ДОПОЛНЕНИЯ

IФУНКЦИИ xλ+

В разделе 1.4 обсуждались функционалы P x1m , являющиеся регуляризациями целочисленных степенных особенностей. Здесь мы займемся регуляризациями особенностей несколь-

ко более общего вида, а именно, обсудим, какие функционалы отвечают функции

öèåé λ в полуплоскости Reλ > −1.

Рассмотрим теперь аналитическое продолжение этой регулярной функции в более широкую полуплоскость. Правую часть формулы (Ä 1.2) можно переписать как

В такой записи наш функционал, как функция λ, будет уже регулярен в полуплоскости

Reλ > −2, за исключением точки λ = −1, где он имеет (простой) полюс. Учитывая

∞

простую формулу −λ+11 = R xλdx, которая верна при Reλ < −1, в полосе −2 < Reλ < −1

1

мы можем также переписать формулу (Ä 1.2) â âèäå

∞

Z

xλ+, φ = xλ [φ(x) − φ(0)] dx .

0

Поступая аналогичным образом, мы можем продолжить функцию xλ+ в полосу −3 < Reλ < −2 и т.д. Формулой, осуществляющей аналитическое продолжение в полосу −n <

I

Reλ < −n + 1, будет следующая:

(n − 1)!

Очевидно, эта формула верна в полуплоскости Reλ > 0, т.е. там (xλ+, φ) = −(λxλ+−1, φ0). Поскольку как левая, так и правая части последнего равенства аналитически продолжают-

ся на всю комплексную плоскость с выколотыми точками −1, −2, ..., то, в силу единственности аналитического продолжения, равенство будет справедливо и во всей плоскости , за исключением упомянутых точек.

Замечание Д 1.1. Выше мы не специфицировали пространство основных функций , над которым определяются функционалы xλ+. Из приведенных формул ясно, что в качестве такового может быть взято пространство S.

Пример Ä 1.1. Пусть φ0 S - пробная функция, совпадающая с e−x ïðè x > 0. Ïðè Reλ >

Без обсуждения подробностей приведем формулу мероморфного продолжения этого функционала в полуплоскость Reλ > −n

II

Легко проверить, ÷òî:

Функционалы (x ± i0)λ

Напомним, что функционалы (x ± i0)λ при целых λ были введены в параграфе 1.4.4 . Нашей задачей сейчас является определение этих функционалов при произвольных ком-

плексных λ.

Рассмотрим zλ как функцию комплексной переменной z = x + iy. Очевидно zλ = eλ ln z = eλ ln |z|+iλ arg z является многозначной функцией. Фиксируя е¼ главную ветвь, −π < arg z < π, приходим к однозначной аналитической функции на плоскости с разрезом −∞ < z < 0. Нас интересуют предельные значения этой функции на вещественной оси :

Ñучетом формул (Ä 1.6) мы можем также написать (x ± i0)λ = xλ+ + e±iλπxλ−.

Âправой части этих равенств стоят уже известные нам функционалы , определенные

при всех комплексных λ, за исключением точек −1, −2, ... . Однако особенности функци-

оналов xλ+ è e±iλπxλ− в этих точках сокращаются в силу формул (Ä 1.4) è (Ä 1.5)! Таким образом, (x ± i0)λ – целые функции λ.

Пример Ä 1.2. Сосчитаем преобразование Фурье от xλ+. Прежде всего отметим, ÷òî e−εxxλ+

∞

F [xλ+] = ei π2 (λ+1) (λ + 1) lim(ξ + iε)−λ−1 = ei π2 (λ+1) (λ + 1) (ξ + i0)−λ−1 .

ε→0

II ФРАКТАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Для понимания изложенного в данном дополнении необходимо знакомство с материалом дополнений I è III.

Под ”фрактальными” операциями интегрирования и дифференцирования понимают обобщения соответствующих классических понятий , которые в каком-то смысле можно трактовать как интегрирования и дифференцирования дробных (и даже комплексных) порядков. С целью подойти к таким обобщениям, начнем с известной формулы Коши,

выражающей решение дифференциального уравнения y(n+1)(x) = φ(x) с нулевыми на- чальными данными в виде однократного интеграла

III

Будем в дальнейшем считать, ÷òî φ(x) ≡ 0 при отрицательных x, ò.å. supp φ [0, ∞).

Операторы In обладают следующим свойством, которое позволяет трактовать верхний значок как возведение в степень:

Утверждение Д 2.2. Композиция In ◦Im действует также, êàê In+m, ò.å. In (Imφ) =

Im (Inφ) = In+mφ.

Ò.ê. n! = (n + 1), то действие оператора In+1 íà φ(t) (с учетом оговорок, сделанных

функциях φ(t) (значения функционала само является функцией от x). Но было показано

действие этих функционалов на любую пробную функцию есть целая функция от λ). Таким образом, формула n + 1-кратного интегрирования (Ä 2.7) распространяется на любые комплексные значения ”n”!

Èòàê, мы пришли к следующему определению:

совпадает с обычным интегрированием. Отдельно рассмотрим ”интегрирование” порядка

λ = 0.

IV

Очевидно, так определенное дифференцирование является линейной операцией , при натуральных λ совпадающей с обычным дифференцированием, а при λ = 0 являющейся тождественным преобразованием. Отметим некоторые дополнительные свойства , которые проверяются, исходя из данных определений (мы не будем далее различать в обозначениях аргумент функции φ(x) и аргумент е¼ фрактальной производной).

Утверждение Д 2.4. 1) Вычисление Dλφ (x0) является нелокальной операцией, т.е. зависит от значений φ(x) во всех точках, а не только от значений в точках, близких к x0;

2)Åñëè φ(x) ≡ 0 ïðè x < x0, òî è Dλφ (x) ≡ 0 ïðè x < x0 (так называемый принцип причинности);

3)Dλφ(γx) = γλ Dλφ(x) (γx);

4)F [ Dλφ (x)] = (−iξ)λF [φ(x)]

Пример Ä 2.3. Фрактальное затухание

Рассмотрим ”дифференциальное” уравнение Dλy + pλy = f(x) при вещественных 0 < λ 6 1, p – постоянная. Если известно фундаментальное решение E(x), то y = E f, поэтому достаточно найти E(x).

Фундаментальное решение удовлетворяет уравнению DλE + pλE = δ(x), применив к

обеим частям которого операцию Iλ, получим E + pλIλE = (1λ) xλ+−1.

∞

Решения последнего уравнения можно искать в виде ряда E(x) = P pnλEn(x), â êîòî-

n=0

ðîì En(x) удовлетворяют рекуррентным соотношениям

Функция R(µ, λ) в (Ä 2.8) называется функцией Миттаг-Лефлера. Нетрудно видеть, что при λ = 1 R(µ, 1) = exp(−µ), и E(x) совпадает с ”классическим” фундаментальным решением. Поэтому функцию Миттаг-Лефлера можно назвать ”фрактальной экспонентой”. При λ 6= 1 функция R(µ, λ) íå выражается через элементарные функции, однако

V