Задачи с параметрами и методы их решения
.pdf2°. Из определения #еометричес ой про#рессии следует, что отношение любо#о ее члена предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2 : b1 = b3 : b2 = ... = bn : bn – 1 = ... . Это число называют знаменателем #еометричес ой про#рессии и обозначают бу вой q.
3°. Для то#о чтобы задать #еометричес ую про#рессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, условиями b1 = 4, q = –3 (q < 0) задается #еометричес ая про#рессия 4, – 12, 36, –108... . Эта про#рессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
4°. Если q > 0 (q − 1), то про#рессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1 = –2, q = 3; то#да #еометриче- с ая про#рессия –2, –6, –18, ... есть монотонно убывающая последовательность.
5°. Хара теристичес ое свойство еометричес ой про рессии.
Последовательность (bn) является #еометричес ой про#рессией то#- да и толь о то#да, о#да аждый ее член, начиная со второ#о, есть среднее #еометричес ое соседних с ним членов, т. е.
bn2 |
+ 1 = bn · bn + 2, #де n Ý N. |
(1) |
6°. Формула n-#о члена #еометричес ой про#рессии имеет вид
b |
n |
= b |
1 |
· qn – 1, #де n Ý N. |
(2) |
|
|
|
|
7°. Формула суммы n первых членов #еометричес ой про#рессии имеет вид
= bnq – b1
Sn --------------------
q – 1
или
S = b1(qn – 1) n --------------------------
q – 1
(q − 1)
(q − 1).
(3)
(4)
8°. Из определения знаменателя #еометричес ой про#рессии следует, что b1 · bn = b2 · bn – 1 = ... , т. е. произведение членов, равноотстоящих от онцов про#рессии, есть величина постоянная.
4.С мма бес онечной (еометричес ой про(рессии при |q| < 1
1°. Пусть (xn) — #еометричес ая про#рессия со знаменателем q, #де |q| < 1 и x1 − 0. То#да с ммой бес онечной #еометричес ой про- #рессии, знаменатель оторой удовлетворяет условию |q| < 1, называется предел суммы n первых ее членов при n º ×.
171
2°. Обозначим сумму бес онечной #еометричес ой про#рессии через S. То#да справедлива формула S =
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
1. При а их значениях параметра a найдутся та ие значения x,
что числа 51 + x + 51 – x, a-- , 25x + 25–x, взятые в у азанном поряд е,
2
составляют арифметичес ую про#рессию?
1.Положим y = 5x + 5–x. То#да 25x + 25–x = (5x + 5–x)2 – 2 =
=y2 – 2.
2.Та а заданные числа должны составлять арифметиче- с ую про#рессию, то, со#ласно ее хара теристичес ому свойству, имеем
a |
= |
y2 + 5y – 2 |
, |
|
-- |
-------------2--------------- |
|
||
2 |
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
y2 + 5y – a – 2 = 0, |
(1) |
|||
от уда a = y2 + 5y – 2.
3.Заметим, что при любом x значение y l 2, от уда следует, что a l 12.
4.С дру#ой стороны, дис риминант уравнения (1) должен быть
33
неотрицательным, т. е. D = 25 + 4(a + 2) l 0, или a l –------ .
4
33
5. Из неравенств a l 12 и a l –------ следует, что a l 12.
4
6.Ответ: a Ý [12; +×).
2.При а их значениях параметра a орни уравнения
x3 + ax2 + 14x + 8 = 0 |
(1) |
составляют #еометричес ую про#рессию?
1. Пусть x0, x0q, x0q2 — орни уравнения (1), составляющие #еометричес ую про#рессию, #де q — знаменатель про#рессии.
172
2. То#да |
|
|
|
x3 + ax2 + 14x + 8 = (x – x |
)(x – x |
q)(x – x q2). |
(2) |
0 |
0 |
0 |
|
3. Рас рывая с об и в правой части равенства (2), приводя подобные члены и приравнивая оэффициенты при одина овых степенях x, получим систему
x0 + x0q + x0q2 = –a,
x20 q + x20 q2 + x20 q3 = 14,
x30 q3 = –8.
4.Из первых двух уравнений этой системы следует, что ax0q =
=–14. Из третье#о уравнения выте ает равенство (ax0q)3 = –8a3.
Та им образом, a3 = 73, т. е. a = 7.
5.Ответ: a = 7.
3.Найти все значения параметра a, при оторых множество решений неравенства
x(x – 2) m (a + 1)(|x – 1| – 1) |
(1) |
содержит все члены не оторой бес онечно убывающей #еометриче- с ой про#рессии с первым членом, равным 1,7.
1. Преобразуем неравенство (1) следующим образом: |
|
x2 – 2x – (a + 1)|x – 1| + a + 1 m 0; |
|
x2 – 2x + 1 – (a + 1)|x – 1| + a m 0; |
|
|x – 1|2 – (a + 1)|x – 1| + a m 0; |
|
(|x – 1| – 1)(|x – 1| – a) m 0. |
(2) |
2.Левая часть неравенства (2) представляет собой вадратный трехчлен (t – 1)(t – a) относительно переменной t = |x – 1|. Корни это#о трехчлена равны 1 и a, причем ветви соответствующей ему параболы направлены вверх.
3.Та а по условию x = 1,7 есть решение неравенства (1), то 1,7(–0,3) m (a + 1)( –0,3), или 1,7 l a + 1, т. е. a m 0,7.
Поэтому неравенство (2) равносильно следующему:
a m |x – 1| m 1. |
(3) |
173
4.Пусть a m 0. То#да неравенство a m |x – 1| верно при всех x. Далее, неравенство |x – 1| m 1 равносильно неравенству –1 m x – 1 m 1,
т.е. оно выполняется для всех x из отрез а [0; 2]. Этот отрезо содержит все члены любой #еометричес ой про#рессии с первым членом, равным 1,7, и знаменателем q Ý (0; 1). Та им образом, значения a m 0 удовлетворяют требованию задачи.
5.Пусть 0 < a m 0,7. В этом случае неравенство (3) равносильно системе
|x – 1| m 1, 
|x – 1| l a,
решением оторой является множество x та их, что x Ý [0; 1 – a] Ÿ Ÿ [1 + a; 2]. Пос оль у 1 + a m 1,7, отрезо [1 + a; 2] содержит число 1,7, т. е. первый член про#рессии. При этом знаменатель q > 0 про- #рессии все#да можно выбрать та , чтобы выполнялось неравенство 1,7q m 1 – a (например, взять q = 0,1). То#да все члены та ой бес онечно убывающей #еометричес ой про#рессии, начиная со второ#о, будут принадлежать отрез у [0; 1 – a]. Следовательно, рассматриваемые значения a та же удовлетворяют требованию задачи.
6. Ответ: a Ý (–×; 0,7].
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Пусть x1 и x2 — орни уравнения x2 – 3x + a = 0, а x3 и x4 —орни уравнения x2 – 12x + b = 0. Известно, что числа x1, x2, x3, x4
(взятые в у азанном поряд е) образуют возрастающую #еометричес ую про#рессию. Найти a и b.
2.При а их значениях параметра a уравнение x3 + 3x2 – 6x +
+a = 0 имеет три различных орня, составляющих #еометриче- с ую про#рессию? Найти эти орни.
3.При а их значениях параметра a орни уравнения x3 + 6x2 +
+11x + a = 0 составляют арифметичес ую про#рессию? Найти этиорни.
4.При а их значениях a существуют та ие x, что числа 41 + x +
+41 – x, a, 16x + 16–x, взятые в у азанном поряд е, составят арифметичес ую про#рессию?
5.Произведение 2-#о и 12-#о членов арифметичес ой про#рессии равно 1, а произведение 4-#о и 10-#о членов равно a. Найти 7-й член про#рессии.
174
6. Сумма вадратов 4-#о и 10-#о членов арифметичес ой про- #рессии равна p, а сумма вадратов 5-#о и 9-#о членов равна 1. Найти произведение 2-#о и 12-#о членов про#рессии.
Ответы
|
|
1. a = 2, b = 32. 2. a = –8; x1 = –1, x2 = –2, x3 = –4. 3. a = 6; x1 = –1, |
||||
x |
2 |
= –2, x |
3 |
= –3. 4. a Ý [5; +×). 5. ä ------25-------a-----–----9- |
, a Ý (1; +×). 6. |
34---------–----29--------p- , |
|
|
4 |
|
10 |
||
|
|
|
|
|
||
p Ý [1; 2,25].
175
Тема 10
1.Град сное и радианное измерение (ловых величин
2.Три(онометричес ие ф н ции числово(о ар( мента
3.Основные три(онометричес ие тождества
4.Форм лы приведения
5.Форм лы сложения
6.Форм лы двойно(о ар( мента
7.Преобразование произведения три(онометричес их ф н ций в с мм
8.Форм лы с ммы и разности одноименных три(онометричес ий ф н ций
9.Три(онометричес ие ф н ции половинно(о ар( мента
10.Выражение три(онометричес их ф н ций через тан(енс половинно(о ар( мента
Темы 10 и 11 не содержат задач, а в лючают толь о справочный материал, в отором рассматриваются важнейшие три#онометричес ие формулы, а та же определения и свойства три#онометричес их и обратных три#онометричес их фун ций. Одна о наличие это#о материала необходимо для последующе#о решения три#онометричес их уравнений и неравенств с параметрами.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Град сное и радианное измерение (ловых величин
1°. Фи#уру, состоящую из двух различных лучей с общим началом и о#раниченной ими части плос ости, называют лом.
2°. Отметим на оси Ox справа от начала оординат точ у A и проведем через нее о ружность с центром в точ е O (рис. 55). Радиус OA
называют начальным ради сом.
3°. Условимся считать у#ол поворота:
а) отрицательным, если начальный радиус повернут о оло точ-и O по часовой стрел е;
176
1 – cos
1 – sin