

А, цилиндрическим

(под-

шипником)

в точке В и невесомым стержнем DD'. На плиту в плоскости,

параллельной xz,

действует

сила

F,

а

в

плоскости,

параллельной

yz, — пара

сил с моментом

М.

Д а н о :

Я =

3 кН, Я =

8

кН,

Af = 4

кН• м, а — 60°, Л С = 0 , 8 м,

АВ — 1,2 м, BE =

0,4 м, ЕН =

0,4 м.

О п р е д е л и т ь :

реакции

опор

А, В и стержня DD'.

Реакцию сферического

шарнира разложим на три составляющие

Хл,

Ya, Za, цилиндрического

(подшипника) — на две составляющие Хв,

ZB

2. Для

определения

шести

неизвестных

реак-

ций

составляем

шесть

уравнений

равновесия

действующей

на

плиту

пространственной

системы

сил:

2 F t , =

0,

ХА

+

+A,fl

+

Fcos60° =

0 ;

( 1 )

2FHY

= 0,

YA-Ncos30°

= 0 ;

Рис. С4

(2)

2F*2

=

0,

+ ZB — Р +

JVsin30° — Fsin60° =

0 ;

(3)

2m,(F*) =

0,

М — Р-АВ/2-\-

Zb-AB

— Fsin60° -ЛВ + А/sin30° -АВ • = 0 ;

2 / n / F * )

=

О, P-AC/2

— N sin 30°->IC +

Fsin60°-Л С/2 —

(4)

— F c o s 6 0 ° - B £ = 0 ;

(5)

Sm z (F t ) =

0,

— F cos 60° - ЛВ —JVcos30° -АС —Хв - АВ — 0 .

(6)

Для определения моментов силы F относительно осей разлагаем ее

на составляющие

F'

и F",

параллельные осям х и z

( F ' = F c o s a ,

F" =

F s i n a ) ,

и применяем

теорему

Вариньона

(см. «Указания»). Ана-

логично можно поступить при определении моментов реакции N.

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех за-

данных величин и решив эти уравнения, найдем искомые

реакции.

О т в е т :

ХА

=

3,4 кН;

YA = 5 , 1 кН; ZA =

4,8 кН; Хв = — 7А

кН;

ZB =

2,1

кН; N =

5,9 кН. Знак минус указывает, что реакция Хв

на-

правлена

противоположно

показанной на рис. С4.

КИНЕМАТИКА

Задача

К<1

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо

решить.

Задача

К1а. Точка В движется

в плоскости ху (рис. К1.0 —

К1-9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана

условно).

Закон движения точки задан уравнениями: х = f\(t), у =

где х

и у

выражены

в сантиметрах, / — в секундах.

Найти

уравнение траектории точки; для момента времени

t\ =

1 с