Kolmogorov_v_vospominaniyah_uchenikov_2006

итаких большинство, приехали и без всяких «командировочных» (это понятие, по-видимому, кануло в Лету вместе со многими символами предыдущей эпохи), чтобы повидать друг друга, ибо еще не ушло и даже не очень устарело человеческое общение, дух общности людей, объединяемых чем-то для них значимым

иценным. Для тех, кто 16 июня, в день открытия форума, заполнил и переполнил этот зал, таким объединяющим, притягивающим началом было имя Колмогоров.

Конференцию открывал ректор Московского университета академик В. А. Садовничий. Приведу несколько его вступительных слов:

«Андрей Николаевич Колмогоров прожил долгую жизнь, 67 лет из которой он провел в стенах Московского университета. Менялись сами эти стены – на середине срока, который мы отмечаем сегодня, университет переехал из ставшего тесным, но оставшегося уютным здания на Моховой в это, казавшееся тогда грандиозным, здание на Ленинских горах.

Но как тогда, в 1953-м, самая большая, 74-я, аудитория, была заполнена до отказа на торжественном заседании университета, Академии наук и Московского математического общества, посвященном 50-летию Колмогорова, так

исегодня этот огромный зал полон учеников, научных внуков и правнуков, сподвижников, последователей и продолжателей колмогоровских идей, шагнувших в новое тысячелетие, но продолжающих испытывать не только влияние его вклада, его теорий и методов, открытых и привнесенных им в самые разные области

инаправления математики, но и влияние его неповторимой и непостижимой личности».

Вице-президент Академии наук академик В. В. Козлов, приветствуя собрав-

шихся, сказал:

«История Российской академии наук знает лишь немного имен, которые могли бы сравниться с именем Андрея Николаевича Колмогорова по уникальности его места в ней.

...Для многих из присутствующих в зале он, несмотря на внушительность юби-

лейной даты, является и современником, а главное, он современен едва ли не всей современной математике, что отражает и название нашей конференции».

Откликнулся на приглашение приехать на конференцию и президент Европейского математического союза сэр Джон Кингман. Конечно, мы ожидали от него приветственных слов. Но в своем выступлении он предстал перед нами не столько как деятель такого внушительного международного ранга, сколько как математик, непосредственно прикоснувшийся к живому источнику творчества Колмогорова:

«Для меня огромное удовольствие представлять европейское математическое сообщество по случаю празднования 100-летия со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова, одного из очень малого числа действительно великих математиков XX столетия. Хотя Колмогоров всю свою долгую творческую жизнь проработал в России, его влияние было глобальным, и лишь немногие математики в Европе или за ее пределами могли не попасть под это всеобъемлющее влияние его глубокого и животворящего творчества... Им восхищаются геометры, топологи и аналитики. Любой логик знает его работы по алгоритмической сложности. Для прикладного математика он – человек, который сделал наиболее

важный, даже уникальный вклад в невозможно трудную проблему постижения турбулентного течения. С Арнольдом и Мозером он произвел революцию в теории динамических систем. С Синаем внес новый инвариант в эргодическую теорию. С Н. В. Смирновым он дал статистикам новый инструмент для непараметрического оценивания...

Но была и „золотая нить“, соединяющая все его работы, и этой нитью была его математика вероятности. Это было предметом его ранних работ, и это оставалось главенствующим интересом на протяжении всей его долгой жизни

вматематике. Более того, многие из его успешных вторжений в какие-то иные области были, по сути, результатом его глубокого осмысления феномена стохастичности. Поэтому я надеюсь, что меня не сочтут уж чрезмерно пристрастным,

если, будучи вероятностником, я сконцентрируюсь в этом своем выступлении на влиянии Колмогорова на современную теорию вероятностей».

Будучи тоже «вероятностником», и я хочу об этой науке сказать несколько слов.

На протяжении более полувека Колмогоров был общепризнанным лидером

втеории вероятностей. Никто не сделал для этой науки больше него. «Мы

имеем по крайней мере одно весьма серьезное преимущество – владеем вероятностным мышлением», – говорил Колмогоров. Вместе с А. Я. Хинчиным и многими своими учениками он завершил построение классического этапа теории вероятностей, начала которой были заложены Я. Бернулли, П.-С. Лапласом и П. Л. Чебышёвым. Затем он разработал аксиоматику теории вероятностей (это достижение Колмогорова, пожалуй, более всего известно), создал теорию так называемых марковских случайных процессов, у истоков которой стояли А. Эйнштейн, М. Смолуховский и другие выдающиеся физики. А в конце своей творческой жизни Андрей Николаевич провозгласил начало грандиозной программы по осмыслению единства детерминированных и случайных явлений: мир един – большинство детерминированных явлений обладают определенной неустойчивостью и рано или поздно начинают вести себя, как случайные, и наоборот, случайные явления подчиняются строгим законам. В основе этого нового осмысления лежит понятие сложности – в этой концепции соединились фактически все направления его научных поисков: и его исследования в теории функций, с которых он начинал учеником знаменитой Московской математи-

ческой школы Н. Н. Лузина и где достиг первого выдающегося успеха, и его труды в области математической логики, теории информации, теории автоматов, теории аппроксимации, динамических систем, классической механики, теории турбулентности и, конечно, теории вероятностей. Творческая биография Андрея Николаевича Колмогорова предстает общностью идей, теорий и результатов, соединенных между собой единым философским и естественнонаучным замыслом.

На торжественном открытии юбилейной конференции взял слово и еще один математик и крупный организатор современной математической науки, основатель и в течение 20 лет директор Исследовательского института математики в Цюрихе, секретарь Международного математического союза и президент Математического общества Швейцарии профессор Бено Экман. Его речь, как мне

22 А. Н. Ш и р я е в. Неземное притяжение

кажется, наиболее ярко и выпукло иллюстрирует заголовок этой статьи, – позволю себе поэтому привести довольно длинный отрывок из его выступления.

«Впервые я услышал имя Колмогорова, когда только начиналась моя студенческая жизнь, где-то в 1936-м. Мишель Планшерель (автор формулы Планшереля), один из наших профессоров, советовал нам изучить книжку из серии „Ergebnisse“ 1933 г. [это и были знаменитые „Grundbegri e der Wahrscheinlichkeitsrechnung“ („Основные понятия теории вероятностей“), вышедшие в 1933 г. на немецком языке в шпрингеровской серии „Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete“. – А. Ш.] некоего русского по имени Колмогоров, в которой понятие „вероятность“, наконец, было поставлено на строгую аксиоматическую основу. Я помню как сейчас – это был сенсационный, даже драматический прорыв!.. Мы, молодые, были в восторге – логическое обоснование вероятности, данное в 1933-м году, было кристально ясным, абстрактным и в то же время сводящим всё к единой терминологии и ведущим к конкретным приложениям...

В 1939-м, приступив к работе над своей диссертацией по топологии под руководством Хайнца Хопфа, я услышал рассказы о нем Хопфа, например, о знаменитой топологической конференции 1935 г. в Москве. На той конференции Колмогоров ввел очень важное понятие (независимо от Дж. Александера) – понятие когомологии. С того времени когомология изучалась настолько со всех сторон, столькими математиками, что стала неотъемлемой и в алгебре, и в функциональном анализе, и в теории меры, и Бог знает где еще – вот только как-то остается в тени, что само понятие восходит к Колмогорову!

...В те ранние годы Колмогоров внес и многое другое в алгебраическую топологию для разного типа пространств. В то время лишь немногие могли предвидеть, что топологические идеи окажутся важными и плодотворными еще на целый век, но Колмогоров смог...

Х. Хопф сказал еще, что и во многих других отношениях это выдающийся молодой человек – необыкновенных физических возможностей, взбирающийся на четырехтысячные вершины, бегающий на лыжах на сумасшедшие дистанции, плавающий в ледяной воде...

...Только в 1954-м я смог, наконец, увидеть Колмогорова – когда он прочитал свой феноменальный форумный доклад на Международном конгрессе математиков в Амстердаме – о динамических системах – начале того, что потом стало называться КАМ-теорией.

На следующем конгрессе, 1958 г., в Эдинбурге я снова слушал колмогоровский доклад, на этот раз по функциональному анализу; на конгрессе 1962 г. в Стокгольме – уже о наилучшем приближении функций.

...И чем лучше я узнавал Колмогорова, тем отчетливее становилось, что его общекультурная универсальность в самой математике простирается до логики

иобоснований, а дальше – до искусства и поэзии, истории и теории образования. Именно его человеческая универсальность позволила ему стать и непревзойденным, совершенно уникальным Учителем. А нам, людям одной с ним профессии, повезло узнать от него, что математика – это свободная творческая мощь человеческого ума и средство понимания МИРА через теоретические построения,

ив то же время часть культурной традиции, которую мы должны передать следу-

ющим поколениям. На большее мы не можем надеяться – на меньшее не должны соглашаться».

Празднование 100-летия Колмогорова в Москве этим большим международным форумом, скорее, завершалось. А началось оно в апрельские дни, дни юбилея. В самый день его столетия, 25 апреля, состоялось торжественное заседание Ученого совета механико-математического факультета Московского университета, которому Андрей Николаевич верой и правдой служил более шестидесяти лет своей жизни.

За неделю до этого большим памятным вечером отметил юбилей своего славного члена Московский дом ученых (сохранился членский билет А. Н. – его номер 5422).

А через неделю – огромное стечение народа на вечере, организованном Клубом молодых ученых университета в зале Дома культуры на Ленинских горах. Наверное, этот зал помнит многолюдие публичных выступлений Колмогорова в начале шестидесятых. В фойе – выставка основных математических статей и книг Андрея Николаевича и продажа книг о нем. Народ толпится и там, и здесь...

На этом вечере происходит одно удивительное событие: ректор Московского университета Виктор Антонович Садовничий поднимается с огромным букетом цветов, который со словами поздравления преподносит ученику А. Н. академику Сергею Михайловичу Никольскому, которому в этот день исполнилось 98 (!) лет! Ученик, всего двумя годами моложе своего великого Учителя, в зале и произносит совершенно замечательную речь!

«Беседовал долго с Никольским – он назначен моим ассистентом по теории вероятностей, будет весной читать сам курс в качестве доцента. Выбор удачный, так как он и достаточно самостоятелен, и умен,

и, в то же время, без мнительности», – вспоминается из письма Андрея Николаевича П. С. Александрову из Днепропетровска 24 сентября 1932 г. (Колмогорову – двадцать девять, Никольскому – двадцать семь!)

11 июня, за несколько дней до открытия юбилейной конференции, в Комаровский дом, где провели и большую´ и лучшую часть своей жизни А. Н. Колмогоров и П. С. Александров, съехалось много гостей. Предстояло торжественное открытие мемориальных барельефов этих математиков и памятной доски. Приехали, наверное, все ученики, которые в этот день оказались в Москве, было и много официальных лиц. Выступил и ректор Московского университета академик В. А. Садовничий, декан механико-математического факультета МГУ академик О. Б. Лупанов, глава города Королева, в черту которого входит теперь Комаровка, А. Ф. Морозенко, советник РАН и главный редактор «Трудов Стекловского института» (так, или уж совсем запросто – Стекловкой, называют академический Математический институт им. В. А. Стеклова) академик Е. Ф. Мищенко, ученик Александрова, немало дней своей математической юности проведший в этом гостеприимном доме; другой старожил Комаровки, профессор кафедры высшей геометрии и топологии Ю. М. Смирнов. От учеников Колмогорова произнесли слово академик С. М. Никольский (в свои 98 лет приехавший вместе со всеми

на автобусе), профессор В. М. Тихомиров, профессор В. А. Успенский, чл.-корр.

РАО А. М. Абрамов...

У меня сохранился текст моего выступления, из которого я хочу привести здесь несколько строк.

«В этом, Комаровском, доме П. С. Александров и А. Н. Колмогоров не просто обрели крышу над головой и не только получили возможность работать в математике вдали от суеты Москвы и от своих немалых обязанностей лидеров московской математической школы того времени – в нем возник и обоими бережно охранялся особый, уникальный мир. Этот МИР делает уникальным и этот ДОМ, который они считали его вместилищем. Уникальная жизнь, такая математическая коммуна, где неразделимы и нераздельны были не только хозяйство, но и весь образ жизни этих двух математиков, и даже их ученики являлись и ощущали себя, по сути, близкими и тому, и другому.

Колмогоров с Александровым уезжали из суматошной и шумной Москвы, чтобы остаться одним и работать. Но всегда бывали рады, когда их ученики прерывали их уединение. Тут же, в зависимости от времени года, все вставали на лыжи или шли к реке, а еще чаще отправлялись в большие пешие походы, которые Андрей Николаевич называл прогулками. Многим, – нет, теперь уж пожалуй, немногим, – живо памятны эти прогулки, соединенные с научной беседой

изаканчивающиеся обтиранием в снегу, душем, гречневой кашей с молоком...

А для тех, кто оставался ночевать, еще и обязательный музыкальный вечер...»

Яхочу закончить словами из письма Павла Сергеевича, написанного Андрею

Николаевичу из казанской эвакуации:

«Луна светит над нашим домом в Комаровке, как светила пять, десять и тысячу лет тому назад и будет светить через пять, десять

итысячу лет, когда от всего нашего дома и его обитателей останет-

ся только одна бетонная плита под кухней (эта, последняя, вероятно, вообще сохранится до скончания века)».

Надо сказать, что когда производился капитальный ремонт здесь, в Комаровке, я еще не читал этих строк и, конечно, постарался изжить этого ужасного монстра – бетонную плиту под кухней. Но мне это не удалось, даже и с применением серьезной техники.

Видно, словам этим суждено сбыться, и плита эта осталась нам в наследство, как остался в наследие и этот дом, и этот мир, и наш святой долг сохранить их

ипять, и десять, и тысячу лет, а еще лучше – и вообще до скончания века.

Перечитывая сейчас эти александровские строчки (о бетонной плите под кухней), я подумал, что как-то нигде в наших юбилейных публикациях не подмечена особая черточка – особая ироничность, чуть скрытый юмор, которым в полной мере были наделены оба обитателя Комаровского дома. Мы, ученики, конечно, часто ловили какую-то лукавую усмешку, веселый, с искоркой, взгляд нашего учителя, но, пожалуй, не смогли бы толком привести примеры. Теперь таких примеров иногда веселого, а порой и саркастического юмора целая россыпь на страницах вышедших к его 100-летию писем и дневников (составивших 2-ю и 3-ю книгу юбилейного издания «КОЛМОГОРОВ». Первая книга, включающая очерк

о жизни и творчестве Андрея Николаевича и его Библиографию, была подарена всем участникам юбилейной конференции).

Хочу привести здесь несколько таких бисеринок.

Все помнят высказывание Колмогорова: «Скажу в виде шутки, что в настоящее время один из моих учеников управляет земной атмосферой (А. М. Обухов), а другой – океанами (А. С. Монин)»1. Но здесь он сам обозначает это как шутку.

А вот в письме П. С. Александрову 19 октября 1932 г. 29-летний Колмогоров пишет: «В Ленинграде „учреждена“ Академия художеств, и ей передан дом № 17 на Василеостровской набережной (кому он принадлежал прежде, скромно умалчивается, так как это и была Академия художеств)».

В другом письме (9 марта 1935 г.) такие забавные наблюдения, особая, только ему свойственная приметливость:

«Национальный костюм аджарцев сильно отличается от европейского, хотя и состоит из тех же элементов. На тело надевается джемпер, поверх него пиджак, ниже – красноармейские брюки и поверх них носки, подхваченные подвязками. Поверх носков на ноги надеваются калоши и привязываются к ноге веревочкой».

Или 7 марта 1933 г. А. Н. пишет из Днепропетровска, куда поехал читать лекции:

«Обедаю я в „Динамо“ и по-прежнему очень доволен. Немножко только удивителен ресторан при стадионе с подачей водки. Впрочем, кроме водки, заслуживает внимания и то, что на 8–10 посетителей имеется человек 8 официантов, 6 оркестрантов и, наконец, тут же, в зале, установлены столы для трех счетоводов (один счетовод пишет счета, подаваемые посетителям, а два других заняты уже внутренними расчетами с официантами)».

А вот что он сообщает в письме от 18 ноября 1932 г.:

«В Третьяковской галерее выставлено много интересного, но все... размещено т е м а т и ч е с к и, т. е. Репина следует искать в залах, отведенных портретам реакционной буржуазии, отражению народничества в искусстве, распаду дворянского землевладения и во многих других. Часть же ценных портретов еще перенесена на выставку „Лицо классов“, где портреты мелкопоместных помещиков размещены на одной стене, крупных же – на другой; дальше буржуи (мелкие, крупные), финансовый капитал, и т. д.».

В том же письме Андрей Николаевич, без комментариев, выписывает неслыханную белиберду из центральной газеты:

«В „Известиях“ прочел еще буквально следующее:

„Институт математики и механики отправляет ряд экспедиций на запад, в Швецию, в Цюрих и в Париж, для изучения движения вязких жидкостей, действий переменных функции и геометрии“».

1Александр Михайлович Обухов, академик, был директором Института физики атмосферы АН

СССР, а Андрей Сергеевич Монин, ныне тоже академик, – директором Института океанологии АН. – А. Ш.

(Надо полагать, «основой» для этой «корреспонденции» послужил отъезд советской делегации осенью 1932 г. (П. С. Александров был в ее составе) на Международный математический конгресс в Цюрихе.)

Вот шутка с «математико-философским» оттенком:

«Закавказский филиал Академии наук расформировывается в три: Грузинский, Армянский и Азербайджанский. Но, по мнению Николая Ивановича [Мусхелишвили. – А. Ш.], каким-то образом 1/3 от этого целого должна сделаться лишь больше целого, а отнюдь не меньше. Очень возможно, что такая диалектическая арифметика и справедлива» (23 марта 1935 г.).

Искрится мягким юмором рассказ Андрея Николаевича (тоже в письме к П. С. Александрову) об одной встрече в его одинокой лыжной прогулке в горах Грузии:

«Вчера все же спустился в Цагвери вдоль шоссе (14 км при 800 м разницы уровней). Это – прогулка для тебя: лыжи катятся сами, и нет никаких трудностей. Кругом лес, внизу, в ущелье, речка. В Цагвери завтракал и потом отправился за 3 км в Тимотес-Убани. Дорога среди нависших скал очень красива, только в этот раз на них не было снега. В этом ТимотесУбани имел разговор с учительницей, миловидной грузинкой, достойный того, чтобы быть приведенным дословно. Я спросил ее, где здесь старинная церковь. Ответ: „Новый учительница не должны это знать!“ Однако после объяснений о необходимости изучения памятников старины было сказано: „Там, на гора!“ и указано ручкой на уже видный вдали купол».

18 ноября 1998 г. мемориальные доски П. С. Александрову и А. Н. Колмогорову были установлены на стене «профессорской башни» «Л» здания университета на Воробьевых горах, в соседних, 9-й и 10-й квартирах на третьем этаже которой они жили с 1953 г., когда вступило в строй само это здание. На торжественной церемонии открытия мемориальных досок, которую вёл ректор университета В. А. Садовничий, от учеников выступил В. А. Успенский (ныне заведующий кафедрой математической логики и теории алгоритмов, которую в конце своей жизни возглавлял А. Н. Колмогоров). Приведу здесь два отрывка из его речи.

«...Их имена неотделимы одно от другого. По жизни они были ближайшие друзья, по математической науке – коллеги (и выходцы из одной и той же прославленной научной школы Н. Н. Лузина), по общественному служению делу распространения знаний и, прежде всего, делу постановки образования в Московском университете – соратники, по своему мировоззрению, по своим литературным, художественным, музыкальным вкусам, по любви к лыжным и пешим прогулкам, к зимним и летним купаниям, по заботливому вниманию к своим ученикам – товарищи и единомышленники...

Как своими публичными выступлениями, так и личным примером Александров и Колмогоров указывали нравственный подход к проблемам образования и к проблемам науки. Побудительным мотивом научной деятельности, – учили они, – должны быть не карьерные помыслы, не нацеленность на практические приложения и даже не польза для общества. Главным – да, пожалуй, и единственным

мотивом, – должен быть поиск научной истины и ощущение восторга, когда она открывается перед исследователем. (А тогда, уже в качестве сопутствующих обстоятельств, сами собой возникнут и польза для общества, и приложения, и успешная научная карьера.)»

Не знаю, что более правильно, согласиться с этим мнением В. А. Успенского или поспорить с ним... Неоднократно и настойчиво Андрей Николаевич внушал нам, своим ученикам, а главное, мы видим во множестве его собственных работ именно «нацеленность на практические приложения».

«К диссертации надо относиться безразлично», – любил говорить Андрей Николаевич тем из учеников, «кто на такое способен». Это, конечно, не означает, что он «тормозил» диссертации тех, кто уже готов был их представить и защитить. Напротив, он помогал многим и многим и своим словом, и авторитетом своего имени в науке, если у кого-либо случались какие-то осложнения на пути к защите.

Отдельно хочу сказать об отзывах. За более чем шестьдесят лет в математике Андрей Николаевич написал огромное число отзывов на статьи, диссертации. Кроме отзывов на те кандидатские диссертации, в которых он официально выступал как научный руководитель, есть еще гораздо большее число отзывов на диссертации (как кандидатские, так и докторские), в которых он участвовал как оппонент. Или «просто» отзывов, без официального статуса. Убежден, что эти отзывы могли бы не только служить образцом увлеченного отношения к своей науке и профессии, но и дали бы импульс к творчеству многим современным (!) математикам благодаря огромному числу разбросанных в них мыслей о возможных продолжениях исследований, начатых авторами в их диссертациях. Наверное, можно было бы попытаться разыскать все эти отзывы, скажем,

вархивах ВАКа, или хотя бы опубликовать те, черновики которых во множестве хранятся в Комаровском доме. Листая эти бесценные свидетельства, я все время ловлю себя на мысли, что каждое из них заслуживает быть опубликованным

вполном виде.

«Очень существенно в науке (как в поэзии, музыке и т. п.), что человек... при надлежащих моральных качествах воспринимает свою работу,

как особенно ответственный долг», – это тоже завет, оставленный Колмогоровым тем, «кто на такое способен».

Сумеем ли мы его исполнить? Стараемся ли?..

М.А р а т о

А.Н. Колмогоров в Венгрии

Венгерские математики, особенно в области теории вероятностей и математической статистики, считают А. Н. Колмогорова не только одним из самых крупных математиков, но и своим научным учителем, оказавшим непосредственное влияние на развитие математики в нашей стране. Андрей Николаевич хорошо знал ранние результаты в теории вероятностей Кароя Йордана, считал Альфреда Реньи своим молодым талантливым другом и учеником, о Ф. Риссе говорил как об одном из самых крупных математиков XX века.

Я был аспирантом А. Н. Колмогорова в Москве с 1958 по 1962 г., а со многими моими коллегами в области статистики и теории вероятностей – К. Тандори, П. Ревесом, А. Прекопой, И. Чисаром, А. Крамли, И. Винце, Б. Дирешем и другими – он был лично знаком.

Колмогоров посетил Венгрию четыре раза. В 1950 г. он участвовал в Первом съезде венгерских математиков как член советской делегации. Выступил с докладом «Теорема о сходимости условных математических ожиданий и некоторые ее применения», в котором давалось, в частности, изящное доказательство одной теоремы А. Реньи, полученной автором сложным калькулятивным путем. Статья Андрея Николаевича с таким же названием появилась в сборнике «Труды Первого съезда венгерских математиков. 1950 г., 27 авг.–2 сент.» (Akadémiai Kiadó, с. 367–376). Тогда я еще был студентом Сегедского университета и не беседовал

сКолмогоровым, но во время всех последующих посещений Андреем Николаевичем Венгрии был его сопровождающим и переводчиком.

Андрей Николаевич тогда на съезде познакомился со многими венгерскими математиками и особенно был рад встрече с Ф. Риссом, с которым, между прочим, охотно посещал знаменитые будапештские бассейны. Помню, будучи уже тяжело больным, в 1987 г., он с удовольствием вспоминал остров Маргит, бассейны

степлой водой, уличные прогулки и походы в горы неподалеку от Будапешта.

Второй его визит состоялся в 1964 г. по приглашению Математического института и Венгерской академии наук. Андрей Николаевич выступил с докладом, в котором рассказал о результатах своего ученика А. Ширяева в проблематике «разладки» и сотрудника своей кафедры, ученика Е. Б. Дынкина, А. Вентцеля о локальном времени броуновского движения. В обоих исследованиях первые результаты получил он сам и был очень рад, что молодые продвинулись так далеко. Под влиянием этого доклада впоследствии образовалась группа венгерских математиков, которые достигли интересных результатов в области локального времени (Ревес, Чаки, Фёлдыш и др.). Андрей Николаевич внимательно слушал доклады молодых сотрудников венгерского Математического института и к каждому докладу имел свои добавления, которые оказывались всегда уместными и полезными. Тогда уже были известны результаты А. Реньи, возникшие также под

влиянием работ Колмогорова и указывавшие на глубокую связь между статистикой и случайными процессами. И об этом направлении шла речь на семинарах, которые устраивал Андрей Николаевич.

Организовали и продолжительный поход, примерно на 25 км, в Будайские горы, и даже самые молодые еле поспевали за Колмогоровым. Любовались видами, открывающимися на Дунай с гор, Андрей Николаевич при этом успевал поговорить с каждым из участников похода о его математических проблемах и интересах, хотя нас было человек двадцать.

Третье посещение Венгрии приходится на 1972 г., когда Колмогоров участвовал во встрече европейских статистиков как почетный гость. И, конечно, внимание многих участников встречи было обращено к Колмогорову. Его доклад об оценке спектра случайных процессов вызвал большой интерес. Он дал обзор своих результатов и результатов своих учеников в этой области. Он принимал участие и в дискуссиях по разным докладам, внимательно выслушивал результаты статистиков Европы и обсуждал их с ними.

В 1973 г. Андрей Николаевич снова, и в последний раз, в Венгрии: тогда он стал почетным доктором Будапештского университета имени Етвёша Лоранда (здесь не мешает вспомнить, что с 1965 г. Колмогоров – почетный член Венгерской академии наук). Он и на этот раз выступил с докладом о результатах многомерного статистического анализа и об оценке спектральной плотности. Колмогоров посетил институты Академии наук и побывал во многих городах Венгрии. Он был особенно заинтересован возможностями графического дисплея, поскольку считал, что такая техника имеет огромные перспективы в обработке многомерных данных в статистике. Андрей Николаевич навестил и свои любимые бассейны, совершил экскурсию по окрестностям. Помню, его энтузиазм, с каким он искал в горах два озера, обозначенные на карте, и его радость, когда удалось найти их.

А. Н. Колмогоров очень интересовался развитием венгерской школы теории вероятностей и математической статистики. Он охотно печатал статьи венгерских ученых в своем тогда новом журнале «Теория вероятностей и ее применения», с удовольствием знакомился с результатами молодых математиков и давал им темы, с какой-то необыкновенной энергией отыскивая молодые таланты и в Венгрии тоже. Его замечания всегда были значительны, существенны, хотя следить за логикой суждений Андрея Николаевича было непросто (так же, как вникнуть в его лекции и разобраться в них). В течение буквально одного дня в Венгрии он затрагивал так много самых разных тем, что очень трудно было разом охватить их. Его день был уплотнен до предела: утром после плавания он, например, затевал разговор об истории и политике страны; во время посещения какой-нибудь выставки хвалил Эль Греко и испанскую живопись, тут же высказывая неодобрительные замечания относительно современной скульптуры; на каком-нибудь приеме говорил не только о математике, но и об организации научной жизни и образования и тут же делился своими наблюдениями в художественной литературе. Мне очень нравились его короткие и острые замечания. Например, я запомнил о романе Хемингуэя «По ком звонит колокол»: «Про-

читал очень быстро, ведь вся история происходит в одном спальном мешке». После обеда – доклад, вечером – концерт. И при этом он всегда был настроен философски. Был отчасти и гурманом (во время обеда, ужина выпивал с удовольствием немного хорошего вина). Беседы с Андреем Николаевичем неизменно сообщали духовный подъем, давали стимул окружающим для работы воображения.

Венгрию он любил и ценил, считая, что положение здесь лучше, чем в других социалистических странах. Больше всего он любил говорить о математике

ио работе в приложениях. С гордостью рассказывал, что его результаты в турбулентности цитируются даже чаще, чем математические. Он считал, что быть хорошим прикладным математиком означает знать предмет применения как специалист – и использовать в моделях современные математические результаты. Могу свидетельствовать, что его решения, связанные с тематикой вращения земной оси, цитируются больше в геофизике, чем в математической литературе. Высоко ценил Андрей Николаевич возможности вычислительной техники, считал, что использование математических методов с помощью этой новой отрасли распространится не только в науке, но и в промышленности, и в народном хозяйстве. Колмогоров считал, что обработка данных, организация баз данных очень важны, но что пока это еще не наука – станет наукой, если появятся и глубокие математические результаты.

Вначале 70-х годов он не раз говорил о возможностях вычислительной техники в многомерном статистическом анализе, сам думал о новых подходах, но, по его мнению, пока не хватало для этого «классических задач и решений».

Всвоих лекциях Андрей Николаевич подчеркивал, что математик должен уметь и считать, и изображать данные, функции, процессы. Обращал внимание на то, что с помощью линейки и плоских картинок легче найти наилучшую линию, которая приближает данные, чем методом наименьших квадратов.

ВВенгрии он много раз говорил о том, что в теории вероятностей и во многих других областях мы часто думаем преимущественно в рамках асимптотик и считаем, что это является чуть ли не единственным методом. На самом деле это не так – результаты дискретной и конечной математики также могут быть весьма мощными.

Из личных бесед и из научных докладов можно было многое узнать о деятельности его кафедры и созданной при ней в самом начале шестидесятых статистической лаборатории. Он с огорчением говорил о том, что многие молодые математики больше интересуются модными в математике темами, чем построением реальных моделей действительных процессов. В этой связи надо бы упомянуть о том, что студенты больше знают о новых направлениях в алгебре или топологии, чем о том, как сосчитать дисперсию или корреляцию по сотне данных (в своих лекциях Андрей Николаевич часто говорил об этом).

Мы узнали от него много самого разного: и о его путешествиях по морям

иокеанам, и о преподавании математики в средней школе – он считал своим долгом помочь всем талантливым детям найти в будущем свое место в науке. Познакомившись с новыми направлениями преподавания математики в Венгрии, он высказал мнение, что венгерское обучение еще более абстрактное, чем

то, к которому он предлагал перейти в Советском Союзе. Андрей Николаевич рекомендовал венгерским преподавателям быть более конкретными в своей работе и как следует научить детей «считать», при этом ориентируясь не на самых талантливых, а на средних учащихся. Воспитание высоко одаренных детей – по Колмогорову – надо строить так, чтобы из них выросли не узкие специалисты, а многосторонне развитые личности.

Имя Андрея Николаевича Колмогорова я впервые услышал на лекциях А. Реньи, который представил нам, студентам, колмогоровское обоснование теории вероятностей. О его результатах по марковским процессам много рассказывал нам Л. Такач. А в конце 1958 г. я познакомился и с ним самим, став аспирантом кафедры теории вероятностей Московского университета. При первой личной встрече Андрей Николаевич расспрашивал меня, чем я занимался дома, что опубликовал, что знаю и что я хотел бы изучать в Москве. Меня удивило, как он говорил: есть теория вероятностей, есть математическая статистика, а теории информации отдельно от них не существует.

Он стал моим научным руководителем, и я регулярно отчитывался перед ним о проделанной работе, бывал на его лекциях и спецсеминарах, приходил к нему домой, ездил в Комаровку, как все его советские аспиранты – он не делал разницы между ними и мною и был одинаково доброжелателен и одинаково требователен ко всем нам. Должен признаться, что первое время я испытывал чувство робости перед ним, и меня приятно удивило его простое демократическое обращение со своими учениками, его внимательное отношение к высказываемым ими идеям.

Кроме математики, он находил время поговорить со мной о жизни Венгрии, высказать свое мнение о политике, спорте, музыке. Характерен для него такой эпизод: в 1961 г. во время съезда советских математиков в Ленинграде он организовал экскурсию на лодках по Финскому заливу для своих учеников и гостейиностранцев, занимающихся теорией вероятностей. Остановились на маленьком острове и Андрей Николаевич предложил соревнование по «классической борьбе», в котором принял участие и он сам; мне удалось победить сначала Андрея Николаевича, а в финале – Леву Мешалкина, и до сих пор мне думается, что эта победа дала мне возможность «обратить на себя внимание» Андрея Николаевича.

Еще в 1959 г. Андрей Николаевич предложил мне заняться статистикой стационарных процессов с рациональной спектральной плотностью. Эта тематика оказалась очень удачной, она показала дальновидность Колмогорова – с тех пор эта область бурно развивается. Меня постоянно удивлял особый дар Андрея Николаевича находить задачу и тематику для каждого своего ученика после совсем недолгого ознакомления с его знаниями и способностями. Он имел одновременно более 10 аспирантов по разным темам, не говоря о студентахдипломниках. И с товарищами по аспирантуре, и со студентами мне было интересно и поучительно работать. В это время Андрей Николаевич как раз основал свою Лабораторию статистических методов. Одной из первых работ там

было построение модели вращения земной оси и обработка геофизических данных, с этим связанных. Предложенная Колмогоровым модель, описываемая стационарным гауссовским марковским процессом, оказалась адекватной и удачной, а исследования относящихся сюда статистических проблем продолжались не один год. Интенсивно шло обсуждение этих проблем на семинарах, на консультациях и при личных встречах. Почти каждую неделю я был гостем Андрея Николаевича или на городской квартире, или в Комаровке. До сих пор у меня перед глазами его квартира в здании университета, где много картин, книг, кругом журналы, оттиски, а рядом с письменным столом на маленьком столике – пишущая машинка, на которой он сам печатал свои статьи. Так же хорошо помню Комаровский дом, который он делил со своим другом, выдающимся математиком П. С. Александровым. При первых посещениях он охотно пояснял, что за картины висят на стенах, какие деревца он сам посадил; из сада мы выходили к речке, где летом купались, а зимой вместе с хозяевами катались на лыжах. Во время бесед на прогулке он говорил мне, что, когда я вернусь домой, я должен заниматься именно такими задачами, которые нужны венгерской науке, нужны стране, а не только теми, в которых я уже достиг каких-то результатов. «Надо постоянно делать что-то новое!» – говорил Колмогоров.

После окончания аспирантуры почти каждый год, когда я бывал в Москве,

яс радостным и теплым чувством навещал Андрея Николаевича. Кроме этого, мы также чуть не ежегодно встречались на международных конференциях и когда он приезжал в Венгрию. Его интересовало многое: чем я занимаюсь, моя личная жизнь, чем занимаются его венгерские друзья. Если было время, он любил

поплавать в речке или совершить экскурсию. Однажды я спросил его, почему не переиздается его книга «Основные понятия теории вероятностей» и каково теперешнее мнение его о собственных результатах; к моему удивлению, он сказал, что в той книге существенно новых результатов не было. Но когда я спросил,

где же раньше сформулировано определение условного математического ожидания или «закон нуля или единицы», он ответил: «Да, пожалуй, это были новые результаты!»

В1968 г. я восемь месяцев провел в Москве, работая над докторской диссертацией. Тогда я уже плотно занимался вычислительной математикой и пытался найти вычислительные методы, полезные для математической статистики.

Андрей Николаевич и тогда помогал мне своими советами и с интересом относился к идее составить таблицы распределений для разных оценок.

В1981 г. по приглашению Колмогорова я снова провел три месяца в Москве,

причем каждую неделю консультировался с ним: речь шла о моей будущей книге «Линейные стохастические системы с постоянными коэффициентами». Как

япозже писал в предисловии к этой книге, «я глубоко благодарен моему учителю Андрею Николаевичу Колмогорову, у которого изучал теорию случайных процессов и статистику; я благодарен ему не только за то, что он ввел меня

в совершенно новую область исследований, но и за постоянное ко мне внимание, поддержку и советы».

Последний раз я видел Андрея Николаевича в январе 1987 г., когда он был уже тяжело болен. Разговаривали о его поездках в Венгрию, о моем сыне, который уже был тогда аспирантом МГУ. Он охотно, но с большим трудом сделал мне дарственную надпись на только что вышедшей книге его избранных трудов «Теория вероятностей и математическая статистика», которую я храню как самую ценную реликвию.

В. И. А р н о л ь д

Об А. Н. Колмогорове

Мне всегда хотелось понять, как Андрей Николаевич переходил от одной темы к другой: занятия разными предметами прихотливо сменялись у него непредсказуемым, по-видимому, образом. Например, работы по малым знаменателям

вклассической механике никак не были подготовлены ничем предыдущим и появились в 1953–1954 гг. совершенно неожиданно. Так же неожиданно появились

в1935 г. и топологические работы Андрея Николаевича.

Для себя я построил некоторую теорию происхождения работ об инвариантных торах: она начиналась с занятий Андрея Николаевича турбулентностью. В известной статье «Ландау 43-го года» возникновение турбулентности «объяснялось» именно при помощи инвариантных торов – аттракторов в фазовом пространстве уравнения Навье–Стокса. Ламинарному течению, наблюдающемуся при малом числе Рейнольдса, соответствует устойчивое положение равновесия (точечный аттрактор). Сценарий Ландау перехода к турбулентности – это последовательность бифуркаций при увеличении числа Рейнольдса. Сначала возникает предельный цикл, затем аттрактор становится двумерным тором, при дальнейшем росте числа Рейнольдса размерность инвариантного тора растет. Может оказаться, замечал Андрей Николаевич при обсуждении сценария Ландау, что уже при конечном числе Рейнольдса произойдет переход к бесконечномерному тору и даже к сплошному спектру. С другой стороны, даже если размерность инвариантного тора остается конечной при фиксированном числе Рейнольдса, спектр условно-периодического движения на достаточно многомерном торе содержит столь много частот, что он практически неотличим от сплошного. Вопрос о том, какой из этих двух случаев имеет место на самом деле, ставился Андреем Николаевичем не раз.

В конце пятидесятых годов на доске объявлений механико-математического факультета МГУ была вывешена им программа семинара по теории динамических систем и гидродинамике (программа включала среди прочего проблему доказательства практической невозможности долгосрочного динамического прогноза погоды вследствие сильной ее зависимости от высоких гармоник начальных условий)1. Над торами Ландау Андрей Николаевич несколько посмеивался: «Видимо, другие динамические системы не были ему (Ландау) известны».

Переход от торов Ландау к динамическим системам на торе был бы вполне естественным ходом мысли. В конце концов я почти поверил в свою теорию

1Вот полный текст программы (темы семинара):

«1. Краевые задачи для гиперболических уравнений, решения которых всюду разрывно зависят

от параметра (см., например, Соболев С. Л. // ДАН. – 1956. – № 109. – С. 707).

2. Задачи классической механики, в которых собственные функции всюду разрывно зависят от параметра (обзор проблематики – в докладе А. Н. Колмогорова на Амстердамском конгрессе 1954 г.).

3. Моногенные функции Бореля и квазианалитические функции Гончара (в надежде на применения к задачам типа 1 и 2).

и (в 1984 г.) спросил Андрея Николаевича, было ли так на самом деле. «Нет, – ответил Андрей Николаевич, – об этом я тогда совсем не думал. Главное было то, что в 1953 г. появилась надежда. От этого я почувствовал какой-то необыкновенный подъем. О задачах небесной механики я думал давно, с детства, с Фламмариона, а потом – читая Шарлье, Биркгофа, механику Уиттекера, работы Крылова и Боголюбова, Шази, Шмидта. Несколько раз пытался, но не получалось. А тут начало получаться».

Дело было так. Андрей Николаевич ввел в это время на механико-математи- ческом факультете МГУ математический практикум и подбирал для него задачи2. В числе задач он выбрал исследование движения тяжелой точки по симметричному относительно вертикальной оси тору. Это вполне интегрируемая гамильтонова система с двумя степенями свободы, и движение в ней происходит, как правило, по двумерным торам в фазовом пространстве. Эти торы условно-периодически обматываются траекториями: угловые координаты на них можно выбрать так, что они будут при движении фазовой точки меняться равномерно.

В то время теория интегрируемых гамильтоновых систем не была, как сейчас, модной областью математики. Считалось, что это безнадежно устарелая, отжившая и чисто формальная область аналитической механики. Заниматься подобной «неактуальной тематикой» считалось предосудительной для математика уступкой давлению внешних обстоятельств (предполагалось, что математики должны складывать простые числа, обобщать интегралы Лебега, исследовать непрерывные, но не дифференцируемые группы)3. Андрей Николаевич, посмеиваясь, говорил, что французы пишут «Небесная механика» с прописной буквы, а «прикладная» со строчной. И всегда с некоторым презрением относился ко всем видам «математического империализма» независимо от его источника (будь то Бурбаки или МИАН).

4.Возникновение высокочастотных колебаний при стремлении коэффициентов при старших производных к нулю (работы Волосова и Лыковой для обыкновенных дифференциальных уравнений).

5.В математической теории уравнений в частных производных с малым параметром при старших

производных до настоящего времени изучены явления типа пограничных слоев и внутренних слоев, сходящихся к поверхностям разрыва предельных решений или их производных при «исчезновении вязкости». В реальной турбулентности решения портятся всюду плотным образом. Математическое изучение этого явления предполагается провести хотя бы на модельных уравнениях (модель Бюргерса?).

6.Вопросы устойчивости ламинарных течений. Асимптотически исчезающая устойчивость (хотя бы на модельных уравнениях).

7.Обсуждение возможностей применения к реальным механическим и физическим задачам представлений метрической теории динамических систем. Вопросы устойчивости различных типов спектра. Грубые системы и грубые свойства (в этом последнем направлении для систем с несколькими степенями свободы почти ничего не известно!).

8.Рассмотрение (хотя бы на моделях) гипотезы, что в обстановке конца п. 5 в пределе динамическая система превращается в случайный процесс (гипотеза практической невозможности долгосрочного прогноза погоды)».

2Математический практикум на мехмате Колмогоров ввел в 1946/47 уч. году. Но новые задания

для него действительно старался подбирать каждый учебный год. – Прим. ред.

3М. Фреше говорил мне в 1965 г.: «А, Колмогоров – это тот молодой человек, который построил суммируемую функцию с расходящимся почти всюду рядом Фурье?» Все последующие достижения Андрея Николаевича – в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе, теории турбулентности, теории динамических систем – в глазах Фреше были менее ценны.

Итак, Андрей Николаевич заметил, что в «интегрируемых» задачах математического практикума надлежащим образом определенные фазы на торе меняются со временем равномерно. Он сразу же поставил себе вопрос: так ли это, если система на торе не интегрируема, а лишь имеет интегральный инвариант (сохраняет меру с положительной аналитической плотностью)? Этот вопрос он решил в заметке 1953 г. о системах на торе – первой, где появляются малые знаменатели. В техническом отношении эта заметка не сложна (хотя в ней уже содержатся некоторые леммы, необходимые для фундаментальной работы 1954 г.). Вывод Андрея Николаевича таков: почти всегда можно ввести равномерно меняющиеся со временем фазы, но иногда (при ненормально хорошо приближаемом рациональными числами отношении частот) возможно перемешивание (образ маленького круга под действием фазового потока размазывается по всему тору).

Замечание о перемешивании, относящееся к патологическому (встречающемуся бесконечно редко) случаю, не кажется особенно важным. Но именно оното и стало источником знаменитой работы Андрея Николаевича о малых знаменателях, опубликованной в 1954 г., где доказано сохранение инвариантных торов при малом изменении функции Гамильтона.

Рассуждения Андрея Николаевича (упомянутые им в докладе на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г.) состояли в следующем.

В интегрируемых системах движение по инвариантным торам всегда условнопериодично (можно ввести равномерно вращающиеся со временем фазы). Следовательно, перемешивание в интегрируемых системах не встречается. Чтобы узнать, имеет ли открытое им явление механические приложения, Андрей Николаевич решил отыскать движения по торам в неинтегрируемых системах, где в принципе перемешивание могло бы наблюдаться.

Но как найти инвариантный тор в фазовом пространстве неинтегрируемой системы? Естественно начать с теории возмущений, рассмотрев систему, близкую к интегрируемой. Различные варианты теории возмущений многократно обсуждались в небесной механике, а потом – в ранней квантовой механике4.

Но все эти теории возмущений приводят к расходящимся рядам. Андрей Николаевич понял, что расходимость можно преодолеть, если вместо разложений по степеням малого параметра использовать метод Ньютона в функциональном пространстве (о котором он незадолго до того прочел в статье Л. В. Канторовича «Функциональный анализ и прикладная математика» в «Успехах математических наук»).

Таким образом, «метод ускоренной сходимости» Колмогорова был придуман вовсе не ради тех замечательных приложений в классических проблемах механики, к которым он приводит, а ради исследования возможности реализации специальной теоретико-множественной патологии в системах на двумерном торе (перемешивания).

Поставленную им себе задачу о реализации перемешивания на слабовозмущенных инвариантных торах Андрей Николаевич при этом не решил, так как

4Особенно подробно – в книге Борна «Лекции по атомной механике», забавный перевод которой на русский язык был издан в тридцатые годы в Харькове: например, там участвуют «двухизмерительные разновидности» (Zweidimensionale Mannigfaltigkeiten).

на найденных им торах его метод автоматически строит равномерно меняющиеся при движении фазовой точки угловые координаты. Вопрос о перемешивании, из которого выросла вся работа Андрея Николаевича, насколько я знаю, остается нерешенным и сегодня.

Значение этого технического вопроса по сравнению с полученными результатами ничтожно. Сейчас о нем никто уже и не вспоминает. Физики говорят (я слышал это от М. А. Леонтовича), что новая физика чаще всего начинается с уточнения последнего десятичного знака. Новая математика, как мы только что видели, тоже может рождаться при уточнении мелких технических деталей предшествующих работ. Уже из этого ясно, что планирование фундаментальных исследований – бюрократическая бессмыслица (и чаще всего обман).

Хотя сам Андрей Николаевич считал основной причиной своей работы надежды, появившиеся в 1953 г., о Сталине он (следуя старому принципу говорить

опокойниках только хорошее) всегда отзывался с благодарностью: «Во-первых,

он подарил каждому академику по одеялу в тяжелый военный год, а во-вторых, простил мое рукоприкладство в Академии, сказавши „и у нас такое бывает“». Впрочем, и о Лысенко, попавшем в опалу, Андрей Николаевич старался говорить хорошее, утверждая, что тот искренне заблуждался по невежеству (пока Лысенко был у власти, отношение Андрея Николаевича к этому «борцу со случайностью в науке» было совсем другим).

Повторяя сказанное Ходасевичем о Горьком, можно сказать об Андрее Николаевиче, что он был одновременно и одним из самых упрямых, и одним из самых

нестойких людей.

«Когда-нибудь я Вам все объясню», – говорил мне Андрей Николаевич, совершая какой-либо противоречащий своим принципам поступок. Давление на Андрея Николаевича оказывал, по-видимому, некий злой гений, влияние которого было огромным (роль передающего давление звена исполняли известные математики). Андрей Николаевич немного не дожил до того времени, когда

об этих вещах стало можно говорить, и, как почти все пережившие тридцатые и сороковые годы люди его поколения, боялся «их» до последнего дня. Не надо забывать, что для профессоров того времени не сообщить куда следует

окрамольных речах студента или аспиранта нередко означало быть завтра же обвиненном в сочувствии крамольным идеям (в доносе этого же студента или аспиранта-провокатора).

Андрей Николаевич говорил, что никогда не мог с полным напряжением интенсивно думать о математической проблеме более двух недель. И считал, что любое разовое открытие можно изложить на четырех страницах заметки

в«Докладах», «...потому что человеческий мозг не способен разом создать чтолибо более сложное». Живой интерес к предмету своих занятий сохранялся у Андрея Николаевича, по его словам, только до тех пор, пока было неясно,

вкакую сторону вопрос решается («как будто идешь по острию бритвы»). Как только ситуация прояснялась, Андрей Николаевич старался как можно быстрее отделаться от писания доказательств и начинал искать, какому бы

38 В. И. А р н о л ь д. Об А. Н. Колмогорове

подмастерью отдать всю область. В такие моменты следовало держаться от него подальше.

В развитии каждой области науки можно различить три стадии. Первая – пионерская, это прорыв в новую область, яркое и обычно неожиданное открытие, часто опровергающее сложившиеся представления. Затем следует техническая стадия – длительная и трудоёмкая. Теория обрастает деталями, становится труднодоступной и громоздкой, но зато охватывает все большее число приложений. Наконец, в третьей стадии появляется новый, более общий взгляд на проблему и на ее связи с другими, по-видимому, далекими от нее вопросами: делается возможным прорыв в новую область исследований.

Для математических работ Андрея Николаевича характерно то, что он явился пионером и первооткрывателем во многих областях, решая порой двухсотлетние проблемы. Технической работы по обобщению построенной теории Андрей Николаевич старался избегать (он говорил, между прочим, что на этой стадии особенно преуспевают евреи, – скорее с восхищением, поскольку свое инстинктивное отвращение к этому виду деятельности Андрей Николаевич воспринимал как недостаток5). Зато на третьей стадии, где надо осмыслить полученные результаты и увидеть новые пути, на стадии создания фундаментальных обобщающих теорий, Андрею Николаевичу принадлежат замечательные достижения.

Пример неожиданного прорыва Андрея Николаевича в новую область – его топологические результаты, опубликованные в четырех заметках в «Comptes Rendus» и доложенные на Московской топологической конференции 1935 г.6 В этих работах Андреем Николаевичем построена (одновременно с Дж. Александером и независимо от него) теория когомологий. После этого Андрей Николаевич топологией не занимался, но, когда появились работы Милнора о дифференцируемых структурах на сферах, они произвели на Андрея Николаевича сильнейшее впечатление. После доклада Милнора на съезде7 в Ленинграде в 1961 г. Андрей Николаевич поручил мне, бывшему тогда аспирантом, разобрать доказательства и рассказать ему, в чем дело. Я пытался выполнить поручение, стал учиться у В. А. Рохлина, С. П. Новикова и Д. Б. Фукса (и даже был оппонентом у С. П. Новикова на защите кандидатской диссертации – о дифференцируемых структурах на произведениях сфер). Но попытки объяснить что-либо Андрею Николаевичу успехом не увенчались. «Мои работы по топологии, – сказал мне тогда Андрей Николаевич, – так и не были как следует поняты. Ведь я исходил из физических понятий – из гидродинамики и электромагнитной теории, а совсем не из комбинаторики. Группы когомологий, которые я тогда ввел, все усвоили и используют теперь. Но ведь в этих заметках было сделано большее – я построил не только группы, но и кольцо! Это кольцо гораздо

5«По старости и лености, сделав какую-либо хорошую вещь, я в лучшем случае ее пишу немедленно, но обычно бросаю поиски усилений и продолжений» (из письма ко мне от 8.III.1958).

6О I Международной топологической конференции (Москва, 1935) теперь можно прочитать немало интересного во 2-й книге юбилейного издания «Колмогоров» (М., Физматлит, 2003). – Прим. ред.

7Имеется в виду IV Всесоюзный математический съезд (Ленинград, 1961). – Прим. ред.

важнее, и я думаю, что, если топологи освоят и его, можно получить много интересного».

По-видимому, все сведения о развитии топологии после 1935 г. Андрей Николаевич почерпнул у П. С. Александрова и его учеников. Во всяком случае, приведенная выше оценка кольца когомологий Андреем Николаевичем замечательна: в ней содержится и проницательный анализ своей работы, и оправдавшийся прогноз значения когомологических операций. (Этот комментарий к приведенному высказыванию Андрея Николаевича принадлежит В. А. Рохлину, проявившему в этом случае необычную для него терпимость; я же все шестидесятые годы

снаивной непримиримостью воинственно пытался рассказать своему учителю, что на самом деле произошло в топологии за тридцать предыдущих лет.)

Но у Андрея Николаевича были на все свои готовые точки зрения. Например, он говорил мне, что спектральные последовательности содержатся в казанской работе Павла Сергеевича Александрова. И что после шестидесяти лет заниматься математикой не следует (этот вывод, видимо, основывался на опыте общения

сматематиками предшествующих поколений). Так что мои попытки объяснить Андрею Николаевичу гомотопическую топологию окончились так же неудачно, как и обучить его кататься на велосипеде и поставить его на водные лыжи. Андрей Николаевич мечтал после шестидесяти лет пойти в бакенщики и задолго пытался подобрать себе подходящий участок на Волге. Но когда подошло время, бакенщики уже перешли с гребных лодок на ненавистные Андрею Николаевичу моторки, и проект пришлось оставить. Так Андрей Николаевич решил вернуться к профессии школьного учителя, с которой он когда-то начинал.

Последняя математическая работа, о которой мне рассказывал Андрей Николаевич (вероятно, в 1964 г.), имела «биологическое» происхождение. Речь шла о минимальном кубе, в котором можно уместить «мозг» или «компьютер» из N элементов («нейронов») фиксированного размера, каждый из которых соединен с не более чем k другими при помощи «проволок» фиксированной толщины. Число k фиксировано, а N стремится к бесконечности. Ясно, что очень простой

«мозг» (вроде «червя» из N последовательно соединенных элементов) можно

√

уместить в куб радиуса порядка 3 N. Серое вещество мозга (тела нейронов) рас-

положено по поверхности, а белое (связи) – внутри. Этот факт привел Андрея

√

Николаевича к гипотезе, что минимальный радиус имеет порядок N, причем никакой достаточно сложный мозг в куб меньшего радиуса уместить нельзя (словам «достаточно сложный» можно придать точный математический смысл).

В конце концов, так и оказалось (в первоначальных оценках Андрея Николаевича были лишние логарифмы, окончательный результат без логарифмов – совместный с Я. Барздинем).

Конечно, Андрей Николаевич прекрасно понимал, что к устройству биологического мозга его теоремы имеют мало отношения, и поэтому в статье о мозге не упоминается. Но источником всей теории, на самом деле, были все же размышления о сером и белом веществе. Интересно отметить, что эта работа, быть может, вследствие слишком серьезного, математического изложения осталась малоизвестной даже специалистам. Когда я упомянул о ней в посвященной