1FM_Fizika
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра физики
Проверка законов динамики и закона сохранения механической энергии методом Максвелла
Методические указания к выполнению лабораторной работы для студентов всех специальностей и направлений подготовки
Новокузнецк
2012
УДК 53.07 П782
Рецензент доктор химических наук, профессор,
зам. директора по научной работе НФИ КемГУ Ф. И. Иванов
П782 Проверка законов динамики и закона сохранения механической энергии методом Максвелла : метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т ; сост. : Т.В. Ерилова, В.А. Петрунин, В. Е. Громов.
– Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2012. – 19 с.
Рассмотрен маятник Максвелла. Для проверки законов предлагается метод измерения ускорения при опускании маховика маятника. Лабораторная работа проводится по теме «Динамика поступательного и вращательного движения».
Предназначены для студентов всех специальностей и направлений подготовки, обучающихся по учебным дисциплинам «Физика» и «Концепции современного естествознания».
2
Постановка задач
Для проверки законов динамики и закона сохранения механической энергии необходимо:
1.Вычислить теоретическое ускорение опускания маховика маятника Максвелла (ат) и погрешность его представления.
2.Вычислить экспериментальное ускорение опускания маховика маятника (аэ) и погрешность его измерения.
3.Вычислить интервалы возможных значений теоретического и экспериментального ускорений.
4.Сравнить интервалы возможных значений теоретического и экспериментального ускорений на предмет их перекрытия.
Теория обработки результатов наблюдений утверждает: проверяемые законы выполняются, если интервалы возможных значений теоретического и экспериментального ускорений перекрываются.
Маятник Максвелла
Маятник Максвелла представляет собой маховик с удлиненной осью, висящей на равнодлинных нитях.
Накручивая натянутые нити на осевой стержень, мы поднимаем маховик на высоту Н1. Представленный самому себе он, вращаясь, опускается вниз. По мере опускания скорость маховика возрастает. Наконец, нити полностью сматываются со стержня. Происходит рывок, в результате которого маховик начинает подниматься вверх, накручивая нити на осевой стержень. Поднимается маховик на высоту
3
Н2 < Н1. Затем все повторяется. Маятник будет совершать колебания с некоторым периодом и уменьшающейся амплитудой. При движении вниз потенциальная энергия маховика переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движений. При движении вверх происходит обратное превращение. Уменьшение амплитуды колебаний связано с переходом механической энергии во внутреннюю через работу сил трения и сопротивления (нагрев нитей, маховика, воздуха).
Теоретическая часть
Опишем систему, включающую Землю, маховик и нити. Описываемый процесс – опускание маховика при раскручивании нитей.
Система отсчета, связанная с Землей, считается инерциальной. В определенных границах законы динамики можно использовать в форме
где движений;
F =
r |
|
F |
r |
M |
|
|
|
a |
= |
|
; |
β = |
|
, |
(1) |
m |
I |
||||||
а и β – ускорения поступательного и вращательного
F и Mr – результирующие сила и момент сил;
m и I – масса и момент инерции маховика.
∑Fri ; M = ∑Mri ; m = ∑mi ; I = ∑I i .
По определению момент силы – векторное произведение радиуса вектора и силы:
Mi =[ri Fi ].
По определению линейная скорость V – векторное произведение угловой скорости ω и радиуса вектора r : V = [ω r].
4
На маховик действуют Земля и нити. Силы и момент сил показаны на рисунке 3.
Рисунок 3 – Силы и момент сил, действующих на маховик при опускании
Считаем силы нерастяжимыми. При повороте маховика на угол
2π центр массы маховика опускается на 2r.
В проекциях на вертикальное направление и ось вращения имеем:
a = |
mg −2F |
; |
|
β = |
2F r |
|
|
(3) |
||||||
|
m |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|||
и, учитывая, что a = β r , получаем формулу для вычисления |
||||||||||||||
теоретического ускорения : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ma = mg − |
aI |
|
|
|
a = |
|
|
mgr 2 |
|
|||||
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
r 2 |
|
|
|
mr 2 + I |
|
|||||||||
|
а ≡ a |
= |
|
|
g |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
T |
|
1 + |
|
. |
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m r2 |
|
|
|
|
|
||||
g, m, r и I – параметры системы. Если параметры не меняются , то ускорение a = const . Тогда при опускании маховика на H за
5
время t получаем формулу для вычисления экспериментального ускорения :
аэ |
= |
2Н |
|
|
|
t2 , |
(5) |
||||
|
|
||||
где H и t – параметры процесса.
Механическая энергия системы – энергия взаимодействия макроскопических частей системы (потенциальная энергия) и энергия их движений (кинетическая энергия).
Закон сохранения механической энергии системы утверждает сохранение энергии при определенных условиях. Если суммарная работа внешних сил и внутренних неконсервативных равна нулю, то механическая энергия системы сохраняется.
По причине всеобщего непрерывного взаимодействия возможна лишь приближенная реализация закона. Если пренебречь внешними взаимодействиями и работой внутренних сил типа трения, то для описываемой системы в описываемом процессе начальная потенциальная энергия маховика должна равняться его конечной кинетической:
mgH = |
mV |
2 |
+ |
Iω |
2 |
. |
(6) |
|||
2 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поступательное и вращательное движение связаны, |
связаны и |
|||||||||
угловая и линейная скорости |
ω = |
V |
|
, тогда |
|
|
|
|||
r |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgH = |
1 |
mV |
2 |
(1 + |
I |
) . |
|
|||||||
|
2 |
|
mr 2 |
|
||||||||||
При a = const , Н = |
аt2 |
, |
V = at имеем |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
||
|
а ≡ a |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
T |
|
1 + |
|
. |
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
m r2 |
|
|
|
||||
Ранее формула для теоретического ускорения была выведена из законов динамики (формула 4).
6
Таким образом, для проверки законов динамики и закона сохранения энергии мы имеем один и тот же критерий.
a |
= |
mgr2 |
= |
|
g |
|
||
|
|
I |
|
|
|
|||
T |
|
mr2 + I |
1 + |
. |
(8) |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
m r2 |
|
||
Масса маховика складывается из масс оси, диска и кольца: |
|
|||||||
m = mо +md +mк . |
|
|
|
|
|
(9) |
||
Момент инерции системы по определению зависит от массы и её распределения около оси вращения:
m
I = ∫r2dm .
0
Момент инерции маховика складывается из моментов инерции осевого стержня, диска и кольца:
|
|
|
I = Iо + Id + Iк ; |
|
|
(10) |
||||
I = |
m r2 |
+ |
m R2 |
+ |
m (R 2 |
+ R |
2 ) |
|
|
|
о |
d |
к |
1 |
2 |
, |
(11) |
||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||
где mо, r – масса и радиус осевого стержня; md , R – масса и радиус диска;
mк , R1 , R2 – масса, внешний и внутренний радиусы кольца.
Экспериментальная часть
Правила техники безопасности
К работе на установке допускаются лица, ознакомленные с ее устройством, принципом действия и правилами техники безопасности.
Для обеспечения нормальной работы установки и предотвращения выхода из строя фотодатчика подключение установки к секундомеру производить строго в соответствии с описанием. Для предотвращения опрокидывания установки необходимо располагать ее только на горизонтальной поверхности.
7
Экспериментальная установка
На рисунке 1 приведены фотографии общего вида лабораторной установки, а на рисунке 2 – схема основных узлов.
а |
б |
Рисунок 1 – Внешний вид установки (а) и фиксация маховика электромагнитом в верхней точке до опускания (б)
Установка состоит из основания (1), вертикальной стойки (2), верхнего кронштейна (3), кронштейна (4) для установки фотодатчика, фотодатчика (5), диска (6) с осью, подвешенной на двух нитях (7), комплекта* из трех сменных колец с различными моментами инерции. Маховик в данной установке представляет собой алюминиевый диск с осью (двумя полуосями) и со сменными кольцами из магнитного материала. Сменные кольца имеют разрез для нити при креплении на диске.
Основание (1) снабжено тремя регулируемыми опорами (8) и винтом – барашком (9) для фиксации вертикальной стойки (2). Вертикальная стойка (2) выполнена из металлической трубы, на которую нанесена миллиметровая шкала, и имеет визир (12). На верхнем кронштейне (3) размещаются электромагниты (10) и узел (11) регулировки исходного положения маятника. Диск с кольцом удерживается в верхнем положении с помощью одного из контактов электромагнита. Для измерения времени движения используется электронный секундомер.
* По указанию преподавателя в работе можно использовать как все три кольца, так и одно или два.
8
а б Рисунок 2 – Схема установки: вид сбоку (а), вид прямо (б)
Подготовка установки к работе
•Установить нижний кронштейн с фотодатчиком в крайнее нижнее положение шкалы так, чтобы плоскость кронштейна, окрашенная в синий цвет, совпала с одной из рисок шкалы.
•Произвести регулировку положения основания при помощи регулировочных опор так, чтобы диск на бифилярном подвесе находился в центре фотодатчика.
•Установить с помощью узла регулировки (11) необходимую длину бифилярного подвеса таким образом, чтобы нижний край
среза сменного кольца маятника находился на 4 – 5 мм ниже оптической оси фотодатчика, при этом ось маятника должна занимать горизонтальное положение.
Подключить фотодатчик и электромагниты установки к секундомеру электронному (далее – секундомеру) при помощи кабеля.
9
Параметры элементов маховика
Изготовитель установки с доверительной вероятностью 0,95
гарантирует : |
|
|
mо = (19 ± 1)10–3 кг; |
ro = (4,2 ± 1)10–3 м. |
|
md = (100 ± 1)10–3 кг; |
R = (45 ± 1)10–3 м. |
|
mК1 = (168 ± 1)10–3 кг; |
mК2 = (262 ± 1)10–3 кг; mК3 = (351 ± 1)10–3 кг |
|
R1 = (52 |
± 1)10–3 м; R2 = (45 ± 1)10–3 м. |
|
g = (9,81 ± 0,01) мс–2. |
|
∆H =0,01 м. |
Вывод формул для вычисления погрешностей
1. Алгоритмы теории обработки результатов наблюдений :
Если Y =Y ( X1, X 2 ,........X n ) , то абсолютная погрешность
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆Y = ∑( d (Y ) ∆Χj )2 |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j =1 dX j |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Погрешность теоретического ускорения : |
|
|
|
|
|
|||||||||||
aT = |
|
|
g |
|
I |
|
>>1 и |
a = |
mgr |
2 |
|
|
|
|
||
|
I |
; |
|
|
|
I . |
|
|
|
|||||||
1 + |
mr 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
m r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆a = ( |
gr2 |
mr2 |
|
∆g)2 +( |
2mgr |
∆r) |
|
+( |
mgr2 |
∆I )2 |
||||||
I |
∆m)2 +( |
I |
|
I |
|
2 |
I 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
3. Погрешности параметров маховика :
m = mо +md +mк ,
∆m = 
(∆mо)2 +(∆md )2 +(∆mк)2 ;
10