Контрольные вопросы и задачи
1. Приведите примеры практического использования количественных и категоризованных данных.
2. Как соотносятся группы допустимых преобразований для различных шкал измерения?
3. Почему анализ нечисловых данных занимает одно из центральных мест в прикладной статистике?
4. Какая математическая модель используется для описания случайного множества?
5. В каких случаях целесообразно применение нечетких множеств?
6. Справедливо ли для нечетких множеств равенство (A+B)C = AC + BC? А равенство (AB)C = (AC)(BC)?
7. Как с точки зрения нечетких множеств можно интерпретировать вероятность накрытия определенной точки случайным множеством?
8. На множестве Y = {y1, y2, y3} задано нечеткое множество B с функцией принадлежности мB(y), причем мB(y1) = 0,1, мB(y2) = 0,2, мB(y3) = 0,3. Постройте случайное множество А так, чтобы Proj A = B.
9. На множестве Y = {y1, y2, y3} задано нечеткое множество B с функцией принадлежности мB(y), причем мB(y1) = 0,2, мB(y2) = 0,1, мB(y3) = 0,5. Постройте случайное множество А так, чтобы Proj A = B.
10. На множестве Y = {y1, y2, y3} задано нечеткое множество B с функцией принадлежности мB(y), причем мB(y1) = 0,5, мB(y2) = 0,4, мB(y3) = 0,7. Постройте случайное множество А так, чтобы Proj A = B.
11. На множестве Y = {y1, y2, y3} задано нечеткое множество B с функцией принадлежности мB(y), причем мB(y1) = 0,3, мB(y2) = 0,2, мB(y3) = 0,1. Постройте случайное множество А так, чтобы Proj A = B.
12. Докажите, что для блочного расстояния (пример 4 из раздела 1.6) справедливо неравенство треугольника.
13. Расскажите о многообразии расстояний в различных пространствах статистических данных.
14. Докажите, что
если d(x,
y)
– расстояние в некотором пространстве,
то
- также расстояние в этом пространстве.
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ
1. Содержание первого сочинения по прикладной статистике - книги «Числа» в Библии.
2. Свойства основных шкал измерения.
3. Взаимосвязи различных классов объектов нечисловой природы между собой.
4. Вероятностные модели бинарных отношений.
5. Вероятностные модели парных сравнений.
6. Опишите с помощью нечеткого подмножества временной шкалы понятие «молодой человек» (на основе опроса 10-20 экспертов).
7. Опишите с помощью теории нечеткости понятие «куча зерен» (на основе опроса 10-20 экспертов).
8. Обсудите суждение: «Мы мыслим нечетко» (см. [32]). Почему нечеткость мышления помогает взаимопониманию?
9. Взаимосвязь теории нечеткости и теории вероятностей.
10. Методы оценивания функции принадлежности.
11. Теория нечеткости и интервальная математика.
12. Описание данных для выборок, элементы которых – нечеткие множества.
13. Регрессионный анализ нечетких переменных (согласно [24]).
14. Кластерный анализ нечетких данных.
15. Непараметрические оценки плотности распределения вероятностей в пространстве нечетких множеств (согласно подходу раздела 2.5).
16. Центральная роль статистики объектов произвольной природы в прикладной статистике.
17. Расстояния в пространствах функций.
18. Докажите, что аксиоматически введенный в разделе 1.7 показатель различия между множествами d(A, B) = м(АДВ) удовлетворяет неравенству треугольника.