Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mu

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

34.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

4. Решите задачу Коши:

y y 9xe2 x , y(0) 0, y (0) 5.

5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:

x (t) 2x y,y (t) 9x 4 y.

6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-

го члена un

и проверьте выполнение необходимого признака.

(n 1)!

7. Исследуйте числовые ряды на сходимость:

n 4

2n 1

7.1.

;

7.2.

;

n(n

n 1

7.3.

;

7.4. ( 1)

n 1

4n 1

n 1

n n

8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его поведение на концах интервала сходимости:

( x 5)n					(n 1)!
8.1.			;	8.2.				(x 2)n .
	n					n
n 1	n3			n 1	3

9. Разложите функцию				y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:
9.1. y	9x 1, a 0;			9.2. y ln(3x 4), a 1;
9.3. y cos2		2x, a ;		9.4. y		3			, a 2.


					2		3x

Вариант № 19

1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:

y e 2 y x

;

1.1. y y 1 x2 x 1 y2 0;

1.4.

y y cos x

sin 2x.

1.2. y2 2dx ydy x2 ydy ;

1.5.

1.3.y 2 y2 3y ;

x2 x

2. Решите задачу Коши:

y	y	ln x	,	y(1) 1.
	x	x

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y	4	;	3.4. 16y 8y y 0 ;

3	x4
3.2. 4 y 3y y 0;			3.5. y 3y 2y e3x (3 4x) .
3.3. 4 y y 0 ;
4. Решите задачу Коши:
		y y x 1,	y(0) 0, y (0) 2.

5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:

x (t) x 2 y,y (t) x y.

6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-

го члена u			( 1)n n			и проверьте, выполнение необходимого признака.
	n			2n

7. Исследуйте числовые ряды на сходимость:
		1					4n	2n

7.1.
					;	7.2.		;
	1)		2
n 1 (2n				4		n 1	3n 1

	2			ln(n 1)
7.3.	n	;	7.4. ( 1)n		.
	n
n 1	3		n 1	n 1

8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его поведение на концах интервала сходимости:

	( x 1)n				(n 1)(x 3)n
8.1.			;	8.2.		.
	n2	n
n 1				n 1	n!

9. Разложите функцию y f (x)						в ряд Тейлора в окрестности точки
x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:
	x

9.1. y e2 , a 1;						9.2. y ln(4 x), a 0;
		2					1
9.3. y sin			x		, a ;	9.4. y		, a 2.
9.3. y sin			x		, a ;	9.4. y	4x	, a 2.
				4		3	4x

Вариант № 20

1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения порядка:

1.4. y y ctg x cos2 x ;

1.1. (e 3x 3)dy

y 4e 3xdx 0;

1.2. xdx 4 ydy 5x2 ydy xy2dx ;

1.5. y

2 x.

1.3. y

;

2x2

2. Решите задачу Коши:

2 y

(x 1)3

y(1)

x 1

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y cos3x ;

3.4. 16 y 9 y 0 ;

3.2. y 5y 6y 0 ;

3.5. y 4y 4y 2sin x .

3.3. 9 y 6 y y 0 ;

4. Решите задачу Коши:

y 6 y 9 y e3x , y(0) 1, y (0) 0.

5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:

x (t) x 2 y,y (t) 3x 4 y.

6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-

( 1)n 1

го члена un и проверьте выполнение необходимого признака. n!

7. Исследуйте числовые ряды на сходимость:

										n
		1				n				2
		1				n				2
7.1.				;	7.2.						;
7.1.				;	7.2.						;
n 1	n(n 4)				n 1	4n 3
	n3							2n
7.3.			;		7.4. ( 1)n							.
7.3.	4	n	;		7.4. ( 1)n		3n		2	5		.
n 1	4				n 1		3n			5
n 1					n 1

8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его поведение на концах интервала сходимости:

		2	( x 3)	n			n!(x 2)	n
8.1.	n				;	8.2.			.
			2n 1				n
n 1						n 1

9. Разложите функцию						y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:

9.1. y e 3x , a 1;					9.2. y ln(3 x), a 2;
						1
9.3.	y cos	3x		, a 0;	9.4. y		, a 2.
9.3.	y cos	3x		, a 0;	9.4. y	2x 5	, a 2.
			4			2x 5

4.2.4. Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 2

Вариант № 0

Задача 1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения порядка:

1.1. y(e4 x 1)dy

4 y2 e4 xdx 0;

1.4. y

2 x ;

1.2.

xsin x;

1.5. y

4 y2

1.3.2xdx ydy x2 ydy 3xy2dx ;

Решение


1.1. y(e4 x 1)dy	4 y2 e4 xdx 0

Это дифференциальное уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для этого выполним следующие преобразования:

второе слагаемое в левой части уравнения перенесем в правую часть

y(e4 x 1)dy 4 y2 e4 xdx ;

путем деления избавимся в левой части уравнения от множителя (e4 x 1) , зависящего от x , а в правой части уравнения от множителя

4 y2 , зависящего от y

y	dy	e4 x	dx.
4 y2		e4 x 1

Вычислим теперь интегралы от выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения:

ydy

d (4 y2 )

4 y2

( 2 y)

4 y2

e4 xdx

e4 x

d (e4 x 1)

d (e4 x 1) 1

e4 x 1

4e4 x

e4 x 1

Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид

4 y2 14 ln e4 x 1 C.

1.2. y xy xsin x

Это дифференциальное уравнение первого порядка является линейным, так как функция y и её производная y содержатся только в

первой степени. Для его решения воспользуемся методом подстановки.

Будем искать решение уравнения						в	виде y u(x) v(x).	Тогда
y u (x)v(x) u(x)v (x) . Подставим y						и	y u (x)v(x) u(x)v (x)	в ис-
ходное уравнение. Получим
u v uv		uv			xsin x.
u v uv					xsin x.
			x
Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части уравнения и
вынесем общий множитель:
				v
u v u v						xsin x.
u v u v						xsin x.
				x
Составим систему уравнений:
	v
v				0,
v				0,
	x

u v x sin x.

Решим первое уравнение системы и найдём функцию v : v vx 0 ;

dvdx vx ; dvv dxx ;

dvv dxx ; ln v ln x ;

v x .

Подставим функцию v во второе уравнение системы и решим полученное уравнение:

u x xsin x ; u sin x ; dudx sin x ; du sin xdx ;

du sin xdx ;

u cos x C.

Таким образом, общее решение уравнения будет иметь вид

y(cos x C)x.

1.3.2xdx ydy x2 ydy 3xy2dx

Это дифференциальное уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимся переменными. Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую и сгруппируем слагаемые с dx и dy :

2xdx ydy x2 ydy 3xy2dx 0; (2x 3xy2 )dx ( y x2 y)dy 0; x(2 3y2 )dx y(1 x2 )dy 0.

Перенесем второе слагаемое из левой части уравнения в правую и разделим переменные:

x(2 y2 )dx y(1 x2 )dy;

xdx	ydy	.
1 x2	2 3y2

Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения:

xdx

d (1 x2 )

1 x2

ydy

d (2 3y2 )

3y2

2 3y2

6 y

2 3y2

Запишем общий интеграл уравнения:

12 ln 1 x2 16 ln 2 3y2 C.

1.4.y xy e 2yx

Данное дифференциальное уравнение является однородным, так

как функция f (x, y) xy e 2yx является однородной функцией нулевого измерения. Действительно,

f ( x, y) y

2 x

f (x, y).

С помощью подстановки y tx, y t x t , где t t(x) сведём урав-

нение к уравнению с разделяющимися переменными:

t x t

;

t x t t e t ;

t x e t ;

x e t ;

;

e t

et dt dxx .

Найдем интегралы от левой и правой частей последнего равенства:

et dt et C e	y		dx
	x	C ;		ln	x	C.
			x

Запишем общий интеграл уравнения:

e x ln x C.

1.5.y 4 y2 3y

x2 x

Это дифференциальное уравнение первого порядка является одно-

родным, так как функция

f (x, y)

4 y2

является однородной функ-

цией нулевого измерения. Действительно,

f ( x, y)

4( y)2

3 y

f (x, y).

( x)2

Для решения уравнения используем следующую подстановку:

y t x , где t t(x),

y t x t.

В результате указанной подстановки уравнение принимает вид:

t x t	4t2 x2	3tx	или t x t t2 3t.
	x2	x

Откуда

t x 4t2 4t .

Последнее уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Учитывая, что t dxdt , получаем:

dt	x 4t2 4t ;
dx	x 4t2 4t ;
dx
	dt	dx	.
4t2 4t			.
4t2 4t		x

Вычислим интегралы от левой и правой частей уравнения:

4t2 4t 4t2 4t 1 1

1 d (2t 1)

(2t 1)2 1

4t2 4t

(2t 1)2 1

2t 1 1

2t 2

t 1

2t 1 1

2 2

y x

Запишем общий интеграл уравнения:

y x

Задача 2. Решите задачу Коши:

y	y	2ln x	,	y(1)	1	.
	x	x			2

Решение

Это дифференциальное уравнение первого порядка является линейным относительно неизвестной функции y. Будем его решать с по-

мощью подстановки

y u(x)v(x), y u (x)v(x) u(x)v (x).

Подставим y

и y u (x)v(x) u(x)v (x) в исходное уравнение. По-

лучим

u v uv

2ln x

Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части уравнения и

вынесем общий множитель u за скобки:

2ln x

u v u v

Запишем систему уравнений:

2ln x

u v

Решим первое уравнение системы:

0 ;

;

x 1

v x 1 или v

Подставим функцию v во второе уравнение системы и найдём функцию u :

u 1 2ln x ; x x

u 2ln x ;

dudx 2ln x ; du 2ln xdx ;

du 2 ln xdx .

Интеграл в правой части последнего равенства вычислим методом интегрирования по частям

2 ln xdx 2 x ln x dx 2 x ln x x C .

Получаем

u 2 xln x x C .

Общее решение уравнения будет иметь вид: y uv 2 x ln x x C 1x .

Найдём теперь частное решение, используя начальное условие y(1) 12 . Для этого подставим в общее решение значения x 1 и y 12

и найдём С:

12 2 1 ln1 1 C 11 12 2 C ;

C 32 .

Тогда частное решение уравнения имеет вид

	2 x ln x x	3	1
y				.
y				.
		2	x

Задача 3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:


3.1. y 3cos2x x ;			3.4. 16 y y 0 ;
3.2. y 5y 6y 0 ;			3.5. y 2 y 3y 2ex .
3.3. 25y 10 y y 0 ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.12.2018483.33 Кб40Msis.doc
#
29.05.20151.02 Mб60mu.pdf
#
29.05.20151.72 Mб12mu.pdf
#
29.05.20151.99 Mб72mu.pdf
#
29.05.20151.64 Mб12mu.pdf
#
29.05.201534.55 Mб18mu.pdf
#
10.11.20183.99 Mб1MultimediaMetod.doc
#
18.11.20191.99 Mб37MU_Adsorbtsia_Lengmyura.doc
#
20.08.2019584.19 Кб4mu_fopi_1-3.doc
#
20.08.2019532.48 Кб1mu_fopi_2-2.doc
#
20.11.20193.64 Mб5MU_Kapillyarnaya_kondensatsia.doc