МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт – Неразрушающего контроля

Направление – Электроника и наноэлектроника; Биотехнические системы и технологии

^{ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА ПО МЕТОДУ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ}

Отчет по лабораторной работе № 1-06

по курсу «Физика 1»

Выполнили студенты гр.ЭТО133 ________ _______ Е.И. Зубова,

________ _______ А.С. Молдабеков

Проверил ассистент каф. ОФ ________ _______ Л.А. Святкин

Томск 2013

Цель работы: Определение момента инерции тела методом крутильных колебаний, проверка справедливости теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Приборы и принадлежности: Лабораторная установка, грузы сферической формы, секундомер, штангенциркуль, весы и разновески.

Теоретическое введение

Основной закон динамики поступательного движения описывается выражением:

или (1)

Величина m- масса тела- выражает численно меру инертности тела, т.е. его способность изменять состояние поступательного движения под действием силы F.Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела, вращающегося вокруг оси симметрии тела, записывается в виде:

или (a)

где - момент импульса тела, - вектор углового перемещения, - угловое ускорение, -момент силы.

Размерность момента инерции в системе СИ-[кг*м²]. Отсюда определение момента инерции материальной точки относительно оси вращения в виде

, (2)

где r_i – радиус вращения материальной точки, а m_i – её масса. Масса реального тела представляется в виде суммы масс материальных точек, её составляющих. Момент инерции тела есть совокупность моментов инерции его частей, рассматриваемых как материальные точки:

(3)

Если необходимо рассчитать момент инерции тела относительно оси AA, не проходящей через центр симметрии, но параллельной ей , можно воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера: «Момент инерции тела J_AA относительно любой оси AA параллельной оси OO, проходящей через центр инерции тела, равен моменту инерции J_OO этого тела относительно оси OO, сложенному с величиной ml²; l – расстояние между осями AA и OO; m – масса тела»

(4)

Теория метода определения момента инерции твёрдого тела и проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера

Выведенный из состояния равновесия маятник будет совершать колебания с периодом

(5)

здесь  (каппа) называется коэффициентом угловой жёсткости или модулем кручения подвеса(оси). Численно  выражает величину момента силы, возникающего при его закручивании на единичный угол. Для тела момент инерции J_OO которого необходимо определить в опыте, период колебаний будет иметь величину T₀

(5a)

Период колебаний усложнённого маятника равен

(6)

Из уравнений 5а и 6 выражаем искомый момент инерции J_OO

(7)

Если в качестве дополнительного груза используют два одинаковых шара, массой m₀ и радиуса r каждый, расположенные симметрично относительно оси маятника OO, то момент инерции J будет записан, применяя теорему Гюйгенса – Штейнера, в виде

(8)

Здесь m – общая масса двух шаров; l – расстояние между осью OO и центром каждого шара. С учётом (8) получаем формулу для искомого момента инерции

(9)

Экспериментальная часть

Таблица 1. Зависимость периода крутильного маятника от расстояния между центрами шаров

	Т0,с	L1,м	L2,м	L3,м	L4,м	L5,м	L6,м	Примечания
		0,2	0,18	0,16	0,14	0,12	0,1	r=0,023м m0=0,18кг m=2m0=0.36кг
		Т1,с	Т2,с	Т3,с	Т4,с	Т5,с	Т6,с
1	0,845	1,603	1,496	1,413	1,3	1,214	1,156
2	0,856	1,6	1,491	1,408	1,307	1,206	1,152
3	0,861	1,604	1,479	1,417	1,309	1,208	1,158
Среднее значение периода	0,854	1,602	1,488	1,412	1,305	1,209	1,155
		Расчет момента инерции:
		J1, кг*м2	J2, кг*м2	J3, кг*м2	J4, кг*м2	J5, кг*м2	J6, кг*м2	Jср, кг*м2
		0,0057	0,0054	0,0054	0,0052	0,0048	0,0043	0,0051

T²₁ = 2.566 c² l²₁ = 0.04 м²

T²₂ = 2.214 c² l²₂ = 0.0324 м²

T²₃ = 1.993 c² l²₃ = 0.0256 м²

T²₄ = 1.703 c² l²₄ = 0.0196 м²

T²₅ = 1.461 c² l²₅ = 0.0144 м²

T²₆ = 1.334 c² l²₆ = 0.01 м²

График 1. Зависимость квадрата периода колебаний от квадрата расстояния между осями

c²/м²

Н*м

Вывод:

Таким образом после проделанной работе можно сделать вывод о справедливости теоремы Гюйгенса-Штейнера так как результаты по нахождению момента инерции вычисленный с помощью формулы = примерно равен моменту инерцию вычисленному с помощью графика и уравнения прямой . Тем не менее более точные результаты мы получим с помощью графика, ведь прямая построена с учетом погрешности измерений.

4