2.1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием матричных преобразований
Для простоты решения ограничимся случаем системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Рассуждения на случай большего числа уравнений можно провести аналогичным образом. Пусть требуется найти решение система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:
(1)
Введем следующие обозначения:
(2)
где A – матрица коэффициентов;
В – вектор свободных членов;
х – вектор неизвестных.
В матричном обозначении систему уравнений (1) можно записать в виде:
A∙x = B. (3)
Из линейной алгебры известно, что система (3) имеет единственное решение при условии невырожденности матрицы, т.е. её детерминант должен быть отличным от нуля. Поэтому, какой бы вычислительный метод не применялся, решение системы линейных уравнений всегда нужно начинать с вычисления определителя (детерминанта) матрицы.
Если применить к уравнению (3) аппарат матричных преобразований можно получить «матричную» формулу для вычисления х:
1. Помножим уравнение (3) слева на матрицу, обратную к матрице А:
A–1Ax = A–1B. (4)
2. Воспользуемся свойством, что A-1∙A=E, где Е – единичная матрица. Тогда уравнение (4) примет вид:
Ex=A–1B. (5)
3. Воспользуемся свойством, что Е∙х = х. Тогда уравнение (5) примет вид:
X=A–1B (6)
где (6) – решение системы (3).
Пример 17. Требуется найти решение следующей системы линейных уравнений:
Решение. Решение СЛАУ матричным способом в системе MathCAD приведено на рис. 20.
Рис. 20. Решение СЛАУ в пакете MathCAD
2.2. Контрольные вопросы
Перечислите основные типы матричных вычислений в MathCAD.
Порядок действий для вызова диалогового окна «Insert Matrix».
Какие панели инструментов применяются для работы с матрицами в MathCAD?
Чему равен начальный индекс массивов в MathCAD?
Какая кнопка и на какой панели используется для задания индексов в MathCAD?
Какая функция используется для чтения матриц из внешнего файла?
С какими приложениями имеет связь пакет MathCAD?
Перечислите специализированные команды для работы с векторами и матрицами в MathCAD.
Перечислите функции для преобразования матриц в MathCAD.
Как получить вектор-строку из матрицы в MathCAD?
2.3. Варианты заданий к лабораторной работе № 2
Задания:
1. Рассчитать выражение в соответствие с вариантом. Одну из матриц ввести с помощью файла .txt.
2. Преобразовать матрицы в соответствии с вариантом задания. Значения матриц произвольные.
Вариант 1
1.
.
2. Из матрицы А(5×5) выделить минор, который образуется в результате вычеркивания из этой матрицы 4-й строчки и 0-го столбца.
Вариант 2
1.
.
2. Дана матрица: A(6×4). Требуется выделить из матрицы вторую строку по порядку (с номером 1).
Вариант 3
1.
.
2. Дана матрица: A(4×4), и В(5×5). Требуется получить из этих матриц два вектора. Первый вектор должен совпадать с 4-м столбцом матрицы А, а второй – с 0-м столбцом матрицы B.
Вариант 4
1.
.
2. Из матрицы А(4×4) выделить минор, который образуется в результате вычеркивания из этой матрицы второй строчки и второго столбца.
Вариант 5
1.
.
2. Требуется сформировать диагональную квадратную матрицу С(5×5). Значения элементов главной диагонали должны совпадать с номером строки/столбца.
Вариант 6
1.
.
2. Дана матрица: A(3×3). Требуется получить из этой матрицу два вектора. Первый вектор должен совпадать с 0-ым столбцом матрицы А, а второй – с 3-м столбцом матрицы А.
Вариант 7
1.
.
2. Даны две матрицы: A(2×2) и В(4×2). Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу С(6×2), причем, в новой матрицы в качестве первых строк должны быть строки матрицы B, а за ними должны следовать строки матрицы A.
Вариант 8
1.
.
2. Даны две матрицы: A(4×3) и В(4×2). Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу C(4×5), причем, первыми столбцами новой матрицы должны быть столбцы матрицы А, а справа от этих элементов следовать столбцы матрицы В (методом «дописывания справа»).
Вариант 9
1.
.
2. Требуется сформировать диагональную квадратную матрицу с(6×6). Значения элементов главной диагонали должны совпадать с номером строки/столбца.
Вариант 10
1.
.
2. Даны матрица: A(4×4) и В(4×2). Требуется выделить из матрицы A первую строку по порядку (с номером 0) и объединить полученную строку с матрицей B (методом «дописывания справа»).
3.ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 «Программирование в MathCAD»
Цель работы. Приобрести навыки программирования в математическом пакете MathCAD.
3.1. Методические указания
Функции являются важнейшим инструментом математики. В лабораторной работе № 1 представлена технология работы с пользовательскими функциями, которые можно описать с помощью одного выражения. Если описания функции нельзя уместить в одно выражение, то без элементов программирования обойтись сложно.
Язык программирования MathCAD содержит все элементы языка высокого уровня, необходимые для математических расчетов. Будучи дополненным сотнями встроенных функций и операторов системы, возможностями численного и символьного расчета различных величин, он по эффективности не уступает профессиональным системам программирования. Кроме того, у него есть одно очень крупное преимущество: язык программирования MathCAD предельно прост.
Как правило, при использовании функций, встроенных в систему MathCAD, пользователи не задумываются о том, на основании каких методов и решений достигается цель, поставленная перед функцией. Такая встроенная функция используется по типу «черного ящика» – пользователь познакомился с ее описанием/спецификацией, вызвал для решения, получил ответ.
При программировании пользовательских функций будем придерживаться «созвучного» порядка, т.е. идти от спецификации к программированию.