Задачи с параметрами и методы их решения
.pdfТема 3
1.Уравнения с одной переменной
2.Понятие о равносильности равнений
3.Свойства числовых равенств и теоремы о равносильностиравнений
4.Линейное равнение с одной переменной, содержащее параметр
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Уравнения с одной переменной
1°. Пусть заданы фун ции f(x) и ϕ(x). Если относительно равенства f(x) = ϕ(x) поставлена задача найти все значения переменной, при оторых получается верное числовое равенство, то #оворят, что задано равнение с одной переменной.
2°. Значение переменной, обращающее уравнение в истинное равенство, называют орнем равнения.
3°. Решить уравнение — значит найти множество е#о орней или до азать, что их нет. Это множество называют та же решением равнения.
4°. Множество всех x, при оторых одновременно имеют смысл выражения f(x) и ϕ(x), называют областью определения равнения.
5°. Для то#о чтобы установить область определения уравнения, необходимо найти пересечение множеств, на оторых определены данные фун ции f(x) и ϕ(x).
2. Понятие о равносильности равнений
1°. Два уравнения называют равносильными (или э вивалентными) на данном числовом множестве, если аждое решение ( о- рень) одно#о уравнения является решением ( орнем) дру#о#о, и наоборот.
2°. Заметим, что если оба уравнения не имеют решений на данном числовом множестве, то их та же считают равносильными на этом множестве.
21
3°. Например, уравнения x2 + 3 = 0 и x4 + 2 = 0 равносильны на множестве действительных чисел, та а множество решенийаждо#о из них пустое.
3.Свойства числовых равенств и теоремы о равносильностиравнений
1°. Числовое равенство не нарушится, если обеим е#о частям прибавить или отнять одно и то же число.
2°. Если обеим частям уравнения f(x) = ϕ(x) прибавить одну и ту же фун цию A(x), имеющую смысл при всех допустимых значениях переменной, то получится новое уравнение f(x) + A(x) = = ϕ(x) + A(x), равносильное данному.
3°. Любое сла#аемое можно перенести из одной части уравнения в дру#ую, изменив зна это#о сла#аемо#о на противоположный.
4°. Числовое равенство не нарушится, если обе е#о части умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
5°. Если обе части уравнения f(x) = ϕ(x) умножить (или разделить) на одну и ту же фун цию A(x) − 0, имеющую смысл для любо#о x из области определения, то получится новое уравнение
f(x) |
ϕ(x) |
, равносильное данному. |
A(x) · f(x) = A(x) · ϕ(x) или ------------ |
= ------------ |
|
A(x) |
A(x) |
|
4. Линейное равнение с одной переменной, содержащее параметр
1°. Пусть дано уравнение вида |
|
f(a, b, c, ... , k, x) = ϕ(a, b, c, ... , k, x), |
(1) |
#де a, b, c, ... , k, x — переменные величины.
2°. Переменные a, b, c, ... , k, оторые при решении уравнения
(1) считаются постоянными, называют параметрами, а само уравнение называют равнением, содержащим параметры.
3°. Решить уравнение (1) — значит у азать, при а их значениях параметров существуют значения x, удовлетворяющие данному уравнению.
З а м е ч а н и я.
1. В дальнейшем уравнение
F(x, a) = 0 |
(2) |
условимся понимать не а уравнение с двумя переменными, а а уравнение с одной переменной x и одним параметром a.
22
2.Решить уравнение (2) — это значит решить (на множестве действительных чисел) семейство уравнений, оторые получаются из уравнения (2) при различных действительных значениях параметра a.
3.При решении уравнения с параметром (параметрами) стремятся выделить «особые» значения параметра (ино#да их называют « онтрольными»), в оторых или при переходе через оторые происходит ачественное изменение уравнения.
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
1.В зависимости от значений параметра a решить уравнение ax = 0.
1.Это уравнение содержит параметр a (переменную, оторая в условии данно#о примера сохраняет одно и то же значение).
2.а) Пусть a = 0; то#да 0 · x = 0, т. е. x Ý R.
0
б) Пусть a − 0; то#да x = -- = 0. a
3.Ответ: если a = 0, то x Ý R; если a − 0, то x = 0.
2.В зависимости от значений параметра a решить уравнение ax = a.
1.Данное уравнение содержит параметр a.
2.а) Пусть a = 0; то#да 0 · x = 0, т. е. x Ý R.
a
б) Пусть a − 0; то#да x = -- = 1. a
3. Ответ: если a = 0, то x Ý R; если a − 0, то x = 1.
3. В зависимости от значений параметра a решить уравнение
x + 2 = ax. |
(1) |
1.Данное уравнение содержит параметр a.
2.После упрощения уравнение (1) примет вид x – ax = –2, т. е.
x(1 – a) = –2. |
(2) |
3.а) Пусть 1 – a = 0, т. е. a = 1; то#да получим уравнение x · 0 =
=–2, оторое не имеет орней.
б) Пусть 1 – a − 0, т. е. a − 1; то#да уравнение (2) имеет единст-
венный орень x = |
-----2------- |
. |
|
a – 1 |
|
23
4. Ответ: если a = 1, то нет орней; |
|
|
если a − 1, то единственный орень x = |
-----2------- |
. |
|
a – 1 |
|
З а м е ч а н и е. Ка понимать выражение: «уравнение имеет единственный орень»?
Это означает, что аждому допустимому значению a соответствует единственное значение x.
Например, если a = 0, то x = –2; если a = 2, то x = 2 и т. д.
4. В зависимости от значений параметра a решить уравнение |
|
(a2 – 1)x = 2a2 + a – 3. |
(1) |
1. Приведем уравнение (1) виду |
|
(a – 1)(a + 1)x = (2a + 3)(a – 1). |
(2) |
2. а) Пусть a = 1; то#да уравнение (2) примет вид 0 · x = 0. Е#о решением является любое действительное число, т. е. x Ý R.
б) Пусть a = –1; то#да уравнение (2) примет вид 0 · x = –2. Это уравнение не имеет решений.
в) Пусть a − –1 и a − 1; то#да уравнение (2) имеет единственное решение
2a + 3 |
|
|
x = ---------------- . |
|
|
a + 1 |
|
|
3. Ответ: если a = 1, то x Ý R; |
|
|
если a = –1, то нет орней; |
|
|
если a − –1, a − 1, то x = |
2----a-----+------3- . |
|
|
a + 1 |
|
5. Решить уравнение |
|
|
2a(a – 2)x = a – 2. |
(1) |
1.Пусть a = 0; то#да уравнение (1) примет вид 0 · x = –2. Это уравнение не имеет решений.
2.Пусть a = 2; то#да уравнение (1) примет вид 0 · x = 0. Корнем это#о уравнения служит любое действительное число.
3.Пусть a − 0 и a − 2; то#да из уравнения (1) следует, что x =
= |
-------a------–---2-------- |
, от уда находим x = |
--1---- . |
|
2a(a – 2) |
|
2a |
24
4. Ответ: если a = 0, то орней нет; если a = 2, то x Ý R;
1
если a − 0, a − 2, то x = ------ .
2a
6. В зависимости от значений параметра a решить уравнение
a + x |
= 0. |
x----2-----–----5-----x----–-----6- |
1.По смыслу уравнения должно быть x2 – 5x – 6 − 0, т. е. x − –1,
x − 6.
2.При x − –1 и x − 6 данное уравнение имеет решение x = –a.
3.Из условий x − –1 и x − 6 следует, что a − 1 и a − –6.
4.Ответ: если a − –6, a − 1, то x = –a;
если a = –6, a = 1, то x Ý ¾.
7. При а их значениях параметра b уравнение
ax – b = 2a + 3x |
(1) |
имеет решение для любо#о a?
1. Преобразуем уравнение (1) виду
(a – 3)x = b + 2a. |
(2) |
2. Пусть a − 3; то#да уравнение (2) имеет решение
b+ 2a x = ----------------
a – 3
при любом значении b.
3. Следовательно, единственным значением a, при отором мо- #ут отсутствовать решения уравнения (2), является a = 3. В этом случае уравнение (2) примет вид
0 · x = b + 6. |
(3) |
4.Если b − –6, то уравнение (3) не имеет решений. Если же b =
=–6, то любое x Ý R есть решение уравнения (3).
5.Ита , b = –6 есть единственное значение параметра b, приотором уравнение (2) имеет решение для любо#о a (а именно, x = 2 для a − 3 и x Ý R для a = 3).
6.Ответ: b = –6.
25
8. В зависимости от значений параметра k решить уравнение
---------3----kx---------–----5--------- |
+ |
3----k-----–------11---- |
= |
2----x-------+----7- . |
(1) |
(k – 1)(x + 3) |
|
k – 1 |
|
x + 3 |
|
1.По смыслу уравнения должно быть (k – 1)(x + 3) − 0, т. е. k − 1, x − –3.
2.Упростив уравнение (1), получим
3kx – 5 + (3k –11)(x + 3) = (2x + 7)(k – 1), |
|
|
или |
|
|
(4k – 9)x = 31 – 2k. |
(2) |
|
9 |
находим |
|
3. Из уравнения (2) при k − -- |
|
|
4 |
|
|
31– 2k x = ------------------- .
4k – 9
4.Теперь проверим, существуют ли та ие k, при оторых найденное значение x равно (–3). Имеем
|
31---------–------2---k- |
= – 3, |
|
|
|
|
|
|
4k – 9 |
|
|
|
|
|
|
от уда k = –2-- . |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5. Та им образом, при k − 1, k − 9-- , k − – |
2-- |
уравнение (1) имеет |
|||||
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
единственное решение x = |
31---------–------2---k- |
; при k = |
9-- |
и при k = – |
2-- |
решений |
|
|
4k – 9 |
|
4 |
|
|
5 |
|
нет; при k = 1 уравнение не имеет смысла.
6. Ответ: если k − – |
2-- |
, k − 1, k − |
9-- |
, то x = |
31---------–------2---k- |
; |
||
|
5 |
|
|
|
4 |
|
4k – 9 |
|
если k = – |
2-- |
или k = |
9-- |
, то орней нет; |
|
|||
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
если k = 1, то уравнение не имеет смысла.
З а м е ч а н и я.
1. Необходимо иметь в виду, что если при а ом-либо значении параметра k = k0 данное уравнение не имеет смысла, то, разумеется, нет и е#о решения при k = k0.
26
2. Обратное утверждение неверно. Например, нельзя утверждать,
что при k = –2-- |
рассмотренное выше уравнение не имеет смысла. |
||||
5 |
|
|
|
|
|
3. Подставив в уравнение (1) значение k = – |
2-- |
, получим |
|||
|
|
|
|
5 |
|
|
--6---x------+----25------ |
+ 61------ |
= 2----x-------+----7- . |
|
(3) |
|
7(x + 3) |
7 |
x + 3 |
|
|
Та им образом, при k = – |
2-- уравнение (1) имеет смысл. Одна о |
||||
|
|
5 |
|
|
|
это уравнение не имеет орней, та а орень x = –3 уравнения 53x = –159, оторому сводится уравнение (3), является для не#о посторонним.
9. Решить относительно x уравнение
a2 |
+ x |
– |
a2 – x |
= |
4abx + 2a2 – 2b2 |
(1) |
||
--b--2----- |
------ |
--b--2----- |
------ |
---------------b---4---- |
------------------------ . |
|||
– x |
|
+ x |
|
– x2 |
|
1.По смыслу уравнения x − äb2.
2.Та а b4 – x2 − 0, то, умножив обе части уравнения (1) на b4 – x2, получим
(a – b)2x = a2 – b2. |
(2) |
3.Пусть a = b; то#да уравнение (2) примет вид 0 · x = 0, т. е. оно удовлетворяется при любом действительном значении x, роме x = äb2.
4.Пусть a − b; то#да уравнение (2) примет вид
|
|
x = |
a2 – b2 |
= |
a + b |
. |
|
|
(----a-----–----b---)--2- |
--a-----–----b- |
|||
|
|
|
|
|
||
5. Найдем теперь те значения a и b, при оторых выполняются |
||||||
равенства a-------+----b- |
= b2 и a-----+------b- = –b2: |
|
|
|
||
|
a – b |
a – b |
|
|
|
|
а) a-----+------b- |
= b2; a + b = ab2 – b3, от уда a = b----(---b----2----+-----1---) ; |
|||||
a – b |
|
|
|
|
|
b2 – 1 |
б) a-------+----b- |
= –b2; a + b = –ab2 + b3, от уда a = b----(---b----2----–---1-----) . |
|||||
a – b |
|
|
|
|
|
b2 + 1 |
27
6. Ответ: если a − b, a |
b(b2 |
+ 1) |
|
b(b2 – 1) |
, то x = |
a + b |
; |
||||
− --------- |
---- |
–-----1----- |
, a − ------------------ |
1----- |
------------ |
||||||
|
|
b2 |
|
b2 + |
|
a – b |
|
||||
если a = b, то x Ý R, роме x = äb2; |
|
|
|
||||||||
если a = |
b(b2 |
+ 1) |
или a = |
b(b2 – 1) |
, то орней нет. |
||||||
-----b----2---- |
–-----1----- |
----b-----2----+-----1----- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. Найти значения параметра m, при оторых уравнение |
|
|
|||||||||
m2x – m2 + 6 = 4x + m |
|
|
|
(1) |
а) имеет единственное решение; б) не имеет решений;
в) имеет бес онечное множество решений.
1. Приведем уравнение (1) виду
(m2 – 4)x = m2 + m – 6. |
(2) |
2.Уравнение (2) имеет единственное решение, если m2 – 4 − 0,
т.е. если m − ä2.
3.Уравнение (2) не имеет решений, если выполнены условия
m2 |
– 4 = 0, |
т. е. |
|
m = ä2, |
от уда m = –2. |
|
|||||
|
|||||
m2 |
+ m – 6 − 0, |
|
m − 2; m − –3, |
||
|
4.Уравнение (2) имеет бес онечное множество решений, если
иоэффициент при x, и правая часть одновременно равны нулю:
m2 |
– 4 = 0, |
т. е. |
|
m = ä2, |
от уда m = 2. |
|
|||||
|
|||||
m2 |
+ m – 6 = 0, |
|
m = 2; m = –3, |
||
|
5. Ответ: а) m Ý (–×; –2) Ÿ (–2; 2) Ÿ (2; +×); б) m = –2; в) m = 2.
11. В зависимости от значений параметра k решить уравнение
2 |
|
1 |
|
kx---------+------2- |
= |
2----x-------+----k- . |
(1) |
1.Допустимыми значениями x и k являются те, при оторых kx + 2 − 0 и 2x + k − 0, т. е. kx − –2 и 2x − –k.
2.Упростив уравнение (1) при допустимых значениях k и x, получим 4x + 2k = kx + 2, или
(k – 4)x = 2(k – 1). |
(2) |
28
3. Пусть k = 4; то#да уравнение (2) не имеет решений.
Пусть k − 4; то#да x = |
2----(---k------–---1----) . |
|
|
|
k – 4 |
4. Ис лючим теперь значения k, при оторых kx = – 2 и 2x = –k. |
||
а) kx = –2, т. е. 2k(k –----------------------1--) = –2 или |
||
|
k – 4 |
|
|
k2 – k = –k + 4, |
|
|
||
|
||
|
k − 4, |
от уда k = ä2, k − 4. |
|
|
|
б) Эти же значения k получим, решив уравнение 2x = –k. Дей- |
||
ствительно, 2x = –k, т. е. |
4----(---k------–---1----) = – k или |
|
|
|
k – 4 |
4k – 4 = –k2 + 4k, |
от уда k = ä2, k − 4. |
||
k |
− 4, |
||
|
5. Ответ: если k − ä2, k − 4, то x =
если k Ý {ä2; 4}, то x Ý ¾.
12. В зависимости от значений параметров a и b решить уравнение
ax – 1 |
b |
a(x2 + 1) |
= 0. |
(1) |
---------------- |
+ ------------ |
– ------------------------ |
||
x – 1 |
x + 1 |
x2 – 1 |
|
|
1.Уравнение имеет смысл при всех x − ä1.
2.С учетом ОДЗ преобразуем уравнение (1) в равносильное:
|
(ax – 1)(x + 1) + b(x – 1) = a(x2 + 1), |
|
или |
|
|
|
x(a + b – 1) = a + b + 1. |
(2) |
3. |
а) Пусть a + b = 1; то#да уравнение (2) не имеет решений. |
|
|
a + b + 1 |
|
б) Пусть a + b − 1; то#да x = ---------------------- . |
|
|
|
a + b – 1 |
|
4. |
Из условия x − –1 следует, что a + b + 1 − –(a + b – 1), т. е. |
|
a + b − 0. |
|
|
5. |
Равенство x = 1, т. е. a + b + 1 = a + b – 1, не выполняется ни |
|
при а их значениях a и b. |
|
|
6. |
a + b + 1 |
; |
Ответ: если a + b − 0, a + b − 1, то x = ---------------------- |
||
|
a + b – 1 |
|
если a + b = 0 или a + b = 1, то x Ý ¾.
29
13. В зависимости от значений параметра a решить уравнение
a-----+------2----x- |
= 1. |
(1) |
1 + ax |
|
|
1. В области определения данно#о уравнения, т. е. при 1 + ax − 0, имеем
a-------+----2----x-----–----1-----–----ax------ |
= 0, или (2 – a)x = 1 – a. |
(2) |
1 + ax |
|
|
Полученное уравнение (2) — линейное.
2. Если оэффициент при неизвестном в линейном уравнении отличен от нуля, то уравнение имеет орень и притом единственный.
Значит, если a − 2, то уравнение (2) имеет единственный о-
1 – a
рень x = ------------ . При этом для исходно#о уравнения (1) должно вы-
2 – a
полняться условие 1 + ax − 0, т. е.
1 – a
1 + a · ------------ − 0, от уда a − ä 2 .
2 – a
3. Если оэффициент при неизвестном в линейном уравнении равен нулю, а свободный член не равен нулю, то уравнение не имеет орней.
Этот случай для уравнения (2) реализуется при a = 2. Следовательно, исходное уравнение (1) при a = 2 и при a = ä2 не имееторней.
4.Если оэффициент при неизвестном и свободный член в линейном уравнении равны нулю, то уравнение имеет бес онечное множество орней.
Последний случай для уравнения (2) не имеет места ни при а-их a.
5.Ответ: если a − 2, a − ä2 , то уравнение имеет единствен-
1 – a
ный орень x = ------------ ;
2 – a
если a = 2 или a = ä2 , то уравнение не имеет орней.
14. При а их значениях a уравнения x2 – a = 0 и x – a = 0 равносильны?
1. Если a > 0, то первое уравнение имеет два орня, а второе — толь о один, и в этом случае о равносильности речь идти не может.
30