Plasticity

Замечание. В предыдущем равенстве, вообще говоря, нельзя считать dεpij независимыми. Например, если принимается ассоциативный закон, то шесть приращений dεpij выражаются через одно из них.

Несмотря на это для наших целей всегда можно считать, что выполнены равенства, полученные для τˆij .

Действительно положим

τˆij = pij − ρ ∂ε∂Fp + τ1ij .

ij

Тогда имеем

τ1ij dεpij = 0

т.е. добавки к τˆij не влияют на dq′

1.6. Принцип минимума работы на пластических деформациях.

Рассмотрим приращение работы напряжений на деформациях в единице объема

Пусть элементарная работа внутренних напряжений p˙ij , отвечающих любой точке упругой области Dp, на рассматриваемых приращениях пластических деформаций dεpij

носит название принципа минимума работы истинных напряжений на пластических деформациях. Согласно этому постулату работа, совершаемая действительными напряжениями на задан-

ных приращениях пластических деформаций, всегда меньше или равна работе, которую совершили бы любые другие напряжения из упругой области на тех же приращениях пластических деформаций.

Если компоненты тензоров dεpij и pij − p˙ij трактовать как компоненты векторов в девятимерном евклидовом пространстве компонент тензора напряжений, то этот постулат можно истолковать как условие, что скалярное произведение этих векторов неотрицательно.

Отсюда ясно, что поверхность нагружения со стороны упругой области выпуклая...

Для пластически несжимаемого материала приращение работы на пластических деформациях будет равно

dAp = pij dεpij = p(ijd)dεpij

Если к тому же этот материал подчиняется уравнениям Прандтля–Рейса, то приращения работы на пластических деформациях представляется выражением

dAp = pэкв dεpэкв

При этом уравнения Прандтля – Рейса запишутся

11