теория и практика_ТГ_для дискретки

Как и в мультипликативном случае, если элемент a группы (G, +) имеет конечный порядок n, то циклическая подгруппа < a > состоит из n элементов, а именно

< a >= {0a = 0, a, . . . , (n − 1)a} .

Отметим, что, как нетрудно доказать, любая циклическая подгруппа, порожденная элементом порядка n, изоморфна мультипликативной группе корней n-ой степени из 1, а любая циклическая подгруппа, порожденная элементом бесконечного порядка изоморфна группе (Z, +).

§ 16. Гомоморфный образ группы.

Пусть ϕ — гомоморфизм группы (G, ) в группоид (B, ◦). Как отмечалось выше (см. следствие из теоремы 7.1) гомоморфный образ ϕ(G) является группоидом относительно операции ◦, определенной в B. Более того, имеет место

ТЕОРЕМА 16.1 . Гомоморфный образ группы (G, ) при гомоморфизме ϕ группы (G, ) в группоид (B, ◦) является группой относительно операции ◦, определенной в B.

Доказательство. Проверим все аксиомы группы.

Так как операция в G ассоциативна, по теореме 7.2, операция ◦ в ϕ(G) ассоциативна.

Так как e — нейтральный элемент в (G, ), по теореме 7.2, ϕ(e) — нейтральный элемент в (ϕ(G), ◦).

Пусть b ϕ(G) и a — такой элелемент из G, что ϕ(a) = b. Для элемента a в группе G имеется симметричный ему элемент a′. Поэтому по теореме 7.2 ϕ(a′) — элемент в ϕ(G), симметричный элементу b.

Значит, ϕ(G) группа относительно операции ◦.

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим дополнительно, что если (G, ) — коммутативная группа, то в силу теоремы 7.2 ϕ(G) также коммутативная группа.

ПРИМЕР 16.1. Пусть Zm = {0, 1, . . . , m − 1}, где m — фиксированное натуральное число, m > 1.

Пусть далее на множестве Zm определена бинарная операция следующим образом:

a b = r, где r — остаток от деления числа a + b на m.

61

Доказать, что (Zm, ) — коммутативная группа.

Рассмотрим отображение ϕ : Z → Zm, заданное правилом

ϕ(a) = r, где r — остаток от деления числа a на m.

Ясно, что ϕ — сюръективное отображение. Покажем, что ϕ — гомоморфизм группы (Z, +) в группоид (Zm, ).

Пусть a, b Z, a = mq1 + r1, b = mq2 + r2, где r1, r2 — остатки от деления чисел a и b на m. Тогда a + b = m(q1 + q2) + r1 + r2. Поэтому ϕ(a + b) = ϕ(r1 + r2), т.е. ϕ(a + b) равно остатку от деления числа r1 + r2 на m.

С другой стороны, ϕ(a) = r1, ϕ(b) = r2 и, значит, ϕ(a) ϕ(b) = r1 r2, т.е. ϕ(a) ϕ(b) также равно остатку от деления числа r1 + r2 на m. Следо-

вательно,

ϕ(a + b) = ϕ(a) ϕ(b).

Из теоремы 16.1 и замечания к ней получаем, что (Zm, ) — коммутативная группа.

ЗАМЕЧАНИЕ. Другой подход к группе (Zm, ), основанный на свойствах сравнений по модулю числа m, будет продемонстрирован в теории чисел.

62

§ 17. Понятие кольца. Примеры колец.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17.1. Кольцом называется алгебра (K, +, ·) с двумя бинарными операциями + и ·, которая удовлетворяет следующим условиям

1.(K, +) — абелева группа, т.е.

а) операция + в K ассоциативна, т.е.

a, b, c K (a + b) + c = a + (b + c);

б) в множестве K имеется нулевой элемент 0 относительно операции +, т.е. элемент 0, удовлетворяющий условию

a K a + 0 = 0 + a = a;

в) для всякого a K в множестве K имеется противоположный ему элемент −a, т.е. элемент −a, удовлетворяющий условию

a + (−a) = (−a) + a = 0;

г) операция + в K коммутативна, т.е.

a, b K a + b = b + a.

2.Операция · в K ассоциативна, т.е.

a, b, c K (ab)c = a(bc).

3.Операция · в K дистрибутивна относительно операции +, т.е.

a, b, c K ((a + b)c = ac + bc c(a + b) = ca + cb).

ЗАМЕЧАНИЕ. В математической литературе часто дается определение кольца, несколько отличающееся от приведенного выше. Именно, в нем отсутствует пункт 2 об ассоциативности операции ·. При этом, если алгебра (K, +, ·) удовлетворяет и условию пункта 2, то ее называют ассоциативным кольцом.

Приведем некоторые примеры колец.

1. Числовые кольца (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·).

63

2.Кольца матриц (Zn×n, +, ·), (Qn×n, +, ·), (Rn×n, +, ·), (Cn×n, +, ·).

3.Кольца многочленов (Z[x], +, ·), (Q[x], +, ·), (R[x], +, ·), (C[x], +, ·).

4.Кольца функций (FX , +, ·), (C[a,b], +, ·), (D[a,b], +, ·).

ПРИМЕР 17.1. Доказать, что множество

K = {(a, b) | a, b Q}

является кольцом относительно бинарных операций , , определеных по следующим правилам:

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac, 2bd).

Ясно, что , являются бинарными операциями на множестве K. Покажем, что алгебра (K, , ) является кольцом.

1.Очевидно, что операция на множестве K коммутативна и ассоциативна. Кроме того, пара (0, 0) является нулевым элементом в группоиде (K, ) и для всякого элемента (a, b) K в группоиде (K, ) имеется противоположный ему элемент (−a, −b). Следовательно, (K, ) — абелева группа.

2.Покажем, что операция в K ассоциативна.

Пусть (a, b), (c, d), (f, g) K. Тогда

((a, b) (c, d)) (f, g) = (ac, 2bd) (f, g) = (acf, 4bdg), (a, b) ((c, d) (f, g)) = (a, b) (cf, 2dg) = (acf, 4bdg).

Значит, ((a, b) (c, d)) (f, g) = (a, b) ((c, d) (f, g)), т.е. операция ассоциативна.

3. Покажем, что операция дистрибутивна относительно операции . Пусть (a, b), (c, d), (f, g) K. В силу коммутативности операции достаточно доказать, что ((a, b) (c, d)) (f, g) = (a, b) (f, g) (c, d) (f, g). Имеем

((a, b) (c, d)) (f, g) = (a + c, b + d) (f, g) = (af + cf, 2bg + 2dg),

(a, b) (f, g) (c, d) (f, g) = (af, 2bg) (cf, 2dg) = (af + cf, 2bg + 2dg).

Таким образом, (K, , ) является кольцом.

64

§ 18. Простейшие свойства колец.

Пусть (K, +, ·) — кольцо. Так как (K, +) — абелева группа, учитывая свойства групп 11.1 и 11.2 (в аддитивной терминологии) и свойство 14.1′ разности элементов абелевой группы, получим

СВОЙСТВО 18.1 . Во всяком кольце (K, +, ·) имеется единственный нулевой элемент 0 и для вякого a K имеется единственный противоположный ему элемент −a.

СВОЙСТВО 18.2. a, b, c K (a + b = a + c b = c).

СВОЙСТВО 18.3. Для любых a, b K в кольце K существует единственная разность a − b, причем a − b = a + (−b).

Таким образом, в кольце K определена операция вычитания, при этом она обладает свойствами 14.1′— 14.8′.

СВОЙСТВО 18.4 . Операция умножения в K дистрибутивна относительно операции вычитания, т.е.

a, b, c K ((a − b)c = ac − bc c(a − b) = ca − cb).

Доказательство. Пусть a, b, c K. Учитывая дистрибутивность операции · в K относительно операции + и определение разности элементов кольца, получим

(a − b)c + bc = ((a − b) + b)c = ac,

откуда по определению разности следует, что (a − b)c = ac − bc. Аналогично доказывается правый закон дистрибутивности операции

умножения относительно операции вычитания.

СВОЙСТВО 18.5. a K a0 = 0a = 0.

Доказательство. Пусть a K и b — произвольный элемент из K. Тогда b − b = 0 и поэтому, учитывая предыдущее свойство, получим

a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.

Аналогично доказывается, что 0a = 0.

СВОЙСТВО 18.6. a, b K (−a)b = a(−b) = −(ab).

65

Доказательство. Пусть a, b K. Тогда (−a)b + ab = ((−a) + a)b = = 0b = 0. Значит, (−a)b = −(ab).

Аналогично доказывается равенство a(−b) = −(ab).

СВОЙСТВО 18.7. a, b K (−a)(−b) = ab.

Доказательство. В самом деле, применяя дважды предыдущее свойство, получим (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.

ЗАМЕЧАНИЕ. Свойства 18.6 и 18.7 называют правилами знаков в коль-

це.

Из дистрибутивности операции умножения в кольце K относительно операции сложения и свойств 18.6 и 18.7 вытекает следующее

СВОЙСТВО 18.8. Пусть k, l — произвольные целые числа. Тогда

a, b K (ka)(lb) = (kl)ab.

§ 19. Подкольцо.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19.1 . Подкольцом кольца (K, +, ·) называется подмножество H множества K, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в K, и само является кольцом относительно этих операций.

Приведем некоторые примеры подколец. Так, Z — подкольцо кольца (Q, +, ·),

Q — подкольцо кольца (R, +, ·),

Rn×n — подкольцо кольца (Cn×n, +, ·), Z[x] — подкольцо кольца (R[x], +, ·),

D[a,b] — подкольцо кольца (C[a,b], +, ·).

Во всяком кольце (K, +, ·) само множество K, а также одноэлементное подмножество {0} являются подкольцами кольца (K, +, ·). Это так называемые тривиальные подкольца кольца (K, +, ·).

66

Простейшие свойства подколец.

Пусть H — подкольцо кольца (K, +, ·), т.е. (H, +, ·) само является кольцом. Значит, (H, +) — группа, т.е. H — подгруппа группы (K, +).

Поэтому справедливы следующие утверждения.

СВОЙСТВО 19.1 . Нулевой элемент подкольца H кольца K совпадает с нулевым элементом кольца K.

СВОЙСТВО 19.2 . Для всякого элемента a подкольца H кольца K противоположный ему элемент в H совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в K.

СВОЙСТВО 19.3. Для любых элементов a и b подкольца H их разность в H совпадает с элементом a − b, т.е. с разностью этих элементов в K.

Признаки подкольца.

ТЕОРЕМА 19.1 (первый признак подкольца).

Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является подкольцом кольца K тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

Доказательство.

Необходимость. Пусть H — подкольцо кольца (K, +, ·). Тогда H — подгруппа группы (K, +). Поэтому по первому признаку подгруппы (в аддитивной формулировке), H удовлетворяет условиям (1) и (2). Кроме того, H замкнуто относительно операции умножения, определенной в K, т.е. H удовлетворяет и условию (3).

Достаточность. Пусть H K, H 6= и H удовлетворяет условиям ( 1) − ( 3). Из условий (1) и (2) по первому признаку подгруппы следует, что H — подгруппа группы (K, +), т.е. (H, +) — группа. При этом, так как (K, +) — абелева группа, (H, +) также абелева. Кроме того, из условия (3) следует, что умножение является бинарной операцией на множестве H. Ассоциативность операции · в H и ее дистрибутивность относительно операции + следуют из того, что такими свойствами обладают операции + и · в K.

67

На практике чаще используется следующая

ТЕОРЕМА 19.2 (второй признак подкольца).

Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является подкольцом кольца K тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 19.1. При этом используется теорема 15.2′ (второй признак подгруппы в аддитивной формулировке) и замечание к ней.

Рассмотрим некоторые примеры.

Поэтому по второму признаку подкольца H является подкольцом кольца

(Q, +, ·).

так что условие (4) из второго признака подкольца выполняется.

68

откуда легко видеть, что если b1 и c2 — нечетные числа, то AB / H. Значит, H не является подкольцом кольца (Z2×2, +, ·).

ПРИМЕР 19.3. Доказать, что множество H функций из FX , обращающихся в нуль при x0 X, является кольцом относительно операций сложения и умножения.

Ясно, что H — непустое подмножество кольца FX с операциями + и ·. Пусть f (x), g(x) H. Тогда

(f (x) − g(x))(x0) = f (x0) − g(x0) = 0 и (f (x)g(x))(x0) = f (x0)g(x0) = 0.

Следовательно, H — подкольцо кольца (FX , +, ·), так что H — кольцо относительно операций сложения и умножения функций.

§ 20. Частные виды колец.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.1 . Кольцо (K, +, ·) называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна, т.е.

a, b K ab = ba.

В качестве примера коммутативных колец отметим все числовые кольца, кольца многочленов, кольца функций, указанные в §17.

С другой стороны, кольцо матриц порядка n > 2 с элементами из любого числового кольца не коммутативно (убедитесь!).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.2. Единичным элементом, или единицей кольца (K, +, ·) называется такой элемент e K, который удовлетворяет условию

a K ae = ea = a.

69

Например, в кольце (Q, +, ·) единичным элементом является число 1, в кольце (Rn×n, +, ·) — единичная матрица E.

С другой стороны, в кольце четных чисел единичного элемента нет. Отметим, что так как во всяком группоиде существует не более одного

нейтрального элемента, любое кольцо либо не имеет единичного элемента, либо имеет единственный единичный элемент.

Пусть кольцо (K, +, ·) имеет единицу e.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.3. Элемент a−1 кольца K c единицей e называ-

(R2×2, +, ·).

С другой стороны, в кольце (R2×2, +, ·) всякая вырожденная матрица не имеет обратного элемента.

Отметим, что, так как операция умножения в кольце K ассоциативна, всякий элемент a кольца K с единицей имеет не более одного обратного элемента.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.4. Элемент a кольца K с единицей e называется обратимым, если в K имеется элемент a−1 обратный к a.

Отметим, что если элемент a K обратим, то обратный к нему элемент a−1 также обратим, так как a есть элемент, обратный к a−1.

ТЕОРЕМА 20.1. Множество K всех обратимых элементов кольца (K, +, ·) с единицей e является группой относительно операции умножения.

Доказательство. Ясно, что e K и поэтому K 6= . Докажем, что K замкнуто относительно операции умножения.

Пусть a, b K и a−1, b−1 — соответствующие им обратные элементы в K. Тогда abb−1a−1 = b−1a−1ab = e, так что b−1a−1 есть элемент в K, обратный к элементу ab. Значит, ab K и,следовательно, умножение является бинарной операцией в K .

Покажем, что группоид (K , ·) является группой.

Операция · в K ассоциативна, так как ассоциативна операция умножения в K. Ясно, что e — единичный элемент в K . Пусть a K , тогда a−1

70