|
|
|
|
|
|
|
. |
R |
|
− |
|
− |
xφ0(0)−···− |
xm−1 |
(m |
− |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
φ(x) |
φ(0) |
(m |
|
1)! |
φ |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определение 1.20. P |
|
, φ = −RR |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||
xm |
|
|
|
|
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и убедимся, ÷òî x 1 |
P |
|
= |
1 (проверьте!). |
|
Таким образом, |
общее решение уравнения |
||||||||||||||||||||
xm |
|
||||||||||||||||||||||||||
xmf(x) = 1 åñòü P |
|
+ C0δ(x) + · · · + Cm−1δ(m−1)(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 1.10. Уравнение (x2 −1)y(x) = 1 имеет общим решением 21 P |
1 |
|
− 21 P |
1 |
+C1δ(x− |
||||||||||||||||||||||
x− |
1 |
x+1 |
|||||||||||||||||||||||||
1) + C2δ(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4.4Формулы Сохоцкого
Вернемся к уравнению xf(x) = 1. |
Возможен ещ¼ один способ регуляризации функции |
|||||||||||||||||||
” 1 ”, связанный со смещением особенности в комплексную плоскость . |
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
φ(x) |
|
|||
Определение 1.21. Функционалы |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
ε→0 R |
|
|
dx. |
|||||||
x±i0 |
|
x±i0 |
x±iε |
|||||||||||||||||
|
|
|
определим как: |
|
|
, φ |
= lim |
|
|
|||||||||||
Утверждение 1.12. (формулы Сохоцкого) |
|
= P x iπδ(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x±i0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Z |
x ± iε |
R |
|
|
|
R |
|
x ± iε |
|
|
R |
x ± iε |
|
|
|
|||||
Z · · · |
Z |
|
|
|
Z |
|
|
|
||||||||||||
|
φ(x) |
dx = |
|
|
= |
|
φ(x) |
− φ(0) |
dx + φ(0) |
|
dx |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−R |
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
|
В первом интеграле справа можно перейти к пределу ε → 0 под знаком интеграла; результат предельного перехода в силу утверждения 1.8 совпадает с Второй интеграл справа вычисляется явно (домножением на выражение, сопряженное к знаменателю) и
равен 2i arctan Rε →0 |
iπ, что и доказывает формулы Сохоцкого. |
||||||
→ |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
Замечание 1.7. Ò.ê. функционалы P x |
|
|
|
δ-функцию (ò.å. на решение |
|||
è x±i0 отличаются на |
|||||||
однородного уравнения xf = 0), òî x |
1 |
|
= 1. |
|
|||
x±i0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
1.5ВЫБОРОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБОЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Основные (пробные) функции многих переменных - это функции, имеющие в Rn возможные непрерывные частные производные любых порядков и финитные (по âñåì направлениям). Примером такой функции, как и в одномерном случае, является
φ(~x) = |
( exp |
|
a2 a2~x 2 , |
|~x| |
< a |
|
|
0, |
|
|
|
~x |
> a |
|
|
− |
|
|
| | |
|
|
|
−| | |
|
|||
Распространение приведенных выше фактов на функционалы , определенные над пространством основных функций многих переменных , не вызывает затруднений и производится вполне аналогично. Отметим лишь некоторые особенности.
1) Обобщенные частные производные определяются как
|
∂|m| |
|
− |
1)|m| |
∂|m| |
|
∂x1m1 . . . ∂xnmn |
∂x1m1 . . . ∂xnmn |
|||||
|
|
f, φ = f, ( |
|
|
φ , |
ãäå |m| = m1 + · · · + mn.
14
2) Обобщенная функция f(A~x), ãäå A - невырожденная (det(A) 6= 0) матрица, по определению есть
(f(A~x), φ) = |
f(x), | det(A)| φ(A−1x) . |
|
|
1 |
|
В частности, δ(λ~x) = |λ1|n δ(~x) (говорят, что δ-функция в n-мерном пространстве является однородной −n-ой степени), а также δ(A~x) = δ(~x), если det(A) = ±1 (своеобразная
четность δ-функции).
3) В многомерном пространстве появляется возможность вводить распределения , сосредоточенные на многообразиях меньшей размерности . К примеру:
Определение 1.22. δ-функцией на сфере (в трехмерном пространстве) назовем следу-
R
ющий функционал: (δSa , φ) = φ(~x)ds, ãäå Sa - сфера |~x| = a.
Sa
Упражнение 1.4. Докажите, ÷òî δSa сосредоточена на сфере Sa (ò.å. supp δSa = Sa).
1.5.1Прямое произведение обобщенных функций
Как указывалось, обобщенные функции перемножать нельзя. Однако можно перемножать обобщенные функции разных переменных, при этом результатом является обобщенная функция двух переменных, называемая прямым произведением.
Наводящие соображения: для регулярных функционалов
Z Z Z Z
f(x)g(y)φ(x, y)dxdy = f(x)dx g(y)φ(x, y)dy .
Поэтому естественно принять
Определение 1.23. (прямого произведения): (f(x) g(y), φ) =. (f(x), (g(y), φ(x, y))).
Однако для того, чтобы данное определение было корректным, необходимо убедиться в том, что действие функционала g(y) на функцию φ(x, y), параметрически зависящее от x, как функция x является основной. Финитность — очевидна, т.к. при достаточно больших x φ(x, y) ≡ 0 (эта функция финитна по всем направлениям). Возможность дифференцировать (g(y), φ(x, y)) по x любое число раз вытекает из непрерывности функционала g и гладкости функции φ:
dx |
( ( ) |
( |
)) = |
x→0 |
|
x − |
|
|
|
∂x |
|
d |
g y |
, φ x, y |
|
lim |
g(y), |
φ(x + x, y) |
φ(x, y) |
= |
g(y), |
∂ |
φ(x, y) . |
|
|
|
|
|
Кроме того, необходимо проверить непрерывность функционала f(x) g(y) (линейность очевидна). Доказательство этого обстоятельства вполне аналогично доказательству непрерывности функционала, называемого сверткой обобщенных функций (см. раздел
1.6.1 ).
Пример 1.11.
(δ(x)δ(y), φ(x, y)) = (δ(x), (δ(y), φ(x, y))) = (δ(x), φ(x, 0)) = φ(0, 0) = (δ(x, y), φ(x, y)) ,
ò.å. δ(x)δ(y) = δ(x, y).
Запись (g(y), φ(x, y)) означает, что функционал g действует на φ(x, y) как на функцию y, при этом результат действия зависит от x как от параметра.
15