Содержание работы
Элементарная теория упругого удара. Вывод рабочих формул.
Рассмотрим элементарную теорию соударения одинаковых упругих шаров, подвешенных на нерастяжимых и невесомых нитях (рис. 3). Пусть массы шаров равны m1 и m2 . Если второй шар отвести на угол α от положения равновесия и отпустить, то между шарами произойдет удар. Обозначим скорости шаров до удара υr1 =0 и υr2 =υr0 , а их скорости после
удара как ur1 и ur2 .
L
α
h
Рис. 3
Предположим следующее:
-в процессе удара шары образуют замкнутую систему, т.е. внешние силы, приложенные к шарам, отсутствуют или уравновешивают друг друга. В рассматриваемом случае это возможно, когда соударение происходит в момент прохождения шарами положения равновесия. Тогда силы тяжести и силы натяжения нитей – внешние силы, действующие на шары, уравновешивают друг друга.
-удар является прямым и центральным.
-удар является абсолютно упругим.
Элементарность этой модели состоит в том, что в ней не рассматриваются:
-деформация шаров в процессе удара,
-силы, возникающие между шарами при их контакте,
-потери механической энергии вследствие неидеальной упругости шаров,
-трение между поверхностями шаров (это трение имеет место даже при центральном ударе, поскольку в процессе удара увеличивается площадь контакта, и поверхности шаров скользят друг относительно друга).
Определим скорости шаров после удара, применяя законы сохранения импульса и полной механической энергии. Закон сохранения импульса в данном случае имеет вид
m υr |
= m |
ur |
+m |
ur |
2 |
. |
(15) |
|
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
Закон сохранения энергии в момент удара имеет вид
m υ 2 |
= |
m |
u 2 |
+ |
m |
u2 |
|
||
2 0 |
1 |
1 |
2 |
2 |
. |
(16) |
|||
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
Решив систему уравнений (15) и (16), найдем скорости ur1 и ur2 :
ur |
1 |
= |
2m2 |
υr0 , |
|
|
|||||
|
|
|
m1 +m2 |
||
ur2 |
= |
m2 - m1 |
υr0 . |
||
|
|||||
|
|
|
m1 +m2 |
В случае, когда шары имеют одинаковые массы, т.е. m1 = m2 = m , получим
ur1 =υr0 , ur2 = 0 .
Это означает, что первоначально двигавшийся шар останавливается, а неподвижный – приобретает его начальную скорость.
Скорость υr0 второго шара в момент, предшествующий удару, определим из закона
сохранения энергии. Шар, отведенный от положения равновесия на угол α , обладает потенциальной энергией U п = m2 gh . В положении равновесия эта энергия переходит в
кинетическую энергию T = |
m υ 2 |
. Отсюда найдем, что υ0 = 2gh . |
|||
|
2 0 |
||||
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
Из рис. 3 имеем cosα |
= |
L - h |
, откуда h = 2L sin 2 α |
. Тогда |
|
L |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
υ0 = 2 gL sin α , |
|
|
|
|
|
2 |
|
где L - расстояние от точки крепления до центра шара.
Рассматриваемая модель не позволяет найти точное значение силы удара (контактной силы), поскольку она не рассматривает деформации шаров в процессе удара. Однако здесь
можно найти среднюю силу удара < Fr > (формула (6)):
|
|
|
|
|
|
|
pr2 - pr1 =< Fr > τ , |
где pr |
= mυr |
= 0 , |
pr |
= mur |
= mυr |
, |
τ - время соударения шаров, которое можно измерить |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
|
|
весьма точно. Тогда формула, выражающая среднюю силу удара через начальную скорость соударения шаров, будет иметь следующий вид:
r |
|
mυr |
|
|
< F |
>= |
0 |
. |
(17) |
|
||||
|
|
τ |
|
Подставив в формулу (17) выражение для массы шара m = ρV = 16 ρπD3 ( ρ - плотность шара,
D - его диаметр), получим окончательно значение силы:
< F >= ρπ D 3υ 0 . 6τ
Измерение времени соударения шаров при помощи частотомера-хронометра
Время соударения стальных шаров легко измерить при помощи очень простой электрической цепи и электронного частотомера-хронометра. Схема измерительной цепи представлена на рис. 4.
чх
α
Рис. 4
В процессе соударения шары замыкают электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных источника тока и частотомера-хронометра (ЧХ). До тех пор, пока шары находятся в контакте, в цепи возникает импульс тока. Длительность импульса тока, который, вообще говоря, имеет сложную форму, измеряют с помощью ЧХ. Для этого в ЧХ импульс тока превращают в импульс прямоугольной формы (рис. 5). Длительность этого импульса и принимают за время соударения шаров.
Сила тока
Реальный импульс тока в цепи
Импульс тока, формируемый в ЧХ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
t |
|
|
|
Рис. 5
Порядок выполнения работы.
1. Измерьте расстояние от точки подвеса до центра шара L с помощью линейки. Линейку при измерениях перекашивать не следует. Аналогично с помощью штангенциркуля измерьте
диаметр шара D . Измерение обеих величин проведите не менее 3 раз. Данные занесите в таблицу 1.
2. Рассчитайте среднее расстояние от точки подвеса до центра шара L , случайную
погрешность для каждого измерения ∆L и среднюю случайную погрешность ∆L по формулам:
L = (L1 + L2 + L3 ) / 3 ,
∆Li = |
|
L |
− Li |
, |
(i = 1,2,3) |
∆L = (∆L1 + ∆L2 + ∆L3 ) / 3 ,
и также занесите их в таблицу 1. Те же расчеты проделайте и для величины D . 3. По формулам
|
|
|
|
|
∆D = ∆D 2 + ∆D2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
полн |
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∆L = |
∆L2 + ∆L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
полн |
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|||
рассчитайте полные погрешности прямых измерений величин D и L . Приборные |
|||||||||||||||||||
погрешности штангенциркуля и линейки ∆Dпр , ∆Lпр |
указаны в таблице 1. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
||
|
№ п/п |
L , 10-2 м |
|
∆L , 10-2 м |
D , 10-3 м |
∆D , 10-3 м |
∆Lпр , |
∆Dпр , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10-3 м |
10-3 м |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
0.05 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
= |
|
∆ |
L |
= |
|
|
D |
= |
|
∆ |
D |
= |
|
|
|
4. Подготовьте к работе частотомер-хронометр (ЧХ). Для этого проверьте положение переключателей:
-переключатель «Род работ» должен находится в положении « τ »;
-переключатель «Время отсчета» - в положении «1»;
-переключатель «УПТ» - в положении «1/1»;
-переключатель «Метки времени» - в положении «1»;
-переключатель режима работы – в положении «ручн. внешн.».
6.Включите ЧХ и дайте ему прогреться 3-5 минут (выключатель в правом верхнем углу).
7.Отведите правый шар на угол α=10˚. (Примечание: значения углов в таблице 2 – это рекомендуемые величины. Уточните у преподавателя, какие значения углов следует взять вам). Отпустите шар и, после столкновения, запишите показание ЧХ в таблицу 2. Обратите
внимание на единицы показания : время столкновения τ измеряется в микросекундах (1мкс = 10-6 с). Опыт повторите не менее 10 раз. В таблицу 2 следует занести только 3 значения времени столкновения – те, что встречаются в вашей серии чаще всего и чьи величины несильно отличаются друг от друга. Перед каждым опытом очищайте табло ЧХ нажатием кнопки «сброс», которая находится под переключателем «ручн. внешн.».
8. Выполните аналогичные измерения для углов α=20˚, 30˚, 40˚. Окончательно заполните таблицу 2.
Таблица 2
№ |
|
α1=10° |
α2=20° |
α3=30° |
α4=40° |
||||||||||||
τ1 ,10 |
-6 |
с |
∆τ1,10-6 |
τ 2 ,10 |
-6 |
с |
τ 3 ,10 |
-6 |
с |
τ 4 ,10 |
-6 |
с |
|||||
п/п |
|
|
с |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ1 = |
|
∆τ1 = |
τ |
2 = |
|
τ |
3 = |
|
τ |
4 = |
|
8.Рассчитайте средние значения времен соударения шаров τ1 , τ 2 , τ 3 , τ 4 . Случайные погрешности необходимо рассчитать только для случая α1=10˚.
9.По формулам
υi = 2 |
gL sin αi / 2 , ( i = 1,2,3,4.) |
|||||||
|
1 ρπ |
|
|
3 |
|
|
||
F = |
D |
υ |
, ( i = 1,2,3,4.) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
6 τ i |
|
|||||||
|
|
|
где ρ = 7,7 103 кг/м3 - плотность стали, g = 9.8 м/с2 - ускорение свободного падения, π = 3.1, вычислите для каждого угла отклонения значение скорости шара в момент удара υi и значение средней силы удара Fi . Эти значения, округленные до двух значащих цифр, занесите в таблицу 3.
|
|
|
|
Таблица 3 |
№ п/п |
αi , град |
τ i ,10-6 с |
υi , м/c |
Fi , Н |
1 |
10 |
|
|
|
2 |
20 |
|
|
|
3 |
30 |
|
|
|
4 |
40 |
|
|
|
11. Постройте на миллиметровке график зависимости F = F (υ) .
12. Определите относительные ευ ,ε F и абсолютные ∆υ1, ∆F1 погрешности определения υ1 и F1 для α1=10˚:
ευ = |
1 |
|
(∆α ctg(α |
/ 2) + |
∆g |
+ |
∆Lполн ) , |
∆υ1 |
= υ1 ευ , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
g |
L |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ε |
F |
= |
ε |
υ |
+ ∆π + ∆ρ |
+ |
3∆ |
D |
полн |
|
+ ∆τ1 , |
∆F = F ε |
F |
, |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
π |
ρ |
|
|
|
|
|
τ1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где абсолютные погрешности приближенных величин ∆ρ = 0.05 103 кг/м3, ∆g = 0.05 м/с2, ∆α = 0,044 рад, ∆π = 0.05 .