Архитектура компьютеров. Рыбалка С.А.

Лабораторная работа № 3 Системы счисления с основанием 2, 8 и 16

Тема: Системы счисления: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная

Цель работы: Освоить методы перевода чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системы в десятичную и обратно

Задание

1. Прочитать методические указания.

2. Выполнить задания.

3. Оформить отчет.

Методические указания

Непозиционная система счисления — ранние простые системы счисления, например, римская система.

Позиционная система счисления подразумевает более сложный уровень абстракции — для записи цифр используется базовый набор символов, число которых составляет основание системы счисления. Место каждого символа в числе называется позицией, а номер позиции символа называется разрядом (начинается с нуля). Разряды увеличиваются, начиная с нулевого: нулевой, первый, второй и т.д., причем нулевой называется младшим разрядом, а последний — старшим разрядом.

В позиционных системах счисления любое положительное число может быть записано при помощи формулы, составить которую можно, введя следующие обозначения:

Пусть p — основание системы счисления, А_p — количественный эквивалент числа A, состоящего из n цифр a_k, где k = 0, …, n–1. Тогда число A можно представить как последовательность цифр A_p = a_n-1a_n-2...a₁a₀, причем всегда a_k < p.

В общем случае количественный эквивалент любого положительного числа в позиционной системе счисления можно представить в виде:

A_p = a_n-1·p^n-1+a_n-2·p^n-2 + ... +a₁·p¹+a₀·p⁰,(1)

где a — цифра данной системы счисления , n — номер старшего разряда числа.

Проанализировав это выражение, можно сформулировать следующее общее правило: количественный эквивалент числа в некоторой позиционной системе счисления равен сумме произведений количественных значений цифр и степеней основания, показатели которых равны номерам разрядов, причем нумерация разрядов начинается с ноля.

В привычной нам десятичной системе счисления любое положительное число может быть представлено по формуле (1) аналогично следующему примеру:

1254698357 = 1·10⁹+2·10⁸+5·10⁷+4·10⁶+6·10 ⁵+9·10⁴+8·10³+3·10²+5·10¹+7·10⁰

Десятичная система счисления

Хорошо известно, что данная система исчисления использует следующий базовый набор из 10 цифр {0 , 1 , 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9}, поскольку ее основание p = 10.

Согласно формуле (1), количественный эквивалент целого положительного числа в десятичной системе отсчета равен:

A₁₀ = a_n-1·10^n-1+a_n-2·10^n-2 + ... + a₁·10¹+a₀·10⁰ (4)

Например,

1234567890 = (1·10⁹)+(2·10⁸)+(3·10⁷)+(4·10⁶)+(5·10⁵)+(6·10⁴)+(7·10³)+(8·10²)+(9·10¹)+(0·10⁰) = 1234567890₁₀

Двоичная система счисления

Согласно формуле (1), количественный эквивалент некоторого целого положительного n-значного числа в двоичной системе отсчета равен:

A₂ = a_n-1·2^n-1+a_n-2·2^n-2 + ... + a₁·2¹+a₀·2⁰, (2)

Например,

1011001 = (1·2⁶)+(0·2⁵)+(1·2⁴)+(1·2³)+(0·2²)+(0·2¹)+(1·2⁰) =64+16+8+1 = 89₁₀

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система исчисления обладает базисом из восьми цифр {0 , 1 , 2, 3 , 4, 5, 6, 7}, так как ее основание p = 8. Для отличия от десятичной системы после цифр часто ставят цифру 8 в индексе — 327₈, или другие обозначения. Согласно формуле (1), количественный эквивалент целого положительного числа в восьмеричной системе отсчета равен:

A₈ = a_n-1·8^n-1+a_n-2·8^n-2 + ... + a₁·8¹+a₀·8⁰(3)

Например,

12345670₈ = (1·8⁷)+(2·8⁶)+(3·8⁵)+(4·8⁴)+(5·8³)+(6·8²)+(7·8¹)+(0·8⁰)= 2097152+524288+98304+16384+2560+384+56 =2739128₁₀