Затухающие колебания
В случае, когда на маятник во время движения действует сила сопротивления, колебания становятся затухающими, т.е. их амплитуда постепенно убывает. Для описания таких колебаний в уравнение (10), наряду с моментами сил упругости, следует добавить момент сил сопротивления (трения), который можно представить как:
, (11)
где производная представляет собой угловую скорость вращения маятника, k- постоянный коэффициент, знак «-» указывает на то, что момент сил сопротивления противоположен по направлению движения маятника. В результате уравнение движения системы примет более сложный вид:
. (12)
Введя обозначения , , преобразуем к виду:
. (13)
При условии, что силы сопротивления относительно невелики (выполняется условие ) решение этого уравнения примет вид:
, (14)
где - амплитуда колебаний, зависящая от времени; - циклическая частота затухающих колебаний, причем, когда , то ,. Коэффициент получил название коэффициента затухания. Коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в е раз:
График такого колебательного процесса представлен на рисунке 2:
Рис.2. График затухающих колебаний
На практике вместо коэффициента затухания используют другие, связанные с величиной:
а) декремент затухания ψ (отношение амплитуд колебаний для двух соседних периодов):
(15)
б) логарифмический декремент затухания λ:
(16)
в) добротность колебательной системы Q:
, (17)
где N-число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е 2.72 раза.
При слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли энергии за один период колебаний. Таким образом, из приведенной теории колебаний крутильного маятника видно, что период колебаний такого маятника непосредственно связан с моментом инерции маятника модулем упругости струны, а в случае затухающих колебаний и с коэффициентом затухания и с производными от него величинами. Полученные соотношения можно использовать для определения некоторых из входящих в эти соотношения величин экспериментальным путем.
Методика выполнения работы
Лабораторная установка
Рис. 3. Лабораторная установка
Лабораторная установка состоит из колебательной системы (держатель 1 и струна 2), магнита 3, фотоэлектрического датчика 4, электронного устройства 5 для измерения периода и числа колебаний и шкалы 6 для измерения угловой амплитуды. Цанговые устройства 7 служат для крепления перемычки 8, а винты 9 — для крепления тел в держателе. Для измерения периода колебаний маятника необходимо нажать кнопку «сброс» и повернуть маятник на такой угол, при котором электромагнит будет его удерживать. Нажать кнопку «пуск». В окошках 10 и 11 электронного устройства появляются текущие отчеты числа периодов и времени соответственно. Нажать кнопку «стоп». Рассчитать период колебаний, разделив время на число колебаний.
Вывод рабочей формулы
Определение модуля кручения струны и неизвестного момента инерции тела
Отклоним крутильный маятник на угол α. Запасенная потенциальная энергия будет при этом равна
(18)
где - модуль кручения струны, α - угол отклонения.
При прохождении положения равновесия маятник имеет max. кинетическую энергию, равную
(19)
где –– максимальная угловая скорость маятника.
Угловая скорость
,
следовательно
.
Поэтому
, (20)
где T - период колебаний, I - момент инерции маятника.
Хотя колебания затухающие, можно полагать, что в пределах одного периода убыль энергии невелика и максимальная потенциальная энергия равна максимальной кинетической. На этом основании приравняем (18) и (20):
. (21)
Установим в держатель маятника куб таким образом, чтобы ось вращения проходила перпендикулярно граням куба через его центр масс. В этом случае можно записать:
, (22)
где ––момент инерции куба, который рассчитывается по формуле (где m-масса куба, - длина ребра куба). - период колебаний маятника с закрепленным в нем кубом.
Если начальные углы отклонения маятника в обоих опытах равны, то правые части (20) и (21) также равны и мы можем приравнять их левые часть:
. (23)
Выразим отсюда момент инерции маятника :
. (24)
Пусть в держателе закреплено тело с неизвестным моментом инерции . На основании закона механической энергии можно записать равенство, аналогично равенству (23):
. (25)
Откуда получим формулу для расчета
, (26)
где - период колебаний маятника с исследуемым телом.
Период крутильных колебаний в общем виде выражается формулой (10). Запишем эту формулу для маятника с укрепленным в держателе кубом:
. (27)
И получим выражение для расчета модуля кручения струны :
. (28)
Изучение затухающих колебаний;
Пусть в некоторый момент амплитуда затухающих колебаний равна
. (29)
А в некоторый момент времени спустя некоторый интервал времени Т равна :
. (30)
Разделим (29) на (30)
. (31)
Прологарифмируем формулу (31) и выразим коэффициент затухания:
.
Откуда
. (32)
Теперь можно определить логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы :
. (33)
. (34)