Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mu

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

34.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Получим

( 1)

y ln(3 x) ln 3(1

) ln 3 ln(1 (

)) ln 3

( 3)

(n 1)!

n 0

ln 3

n 0 3

(n 1)!

Чтобы определить интервал сходимости полученного ряда, решим

неравенство

Получаем

Ответ: ln(3 x) ln 3

( 1)n

, x 3.

n 0 3 (n 1)!

9.3.

y sin

	2x		в ряд Тейлора по степе-
Для разложения функции y sin	2x		в ряд Тейлора по степе-
		4

воспользуемся табличными разложениями

ням (x a) x

2n 1

sin x

(1)

, x (, ) ,

n 0

(2n 1)!

, x (, ).

cos x (1)

n 0

(2n)!

Получаем:

y sin 2x

sin

2 x

sin

2 x

4 4

sin

2 x

sin

cos

2 x


2
	(sin	2	x		cos	2	x
2
				4				4

											n			2n 1							2n 1									n		2n					2n
									( 1)				2			x									( 1)						2		x
									( 1)				2			x			4						( 1)						2		x			4
		2																	4																	4
		2												(2n 1)!																		(2n)!								.
						n 0																			n 0


Ответ:
																					n		2n 1				2n 1											n			2n		2n
																( 1)						2			x										( 1)				2			x
													2			( 1)						2			x										( 1)				2			x	4
			2x										2														4																4	,
sin
sin													2									(2n 1)!																			(2n)!
								4					2		n 0							(2n 1)!											n 0								(2n)!


x ( ; ).
9.4.			y					1				, a 4

							3 2x
			Для разложения функции y																								1						в ряд Тейлора по степеням

																												3 2x
(x a) (x 4) воспользуемся табличным разложением
						1
										xn ,							x	1.



			1 x							n 0
			1 x

			Получаем
		y				1										1											1												1

					3 2x						3 2(x 4 4)													3 2( x 4) 8											11 2( x 4)
	1							1								1				2n ( x 4)n									2( x 4)
	1							1								1				2n ( x 4)n									2( x 4)
																										,								1.
								2(x 4)															n			,								1.
	11			1				2(x 4)								11 n 0						11									11
				1				11								11 n 0
								11

Чтобы определить интервал сходимости полученного ряда, решим последнее неравенство

		2(x 4)		1		x 4			11



	11							2
	11							2
			1		1		2n (x 4)n
Ответ:
Ответ:			2x		11				n
3			2x		11	n 0	11

x 4 5,5		x 1,5
	5,5		.
x 4	5,5	x 9,5

, x ( 9,5;1,5).

5. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ

5.1. Требования для сдачи экзамена

К экзамену допускаются только те студенты, у которых зачтены все индивидуальные задания.

Студенты, обучающиеся по КЗФ, сдают экзамен во время зимней экзаменационной сессии по билетам (в устной или письменной форме). Каждый билет содержит два теоретических вопроса и три задачи. Экзамен считается сданным, если выполнено не менее 60% заданий экзаменационного билета.

Студенты, обучающиеся с использованием ДОТ, сдают экзамен в тестовой форме (on-line режим). Экзаменационный тест содержит 20 тестовых заданий различного уровня сложности. Структура экзаменационного теста представлена в таблице:

Тип задания	Количество	Уровень
	в тесте	сложности
Задание на выбор единственного ответа	8	1
Задание на выбор множественных ответов	4	2
Задание на установление последовательности	4	2
Задание на установление соответствия	2	3
Задание для краткого ответа	2	3

Оценка за экзамен выставляется по сумме набранных баллов за задания теста.

Итоговая оценка по дисциплине формируется по результатам сдачи индивидуальных домашних заданий и экзамена.

5.2. Вопросы для подготовки к экзамену

1.Определение функции двух переменных. Область определения и

еегеометрическая иллюстрация. Пример.

2.Два определения непрерывности функции двух переменных в

точке.

3.Определение и геометрическая иллюстрация линейно-связного множества, открытого множества, замкнутой области, ограниченной области.

4.Свойства непрерывных функций двух переменных.

5.Определение частных производных функции двух переменных. Пример.

6.Определение дифференцируемой функции двух переменных в

точке.

7.Теорема о связи дифференцируемости функции двух переменных в точке и ее непрерывностью.

8.Теорема о существовании частных производных функции двух переменных в точке.

9.Производные функций, заданных неявно. Пример.

10.Определение дифференциала функции двух переменных и его применение в приближенных вычислениях. Пример.

11.Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

12.Экстремум функции двух переменных. Определения локальных максимума и минимума функции двух переменных.

13.Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных.

14.Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

взамкнутой области.

15.Подбор аналитической зависимости между величинами методом наименьших квадратов.

16.Определение числового ряда и его суммы. Определение сходящегося и расходящегося ряда. Пример.

17.Исследование на сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

18.Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости ряда (доказательство).

19.Свойства сходящихся рядов.

20.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Два признака сравнения. Примеры.

21.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера. Примеры.

22.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Коши радикальный.

23.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный признак сходимости. Примеры.

24.Исследование на сходимость обобщённого гармонического ряд.

25.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница, следствие из теоремы Лейбница.

26.Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов. Общая схема исследования знакочередующихся рядов на сходимость.

27.Понятие функционального ряда. Область сходимости функционального ряда. Примеры.

28.Функциональные ряды. Сходимость функционального ряда в точке и в области.

29.Понятие степенного ряда. Теорема Абеля и её геометрический

смысл.

30.Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Нахождение интервала сходимости степенного ряда.

31.Свойства степенных рядов.

32.Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Единственность разложения.

33.Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.

34.Применение степенных рядов к приближённым вычислениям определённых интегралов.

35.Применение степенных рядов к приближённым вычислениям решению дифференциальных уравнений.

36.Понятие дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Общее и частное решения дифференциального уравнения.

37.Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Геометрическая иллюстрация.

38.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Признак, способ решения.

39.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Признак, способ решения.

40.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Признак, способ решения.

41.Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах. Признак, способ решения.

42.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

43.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.

44.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Структура общего решения.

45.Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Метод исключения неизвестной функции.

5.3. Образцы билетов к экзамену для КЗФ Экзаменационный билет № _0_

1.Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимое условие дифференцируемости функции двух переменных.

2.Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

Найти

общее

решение

дифференциального

уравнения

y 6y 9y 2e3x .

, в ряд Тейлора по степеням (x 1).

Разложить функцию y

x 3

Найти

частные

производные

первого

порядка от

функции

z xe xy .

5.4. Образцы билетов к экзамену для ДОТ

Экзаменационный билет № _0_

Задания на выбор единственного ответа

Задание 1. Дана функция ez 2z xy 3 0. Найти

;

2 ez

Ответ:

Задание 2. Найдите

, если z x2 sin(3y 4)

x2 cos(3y 4);

2. 3x2 cos(3y 4) ;

3. x2 cos(3y 4) ;

4. 3x2 cos(3y 4)

Ответ:

Задание 3.

Разложение функции

y cos(x2 ) в ряд Тейлора в точке

x0 0 имеет вид

1. 1

x12

;

2. x

;

x10

x14

;

4. 1

Ответ:

Задание

Запишите

частное

решение

неоднородного

уравнения

y 4 y x2

4 по виду правой части

y Ax2

Bx C ;

2. y Ax3 Bx2

Cx ;

y e4 x Ax2 Bx C ;

4. y xe4 x Ax2 Bx C

Ответ:

Задание 5. Запишите область определения функции z 2x y ln(x 5y 1)


1. 2x y 0			2. 2x y 0
	x 5 y 1 0		x 5y 1 0
3. 2x y 0			4. 2x y 0
	x 5 y 1 0		x 5y 1 0
Ответ:
Задание 6. Полный дифференциал функции z xye x2 имеет вид
1.	z 2xye x2 dx xe x2 dy ;		2. z ye x2 dx e x2 dy ;
3.	z ye x2 2x2 ye x2 dx xe x2 dy ;		4. z 2x2 ye x2 dx xe x2 dy .
Ответ:
Задание 7.		Запишите частное решение неоднородного уравнения
y 4 y x2		4 по виду правой части
1.	y xe2 x Ax B ;		2. y xe 2 x Ax B ;
3.	y x Ax B ;		4. y e 2 x Ax B

Ответ:

Задание 8. Укажите сходящийся ряд

1. y

1 2x

;

n 1

Ответ:

Задания на выбор множественных ответов

Задание 9. Найдите точки экстремума функции z 2x4

y4 x2 2 y2

1. (0;1) ;

;1 ;

3. ( 1;0) ;

4. (0;0)

Ответ:

Задание 10. Укажите номера абсолютно сходящихся рядов

(1)

n 1

;

n 1

(2n 1)n

n 1

1)(n

(1)n 1 (n2 1)

(1)n 1 (n 1)

;

n(n

n 1

Ответ:

Задание 11. Однородными уравнениями являются

y2 y ;

4. y 2x y 1 ; 2 y x 1

	y	y2	2x2				y	1 ( y )2
2.				;		3.			;
2.		y2		;		3.		2 y	;
		y2	xy				x	2 y
			5.		y	x 2 y	.
			5.		y		.
						2x y

Ответ:

Задание 12. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными являются

1. y (x xy)e2 x y ;			2. y (2x y)e2 x ;
3. y ( y xy)ey ;			4. y (x xy)e2 xy .
Ответ:
	Задания на установление последовательности
Задание 13.
Расположите		значения		частных	производных		функции
z x3 y xy2 2x 3y 1			в	следующем	порядке:	z (1; 0) ,	z	(1; 0) ,
						x	y
z (1; 0) ,	z (1; 0) ,	z (1; 0)
xx	xy	yy
1. ;	2. ;			3. ;	4.	5.

Ответ:

Задание 14. Установите правильную последовательность слов в пред-

ложении
1.	и
2.	необходимо
3.	достаточно
4.	чтобы выполнялось условие P Q
			y	x
5.	для	того	чтобы	дифференциальное	уравнение

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 было уравнением в полных дифференциалах

Ответ:

Задание 15. Определите последовательность действий для решения задачи:

Исследование ряда					1						1	1	на сходимость по пре-

						4 2 3			4 22 3			4 23 3
дельному признаку сравнения
			1
1.	записать un
1.	записать un			4 2n 3
2.	выбрать эталонный ряд v									1
2.	выбрать эталонный ряд v						n			2	n
							n				n

		u				2n		1
3.	найти lim	n	lim
3.	найти lim		lim
	n v			n 4	2n 3 4
		n

4.сделать вывод о сходимости ряда

5.установить сходимость (расходимость) эталонного ряда

Ответ:

Задание 16. Расположите дифференциальные уравнения в следующем порядке:

уравнение с разделяющимися переменными линейное уравнение однородное уравнение уравнение Бернулли

1.	xy y ln y ;	2.	xy y(ln y ln x) 0 ;
3.	xy y 2 y2 ln x ;	4.	xy y ln x ;	5. xy y(1 ln y) 0 .

Ответ:

Задания на установление соответствия Задание 17. Установите соответствие между функцией и её полным

дифференциалом

ФУНКЦИЯ

ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦАЛ

z arctg

x y

1. dz

2(xdx ydy)

x y

x2 y2

z ln(x2 y2 )

2. dz

xdy ydx

x2 y2

z arctg

3. dz

ydx xdy

x2 y2

Ответ:

Задание 18. Установите соответствие: функция - ряд Маклорена

ФУНКЦИЯ

РЯД МАКЛОРЕНА

ln(1 x2 )

1. x2

2. (1 x) 1

2. 1 x x2 x3

cos x

3. 1 x

4. ex

4. 1

Ответ:

Задания для краткого ответа Задание 19. Найдите частное решение дифференциального уравнения

y x2 xy y2 , удовлетворяющее начальному условию y e 1.

Ответ:

Задание 20. Найдите интервал сходимости степенного ряда

		1	n	x 1		n
		1		x 1

	n 1

n 1					2

Ответ:

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.12.2018483.33 Кб40Msis.doc
#
29.05.20151.02 Mб60mu.pdf
#
29.05.20151.72 Mб12mu.pdf
#
29.05.20151.99 Mб72mu.pdf
#
29.05.20151.64 Mб12mu.pdf
#
29.05.201534.55 Mб18mu.pdf
#
10.11.20183.99 Mб1MultimediaMetod.doc
#
18.11.20191.99 Mб37MU_Adsorbtsia_Lengmyura.doc
#
20.08.2019584.19 Кб4mu_fopi_1-3.doc
#
20.08.2019532.48 Кб1mu_fopi_2-2.doc
#
20.11.20193.64 Mб5MU_Kapillyarnaya_kondensatsia.doc