3. Элементы физики твердого тела

3.1. Понятие о зонной теории твердых тел

В этой теории твердое кристаллическое тело рассматривается как строго периодическая структура, в которой ионы создают электрическое поле. Задача состоит в описании поведения электронов в этом поле.

Рассмотрим «процесс образования» твердого тела из Nизолированных атомов. Пока атомы изолированы, т.е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней (рис. 3.1). Причем, энергетические уровни в изолированном атоме зависят от главногоnи орбитальногоℓ квантовых чисел и вырождены по квантовым числамm_ℓи m_s. Заполнение уровней электронами осуществляется в каждом атоме независимо от заполнения аналогичных уровней в других атомах. По мере сближения атомов между ними возникает все усиливающееся взаимодействие, которое приводит к изменению положения уровней. Вместо одного одинакового для всехNатомов уровня возникаетNочень близких, но не совпадающих уровней, образующих энергетическую зону (рис. 3.2).

Если энергетический уровень имел в изолированном атоме (2ℓ+ 1)-кратное вырождение по значению m_ℓ, то соответствующая ему энергетическая зона будет состоять изN(2ℓ+ 1)подуровней, на каждом из которых может находиться не более двух электронов с антипараллельными спинами.

Рассмотрим этот вопрос подробнее:

А) Пользуясь соотношением неопределенности для энергии и времени, оценим естественную ширину энергетических уровней электронов в атомах, находящихся в возбужденных состояниях. Время пребывания атома в возбужденном состоянии τ_nсовпадает со временем нахождения электрона в этом состоянии и составляет примерно 10^-8с, так чтоτ_n≈ 10^-8с, отсюда

.

Эта ширина значительно меньше, чем расстояние между уровнями энергии изолированного атома, равное ≈ 1 эВ.

Рис. 3.1	Рис. 3.2

Б) В кристаллах расстояние между атомами столь мало (L ~ d ~ 10^-10м), что происходит перекрытие их электрических полей. Потенциальные кривые, ранее разграничивающие соседние атомы, теперь частично накладываются друг на друга (рис. 3.2). Из рисунка видно, что при сближении атомов происходит понижение и сужение потенциального барьера для валентных электронов атомов. В этих условиях существенную роль играет туннельный эффект, в результате которого электрон «уходит» от атома и становится принадлежностью всего кристалла, т.е. в определенном смысле свободным.

В) Для упрощения вычислений будем считать, что потенциальный барьер имеет прямоугольную форму (рис. 3.3). Тогда прозрачность барьера можно вычислить по формуле:

.

Для рассматриваемого случая толщина потенциального барьера м.

Тогда, при , расчет прозрачности барьера приводит к результату.

Найдем частоту νпросачивания невалентного электрона сквозь потенциальный барьер. Число ударов электрона о стенки барьера за единицу времени, гдеV– скорость движения электрона в атоме, имеющая примерное значениеV ≈ 10⁶м/с. Ширинуdпотенциальной ямы, в которой находится электрон, примем равной 10^-10м. Частоту просачивания электрона сквозь потенциальный барьер определим по формуле

.

Подставив числовые значения всех величин, получим с^-1. Среднее время жизниτвалентного электрона в данном атоме есть величина обратная частотеν:

.

Рис. 3.3

Из сравнения τсτ_nвидно, чтоτв этом случае уменьшается на семь порядков по сравнению с временем нахождения валентного электрона в возбужденном состоянии изолированного атома. При таких значенияхτне имеет смысла говорить о принадлежности валентных электронов к определенным атомам. Они становятся «обобществленными», коллективизированными и образуют квантовый газ. Эти электроны могут перемещаться по всему кристаллу.

Г) Найдем расширение энергетического уровня электрона, связанное с резким уменьшением времени жизни в результате взаимодействия атомов в кристалле.

По соотношению неопределенностей

.

Узкий энергетический уровень валентного электрона в изолированном атоме расширяется в кристалле в широкую полосу – зону разрешённых значений энергии электронов шириной порядка нескольких электрон-вольт (рис. 3.4). Разрешённые энергетические зоны 1отделены друг от друга зонами2запрещённых значений энергии электронов (рис. 3.5).

Рис. 3.4	Рис. 3.5

Разрешённая зона тем шире, чем больше энергия электрона на соответствующем уровне в изолированном атоме. Возможные значения энергий электронов в пределах разрешённой энергетической зоны квантованы, т.е. дискретны, а общее число их конечно.

Д) Для электронов внутренних оболочек атомов вероятность туннельного перехода электрона от одного атома к другому оказывается очень малой. Это связано с уменьшением прозрачности потенциального барьера, в результате чего частота νпросачивания электрона сквозь потенциальный барьер становится ничтожно малой. Например, для невалентного электрона атома натрия в основном состоянии частота просачивания сквозь потенциальный барьер основного состояния, что соответствует среднему времени жизни такого электрона у данного атомалет. Следовательно, электроны внутренних оболочек атомов в кристаллах также прочно связаны со «своими» атомами, как и в изолированных атомах. Энергетические уровни этих электронов в кристалле такие же узкие, как и в отдельно взятом атоме.

Итак, можно выделить следующие главные причины расщепления отдельных энергетических уровней в зоны и заселения зон электронами при объединении атомов в кристалл:

1. снятие вырождения по магнитному орбитальному квантовому числу m_l;

2. снятие перестановочного вырождения по N, где N– число атомов в кристалле;

3. уменьшение высоты и ширины потенциального барьера, разделяющего соседние атомы, приводящее к увеличению коэффициента прозрачности барьера – туннельный эффект;

4. изменение времени пребывания электрона у отдельного атома с 10^-8с до 10^-15с и соответствующего расширения уровня в зону шириной ΔE~2эВ вследствие действия соотношения неопределённостей ΔEΔt≥ħ.