Инверсия

Отрицание высказывания А (т.е. не А) обозначается , или, илии часто читается: «отрицание А», «не А» или «А с чертой».

Пример 11. Высказывание А=<Киев-столица Франции>, тогда сложное высказывание НЕ А означает: не верно, что А, т.е. не верно, что <Киев-столица Франции>.

Конъюнкция

Результатом операции конъюнкции для высказывания А В будет истинна только тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Пример 12. Высказывания А= «Москва – столица России» и В= «Рим – столица Италии». Сложное высказывание А В (А & В) истинно, так как истинны оба высказывания.

Дизъюнкция

Результатом операции дизъюнкции для высказывания АВ будет истинна тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

Пример 13. Высказывания А = «2 + 3 = 5» и В = «3 + 3 = 5». Сложное высказывание: А В (А + В) истинно, так как истинно высказывание А.

Эквиваленция (равнозначность)

Результатом операции эквиваленции для высказывания А ~ В будет истинна тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания. Отличие эквиваленции от конъюнкции состоит в том, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Пример 14. Высказывания А = «2 + 2 = 7» и В = «1 – 8 = 5». Сложное высказывание А В (А ~ В) истинно, так как оба высказывания ложны.

Импликация

Результатом операции импликации для высказывания АВ будет ложь только тогда, когда первое высказывание (А) истинно, а второе (В) ложно. При этом А – предпосылка, а В – следствие.

Пример 15. Высказывания А = «2 + 2 = 4» и В = «1 – 8 = 5». Сложное высказывание А В (АВ) ложно, так как высказывание А истинно, а В – ложно.

Антиконъюнкция

Результатом операции антиконъюнкции для высказывания А В будет ложь только тогда, когда оба высказывания истинны.

Пример 16. Высказывания А= «Москва – столица России» и В= «Рим – столица Италии». Сложное высказывание А В ложно, так как истинны оба высказывания.

Антидизъюнкция

Результатом операции антидизъюнкции для высказывания А В будет истинна только тогда, когда оба высказывания ложны.

Пример 17. Высказывания А= «Рим – столица России» и В= «Москва – столица Италии». Сложное высказывание А В истинно, так как ложны оба высказывания.

Основными символами алгебры логики являются:

• пропозициональные переменные;

• унарная связка и бинарные связки,,, ~;

• скобки ( ).

Переменная, значениями которой являются высказывания, называется пропозициональной переменной.

Далее индуктивно вводится понятие формулы, являющееся формализацией понятия «сложного» высказывания. К формуле алгебры логики относят:

• выражение, состоящее только из пропозициональной переменной (А1, В, с);

• выражения, состоящие из пропозициональных формул соединенных связками (С, (А1А2), (Н1Н2)).

Правила сокращения записей в пропозициональных формулах:

• вместо А пишут;

• вместо А1 А2 пишут А1А2;

• приоритет применения связок возрастает в следующем порядке

~ 

• внешние скобки опускаются.

Пример 18.

• ;

• .

Для преобразований формул в равные формулы важную роль в алгебре логики играют следующие равенства:

1. (закон коммутативности).

2. (закон ассоциативности).

3. (закон поглощения).

4. (закон дистрибутивности).

5. (закон противоречия).

6. (закон исключенного третьего);

7. (закон снятия двойного отрицания);

8. (закон склеивания);

9. (закон де Моргана);

10. (закон свертки).

Эти равенства позволяют существенно упростить запись формул освобождением от лишних скобок.