Приложение 2. Пример выполнения задания.
Выборка
объемом
:
|
4,81 |
7,03 |
4,95 |
0,25 |
13,00 |
26,52 |
1,40 |
3,19 |
0,07 |
1,99 |
|
11,48 |
15,45 |
5,17 |
14,65 |
8,09 |
0,38 |
2,34 |
1,14 |
0,39 |
1,56 |
|
2,58 |
17,15 |
0,47 |
1,75 |
13,74 |
11,50 |
8,75 |
1,08 |
0,51 |
2,68 |
|
0,53 |
9,04 |
3,82 |
1,01 |
5,13 |
6,80 |
4,52 |
6,69 |
3,04 |
9,41 |
|
0,61 |
7,58 |
4,26 |
0,14 |
3,60 |
1,27 |
2,97 |
8,63 |
3,46 |
0,57 |
|
0,21 |
20,35 |
5,96 |
3,81 |
3,35 |
1,93 |
1,70 |
0,71 |
1,97 |
4,87 |
|
21,17 |
6,28 |
0,12 |
6,02 |
4,92 |
1,06 |
2,94 |
10,82 |
3,57 |
8,04 |
|
4,49 |
5,35 |
1,07 |
1,44 |
0,07 |
1,61 |
8,54 |
14,11 |
9,63 |
7,90 |
|
0,74 |
2,96 |
0,04 |
5,23 |
16,01 |
12,32 |
0,15 |
1,36 |
16,36 |
5,48 |
|
9,88 |
5,14 |
6,81 |
1,27 |
7,33 |
10,11 |
1,88 |
1,52 |
1,14 |
5,62 |
Построим
статистический ряд, осуществив группировку
данных. Находим
,
.
Число интервалов группирования
определяем по формуле Стерджесса:
.
Для удобства возьмем в качестве нижней
границы первого интервала значение
,
а в качестве верхней границы последнего
интервала значение
,
тогда, если выбрать интервалы равной
длины, длина каждого интервала
группирования будет равна
.
Подсчитывая частоты, получаем следующий
ряд:
|
Интервал
|
0 - 4 |
4 - 8 |
8 - 12 |
12 - 16 |
16 - 20 |
20 - 24 |
24 - 28 |
|
Частота
|
51 |
24 |
13 |
6 |
3 |
2 |
1 |
Видим, что частоты распределены по интервалам крайне неравномерно, поэтому делаем перегруппировку данных, изменяя длины интервалов, добиваясь более равномерного распределения частот по интервалам. В результате получаем следующий ряд:
|
Интервал |
0 - 1,5 |
1,5 - 3 |
3 - 5 |
5 - 7 |
7 - 10 |
10 - 16 |
16 - 27 |
|
Середина
|
0,75 |
2,25 |
4 |
6 |
8,5 |
13 |
21,5 |
|
Частота
|
28 |
15 |
15 |
13 |
13 |
10 |
6 |
|
Относительная
частота
|
0,28 |
0,15 |
0,15 |
0,13 |
0,13 |
0,1 |
0,06 |
|
Плотность частоты
|
0,1867 |
0,1000 |
0,0750 |
0,0650 |
0,0433 |
0,0250 |
0,0055 |
Соответствующие полигон частот и гистограмма, построенная в Excel, приведена на рисунке.
Основные числовые характеристики выборки:
Выборочное среднее:
.
Несмещенная
выборочная дисперсия
.
Анализируя
гистограмму, видим, что распределение
экспериментальных данных похоже на
показательное распределение. Сравним
для наглядности гистограмму с кривой
плотности показательного распределения.
В качестве неизвестного параметра
,
этого распределения возьмем оценку,
полученную по методу моментов:
.
Вычислим значения плотности показательного
распределения
в точках, соответствующих серединам
интервалов группирования, и сравним
гистограмму с графиком плотности:
|
Интервал |
0 - 1,5 |
1,5 - 3 |
3 - 5 |
5 - 7 |
7 - 10 |
10 - 16 |
16 - 27 |
|
Середина |
0,75 |
2,25 |
4 |
6 |
8,5 |
13 |
21,5 |
|
Плотность частоты |
0,1867 |
0,1000 |
0,0750 |
0,0650 |
0,0433 |
0,0250 |
0,0055 |
|
Теоретическая плотность |
0,1605 |
0,1218 |
0,0882 |
0,0610 |
0,0385 |
0,0168 |
0,0035 |
Видим, что вполне возможно, что генеральная совокупность распределена по показательному закону.
Построим также эмпирическую функцию распределения (значения функции вычисляем на отрезке [0; 28] с шагом 0,5):
