Лекция 8
.pdfПараксиальное приближение и
нулевые лучи
Лекция 8
Оптика нулевых лучей (продолжение)
Формулы (4) и (5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полученные на прошлой |
tg |
|
|
nk |
tg |
|
h |
nk 1 nk |
(4) |
лекции: |
|
nk 1 |
|
nk 1rk |
|||||
|
k 1 |
|
|
k |
k |
|
позволяют рассчитать ход луча через серию поверхностей. Расчёт хода нулевого луча используется для определения заднего фокусного расстояния f’ и заднего вершинного фокусного расстояния s’F ОС. Для этого Полагают, что α1=0. Тогда:
tg |
2 |
h |
|
n2 n1 |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
n2r1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
tg |
|
|
|
|
tg |
|
h |
3 |
|
; |
(6) |
|||
|
n |
|
|
n r |
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
Оптика нулевых лучей (продолжение)
h |
h |
tg |
d |
; |
2 |
1 |
2 |
1 |
; |
h3 h2 |
tg 3d2 |
|||
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Величины f’ и s’F можно рассчитать по формулам:
f |
h1 |
, |
|
tg p 1 |
|||
|
(8) |
s |
/ |
|
|
|
hp |
. |
|
|
|
|
|||||
F |
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||||
|
|
|
|
tg p 1 |
|
|
|
|
|||||||
Для малых углов tg , |
|
|
поэтому формулы (6) и (7) можно переписать в виде: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
nk |
|
|
h |
nk 1 |
nk |
(6’) |
|||
|
|
|
|
|
|
n |
r |
||||||||
|
k |
1 |
|
|
n |
k 1 |
|
|
k |
k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 k |
|
||
hk 1 hk |
k 1dk |
(7’) |
|
Оптика нулевых лучей (продолжение)
Если необходимо рассчитать rk используют формулу:
r |
|
hk (nk 1 nk ) |
|
||||
|
|
|
|||||
k |
n |
k 1 |
|
k |
n |
k |
|
|
|
k 1 |
|
|
|||
Формулы для f’ и s’F примут вид:
f |
|
h1 |
. |
||
|
|
|
|||
|
p 1 |
||||
SF |
|
hp |
. |
||
|
|
||||
|
|
|
p 1 |
||
|
|
|
|||
Обычно всё это рассчитывается на ЭВМ.
(10)
(11)
(12)
Инвариант ГюйгенсаГельмгольца
Рассмотрим получение изображения внеосевой точки В посредством преломления сферической поверхностью радиуса r
1) Построим изображение
A’ точки A с помощью параксиального луча, образующего с ОО угол α:
' |
n1 |
|
(1) |
|
n2 |
||||
|
|
|
Рис. 1. |
2) Построим точку A1’ – изображение точки A1. |
|||||||||
|
Связь между R и R’ : R |
n1 |
|
|
R |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|||
Для приращений R и R’ справедлива формула: |
R |
n1 |
|
R |
(3) |
|||||
n2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как α и R’ – отрицательные величины, то, если R 0 то |
R 0 |
|||||||||
Инвариант ГюйгенсаГельмгольца
Таким образом, изображение B’ точки В лежит на расстоянии
B'C' R'
Отсюда следует важный вывод:
использование сферической преломляющей поверхности не обеспечивает получения плоскости изображений, сопряжённой с плоскостью предметов. Лишь в параксиальном приближении две плоскости, перпендикулярные ОО, будут сопряжёнными.
Построим изображение отрезка l:
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
S |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Учтем, что: |
l |
|
|
S |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Тогда: |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S n1 |
|
|
n1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
Sn2 |
|
|
n2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Или: |
n1l n2l - инвариант Гюйгенса-Гельмгольца |
|||||||||||||||||||
Если учесть, что: |
|
f |
|
n2 |
тогда: |
f l f |
|
l |
||||||||||||
|
f |
n1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы (6) и (7) можно распространить на любое количество преломляющих и отражающих поверхностей.
(4)
(5)
(6)
(7)
Формулы линз
Линзой называется оптическая деталь, ограниченная двумя преломляющими поверхностями, являющимися поверхностями тел вращения. Чаще всего встречаются центрированные сферические поверхности (или одна сферическая и одна плоская, перпендикулярная ОО). Рассмотрим преломляющее действие одной линзы со сферическими
r1, r2 - радиусы сфер
d - толщина по оптической оси
n1, n2, n3 –
показатели преломления до линзы, линзы и после линзы соответственно.
Рис. 3.
Формулы линз
Из уравнений оптики нулевых лучей (формулы (6’), (7’), (10)), следует:
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
||||
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
h |
3 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
2 |
n3r2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
h1 2d |
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
h2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
n |
|
|
|
|
||||
|
2 |
h |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
n2r1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решая эту систему, получаем:
1 |
|
1 |
|
n2 n1 |
|
n3 n2 |
|
|
(n2 |
n1)(n3 n2) |
d (2) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
r1 |
r2 |
|
|
|||||||
f |
n3 |
|
|
|
|
n2n3r1r2 |
||||||
Для переднего фокусного расстояния имеем:
1 |
|
1 |
|
n1 n2 |
|
n2 n3 |
|
|
(n1 n2)(n2 n3) |
d (3) |
|
|
|
||||||||||
f |
|
r1 |
r2 |
|
|||||||
|
n1 |
|
|
|
n1n2r1r2 |
||||||
Формулы линз
Разделим формулу (3) на формулу (2), получим такое же соотношение, что и для одной преломляющей поверхности
f |
|
n3 |
(4) |
|
f |
n1 |
|||
|
|
Найдем фокусное расстояние каждой поверхности:
f |
|
n2r1 |
; |
f |
1 |
|
|
n1r1 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
n |
2 |
n |
|
|
n |
2 |
n |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
f |
n3r2 |
; |
f |
|
|
n2r2 |
|||||||||
|
|
n3 n2 |
|||||||||||||
2 |
|
n3 n2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||
Тогда оптическая сила линзы с учётом (2) , (3) и (5), примет вид:
Ф n3 n1 n2 n3 n3d
f |
f |
f1 |
f2 |
f1 f2 |
|
или |
|
d |
|
|
|
Ф Ф Ф ФФ |
, |
|
|
||
|
|
|
|||
1 |
2 1 2 n |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
(5)
(6)
(7)
где Ф1 и Ф2 – оптические силы первой и второй поверхностей линзы, соответственно.
Формулы линз
Заднее и переднее вершинные фокусные расстояния линзы получаются из формулы (12) (см. п. Оптика нулевых лучей)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
1 |
d |
|
|
|
||
|
|
h2 |
|
h2 |
|
h1 |
n2r1 |
n2 n1 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
SF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f f (1 |
|
|
d) |
|
h |
|
3 |
|
|
h |
|
n |
r |
|||||||
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 1 |
|
|
SF f n1 (1 n2 n3 d) n3 n2r2
Положения главных плоскостей определяются из формул:
|
|
|
SН SF f f |
n2 n1 |
|
d |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n2r1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
SН SF |
f f |
n1 |
|
n2 n3 |
d |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
n2r2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Н |
d S |
Н |
S |
Н |
d 1 |
f |
|
( |
n2 |
|
n1 |
|
n1 |
|
n2 |
n3 |
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
r1 |
|
n3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
||||||||||
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)