А.Н. Соловицкий Обработка равноточных и неравноточных измерений
.pdfМинистерство образования Российской Федерации Государственное учреждение
Кузбасский государственный технический университет
Кафедра маркшейдерского дела и геодезии
ОБРАБОТКА РАВНОТОЧНЫХ И НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Методические указания для лабораторных работ по курсу «Математическая обработка результатов геодезических измерений» для студентов специальности 311100 – «Городской кадастр»
Составитель А. Н. Соловицкий
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 44 от 16.05. 2001
Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 311100
Протокол № 13 от 11.05. 2001
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ
Кемерово 2002
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
ОБРАБОТКА РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Цель работы: Освоить методику обработки рядов равноточных геодезических измерений.
Порядок выполнения работы:
1. Выполнить обработку ряда равноточных угловых наблюдений согласно заданному варианту (табл.1).
Рабочие формулы:
εi = xi -xо, |
(1) |
где xi– значение измеренного угла; |
xо– приближенное (наи- |
меньшее) значение измеренного угла; εi– разница между каждым измеренным значением угла и приближенным.
|
xоср = xо+ Σεi / ν , |
(2) |
где |
xоср – среднее приближенное значение измеренного угла; |
|
ν – число приемов. |
|
|
|
xср = Σxi/ ν , |
(3) |
|
∆о=xоср– xср , |
(4) |
где |
∆о – ошибка округления (должна быть равна нулю). |
|
|
Vоi=xi– xоср , |
(5) |
где |
Vоi– отклонение от среднего приближённого значения угла. |
|
|
Контроли вычислений: |
|
|
ΣVоi= –∆оn , |
(6) |
|
Σ Vоi=Σεi2 – ( Σεi)2/n , |
(7) |
|
Vi=xi– xср , |
(8) |
где |
m=( ΣVi2/(n–1)) 0 / 5 , |
(9) |
m – среднеквадратическая погрешность одного наблюдения |
(формула Бесселя).
|
|
|
|
µ =m/ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
||
где µ – средняя квадратическая погрешность из n приёмов. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
υср=Σ[V]i/n , |
|
|
|
|
|
|
(11) |
|
|||||
где |
υср– средняя погрешность. |
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Исходные данные |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
Угол в отдельном приеме |
|
|
|
|
|||||||
|
Приём |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
||
|
1 |
|
2° 10' |
36 |
39 |
|
19 |
28 |
32 |
28 |
42 |
53 |
17 |
33 |
10 |
22 |
|
|
2 |
|
12 20 |
49 |
41 |
|
36 |
29 |
33 |
26 |
24 |
30 |
28 |
35 |
33 |
40 |
|
|
3 |
|
22 30 |
15 |
21 |
|
17 |
23 |
28 |
35 |
41 |
37 |
41 |
39 |
31 |
25 |
|
|
4 |
|
32 40 |
22 |
30 |
|
38 |
35 |
38 |
31 |
25 |
29 |
37 |
30 |
30 |
35 |
|
|
5 |
|
42 50 |
55 |
50 |
|
52 |
46 |
44 |
44 |
40 |
48 |
55 |
50 |
43 |
41 |
|
|
6 |
|
52 00 |
49 |
51 |
|
43 |
40 |
38 |
31 |
35 |
38 |
34 |
39 |
42 |
44 |
|
|
7 |
|
62 10 |
29 |
22 |
|
25 |
31 |
35 |
25 |
27 |
22 |
20 |
15 |
23 |
20 |
|
|
8 |
|
72 20 |
05 |
12 |
|
10 |
08 |
11 |
19 |
12 |
20 |
22 |
16 |
13 |
11 |
|
|
9 |
|
82 30 |
47 |
44 |
|
51 |
50 |
45 |
41 |
47 |
42 |
44 |
52 |
50 |
49 |
|
|
10 |
|
92 40 |
20 |
24 |
|
26 |
21 |
23 |
25 |
30 |
35 |
32 |
30 |
35 |
29 |
|
|
11 |
|
102 50 |
35 |
32 |
|
30 |
35 |
40 |
41 |
42 |
40 |
45 |
48 |
40 |
35 |
|
|
12 |
|
112 00 |
21 |
28 |
|
22 |
18 |
15 |
22 |
20 |
15 |
19 |
23 |
25 |
26 |
|
|
13 |
|
122 10 |
41 |
49 |
|
55 |
51 |
48 |
45 |
49 |
52 |
50 |
51 |
48 |
44 |
|
|
14 |
|
132 20 |
10 |
05 |
|
08 |
12 |
15 |
09 |
11 |
13 |
20 |
12 |
14 |
20 |
|
|
15 |
|
142 30 |
35 |
30 |
|
31 |
32 |
32 |
38 |
42 |
35 |
31 |
39 |
45 |
41 |
|
|
16 |
|
152 40 |
35 |
39 |
|
31 |
28 |
22 |
25 |
30 |
36 |
32 |
40 |
42 |
35 |
|
|
17 |
|
162 50 |
25 |
21 |
|
28 |
35 |
41 |
46 |
40 |
33 |
28 |
25 |
22 |
29 |
|
|
18 |
|
172 00 |
21 |
18 |
|
15 |
11 |
12 |
14 |
13 |
18 |
25 |
22 |
14 |
10 |
|
|
19 |
|
182 10 |
11 |
13 |
|
10 |
18 |
25 |
22 |
24 |
20 |
15 |
20 |
14 |
21 |
|
|
20 |
|
192 20 |
45 |
40 |
|
35 |
38 |
32 |
35 |
40 |
39 |
32 |
28 |
25 |
30 |
|
|
21 |
|
202 30 |
31 |
25 |
|
22 |
29 |
34 |
36 |
31 |
26 |
24 |
23 |
19 |
25 |
|
|
22 |
|
212 40 |
15 |
12 |
|
15 |
14 |
21 |
26 |
23 |
20 |
16 |
18 |
21 |
24 |
|
|
23 |
|
222 50 |
26 |
20 |
|
13 |
17 |
25 |
29 |
27 |
25 |
20 |
16 |
22 |
18 |
|
|
24 |
|
232 00 |
51 |
56 |
|
44 |
40 |
48 |
51 |
49 |
53 |
52 |
50 |
55 |
48 |
|
|
25 |
|
242 10 |
19 |
25 |
|
31 |
25 |
20 |
15 |
19 |
22 |
25 |
28 |
32 |
25 |
|
2. Контрольный пример вычислений на калькуляторе (табл.2) для варианта 1.
Таблица 2
Обработка ряда равноточных угловых наблюдений
№ |
|
β |
εi |
εi2 |
νi0 |
(νi0) 2 |
νi |
νi2 |
1 |
2°10'36" |
26 |
676 |
6.1 |
37.21 |
6.1 |
37.21 |
|
2 |
2 |
10 39 |
29 |
841 |
9.1 |
82.81 |
9.1 |
82.81 |
3 |
2 |
10 19 |
09 |
81 |
-10.9 |
118.81 |
-10.9 |
118.81 |
4 |
2 |
10 28 |
18 |
324 |
-1.9 |
3.61 |
-1.9 |
3.61 |
5 |
2 |
10 32 |
22 |
484 |
2.1 |
4.41 |
2.1 |
4.41 |
6 |
2 |
10 28 |
18 |
324 |
-1.9 |
3.61 |
-1.9 |
3.61 |
7 |
2 |
10 42 |
32 |
1024 |
12.1 |
146.41 |
12.1 |
146.41 |
8 |
2 |
10 53 |
43 |
1849 |
23.1 |
533.61 |
23.1 |
533.61 |
9 |
2 |
10 17 |
07 |
49 |
-12.9 |
166.41 |
-12.9 |
166.41 |
10 |
2 |
10 33 |
23 |
529 |
3.1 |
9.61 |
3.1 |
9.61 |
11 |
2 |
10 10 |
0 |
0 |
-19.9 |
396.01 |
-19.9 |
396.01 |
12 |
2 |
10 22 |
12 |
144 |
-7.9 |
62.41 |
-7.9 |
62.41 |
Σ |
|
|
239 |
6325 |
0.2 |
|
0.2 |
1564.92 |
По полученным в табл. 2 значениям вычисляем приближенное среднее и среднее значения угла по формулам (2) и (3):
xоср = 10 + 239/12 = 29.9, xср = 359/12 = 29.9.
Затем оцениваем ошибку округления
∆о=29.9 – 29.9 = 0
и контроль округления
0= 0,
а также сравниваем
1564.92 = 1564.92.
Вычисляем среднеквадратическую погрешность одного наблюдения
m=(1564.92/11)0.5 = 11.9,
среднюю квадратическую погрешность µ
µ =11.9/3.5=3.4
вероятную погрешность r =0.67 m=0,67*11.9=8.0
среднюю погрешность
υср=95.2/12=7.9
Вычисления упрощаются при использовании ПВЭМ. Для этого открыть Microsoft Excel . Использование электронных таблиц для вычислений предлагается каждому студенту разработать самостоятельно. В табл. 3 приведен один из вариантов применения данных таблиц. Отличительной особенностью проводимых вычислений является отсутствие дополнительного контроля, характерного для ручного счёта.
Таблица 3 Примерный порядок обработки ряда равноточных угловых на-
блюдений с помощью электронных таблиц Excel
Номера ячеек |
Действия и формулы |
А1-А12 |
Ввод градусов углов |
В1-В12 |
Ввод минут углов |
С1-С12 |
Ввод секунд углов |
С13 |
∑(С1:С12) |
С14 |
=С13/12 |
Д1 |
=С1-С14 |
Е1 |
=Д1*Д1 |
Д13 |
∑(Д1:Д12) |
Е13 |
∑(Е1:Е13) |
Вячейках Д2-Д12 и Е2 –Е12 вычисления аналогичны Д1 и Е1.
3.Для заданного уровня значимости α= 1-Р (Р - доверительная вероятность) по числу степеней свободы r=n-1 установить доверительный интервал, используя таблицу прил. 1.
|
|
хср-tmср≤Хpхср+tm. |
(12) |
|
|
4. Оценка точности ряда двойных равноточных измерений |
|
||
Рабочие формулы: |
пр = Sтпр(т) + 1.002 N , |
|
||
|
|
Si |
(13) |
|
|
|
Si |
обр=Sтобр (т)+ 1.001 N , |
(14) |
где Si |
пр – искомая длина линии измеренная в прямом направлении; |
|||
Si |
пр(т)– длина линии измеренная в прямом направлении из табл.3; |
|||
Si |
обр – искомая длина линии измеренная в обратном направлении; Si |
обр(т) – длина линии, измеренная в обратном направлении из табл.4; N – номер варианта.
m∆ = (S (d2)/2n ) 0 / 5 , (15)
где m∆ –средняя квадратическая погрешность одного измерения; d – разность между Sпр и Sобр.
Таблица 4 Результаты линейных измерений
|
|
|
№ |
Sпр(т) |
Sобр(т) |
1 |
245.61 |
245.51 |
2 |
301.01 |
300.88 |
3 |
204.05 |
203.94 |
4 |
275.21 |
275.11 |
5 |
226.01 |
225.94 |
6 |
235.51 |
235.41 |
7 |
205.91 |
206.03 |
8 |
305.18 |
305.30 |
9 |
286.09 |
286.14 |
10 |
207.33 |
207.22 |
11 |
205.24 |
205.19 |
12 |
176.01 |
176.04 |
13 |
183.19 |
183.24 |
14 |
254.25 |
254.13 |
15 |
249.56 |
249.61 |
16 |
194.56 |
194.47 |
17 |
263.24 |
263.37 |
18 |
281.12 |
281.07 |
19 |
272.64 |
272.49 |
20 |
256.31 |
256.42 |
21 |
262.14 |
261.59 |
22 |
224.34 |
224.43 |
23 |
236.12 |
236.21 |
24 |
244.19 |
244.08 |
25 |
315.14 |
314.98 |
Пример оценки точности для ряда двойных равноточных линейных измерений приведён в табл. 5.
Таблица 5 Оценка точности ряда двойных равноточных измерений
№ |
Sпр |
Sобр |
Sср |
d |
d2 |
1 |
146.612 |
146.511 |
146.561 |
0.101 |
0.010 |
2 |
202.012 |
202.131 |
202.071 |
-0.119 |
0.014 |
3 |
105.052 |
104.961 |
105.007 |
-0.909 |
0.826 |
4 |
176.212 |
176.311 |
176.262 |
0.099 |
0.009 |
5 |
127.012 |
126.941 |
126.976 |
0.929 |
0.863 |
6 |
136.512 |
136.411 |
136.462 |
0.101 |
0.010 |
7 |
106.912 |
107.031 |
106.971 |
0.881 |
0.776 |
8 |
206.182 |
206.301 |
206.242 |
-0.119 |
0.014 |
9 |
187.002 |
187.141 |
187.117 |
-0.049 |
0.002 |
10 |
108.332 |
108.221 |
108.276 |
0.111 |
0.012 |
11 |
106.242 |
106.191 |
106.217 |
0.051 |
0.003 |
12 |
77.012 |
77.041 |
77.27 |
0.029 |
0.001 |
13 |
84.192 |
84.241 |
84.217 |
-0.049 |
0.002 |
14 |
155.252 |
155.131 |
155.192 |
0.121 |
0.015 |
15 |
150.562 |
150.611 |
150.587 |
-0.049 |
0.002 |
16 |
95.562 |
95.471 |
95.517 |
0.091 |
0.008 |
17 |
164.242 |
164.371 |
164.306 |
-0.129 |
0.017 |
18 |
182.122 |
182.071 |
182.096 |
0.051 |
0.003 |
19 |
173.642 |
173.491 |
173.566 |
0.151 |
0.023 |
20 |
157.312 |
157.421 |
157.366 |
-0.109 |
0.012 |
21 |
163.142 |
163.591 |
163.367 |
-0.449 |
0.202 |
22 |
125.342 |
125.431 |
125.387 |
-0.089 |
0.008 |
23 |
137.122 |
137.211 |
137.166 |
-0.089 |
0.008 |
24 |
145.192 |
145.081 |
145.137 |
-0.111 |
0.012 |
25 |
216.142 |
216.981 |
216.562 |
-0.839 |
0.704 |
S |
|
|
3635.898 |
|
3.646 |
m∆=0.854
Для вычислений значений в табл.5 используем Microsoft Excel. Вычисление значений каждой ячейки выполняется студентами самостоятельно.
Контрольные вопросы
1.Как классифицируются погрешности геодезических измерений?
2.Охарактеризовать случайные погрешности геодезических измерений.
3.Охарактеризовать систематические погрешности геодезических измерений.
4.Охарактеризовать грубые погрешности геодезических измерений.
5. Общая характеристика погрешностей угловых наблюдений.
6.Инструментальные погрешности при угловых наблюдениях.
7.Влияние погрешностей внешней среды при угловых наблюдениях.
8.Погрешности центрирования при угловых наблюдениях.
9.Общая характеристика погрешностей линейных измерений.
10.Приборные погрешности при линейных измерениях.
11.Погрешности влияния внешней среды при линейных измерениях.
12.Погрешности центрирования при линейных измерениях.
13.Общая характеристика погрешностей геометрического нивелирования.
14.Инструментальные погрешности при геометрическом нивелировании.
15.Погрешности влияния внешней среды при геометрическом нивелировании.
16.Личные погрешности при геометрическом нивелировании.
17.Общая характеристика погрешностей тригонометрического нивелирования.
18.Средняя квадратическая погрешность определения положения пункта при проложении вытянутого хода полигонометрии. 19.Средняя квадратическая погрешность определения положения пункта при проложении изогнутого хода полигонометрии. 20.Средняя квадратическая погрешность определения отметки репера при проложении нивелирного хода.
21.Определить погрешность округления при суммировании слагаемых.
22.Определить погрешность округления при умножении.
23.Определить погрешность округления при делении.
24.Определить погрешность округления при возведении в степень.
25.Определить погрешность округления при извлечении корня.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
ОБРАБОТКА НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Цель работы: Освоить методику обработки неравноточных измерений
Порядок выполнения работы
1.По результатам угловых наблюдений (табл.1) вычислить средневесовое значение угла и среднеквадратическую погрешность единицы веса. Веса углов заданы пропорционально количеству приемов и последовательно равны 2,3 и 4.
Рабочие формулы:
Р= µ 2/m2, (16)
где Р – вес; µ – некоторая постоянная величина (средняя квадратическая погрешность единицы веса); m – среднеквадратическая погрешность.
Х ' =∑Рixi /∑Рi , |
(17) |
где Х '– средневесовое значение измеренной величины; хi – неравноточные измерения какой-либо величины.
Vi= xi – Х’ , |
(18) |
где Vi– отклонение от среднего для каждого измеренного угла.
µ=( ΣPiVi/(n–1))0.5 , |
(19) |
где µ – среднеквадратическая погрешность единицы веса; n – количество измерений. Пример обработки приведен в табл.6 . Для вычислений значений в табл. 6 используем Microsoft Excel.
2. Вычислить средневесовое значение дирекционного угла узлового направления из трех теодолитных ходов (Прил. 2 рис.1 и 2) по заданному варианту. Исходные данные приведены в табл. 7.
Рабочие формулы:
α0ср=∑Рiαi / ∑Рi , (20)
где α0ср– средневесовое значение дирекционного угла; Рi – веса (количество углов в ходе); αi – дирекционные углы.
Таблица 6 Обработка ряда неравноточных угловых наблюдений
№ |
|
β |
Р |
Рβ |
Vi2 |
РVi2 |
1 |
12°20'49" |
2 |
98 |
349.69 |
699.38 |
|
2 |
12 |
20 28 |
2 |
56 |
5.29 |
10.58 |
3 |
12 |
20 20 |
3 |
60 |
106.09 |
318.27 |
4 |
12 |
20 53 |
2 |
106 |
515.29 |
1030.58 |
5 |
12 |
20 42 |
2 |
84 |
136.89 |
273.78 |
6 |
12 |
20 33 |
3 |
99 |
7.29 |
21.87 |
7 |
12 |
20 17 |
2 |
34 |
176.89 |
353.78 |
8 |
12 |
20 25 |
2 |
50 |
28.09 |
56.18 |
9 |
12 |
20 10 |
3 |
30 |
412.09 |
1236.27 |
10 |
12 |
20 40 |
2 |
80 |
94.09 |
188.18 |
11 |
12 |
20 15 |
2 |
30 |
234.09 |
468.18 |
12 |
12 |
20 32 |
3 |
96 |
2.89 |
8.67 |
Σ |
|
364 |
28 |
823 |
2068.68 |
4665.72 |
Х' =∑Рixi /∑Рi =823/28=29"
Х'=12°20'29"
m=( ΣPiVi/(n–1))0.5=(4665.72/11)0/5=20.6
Таблица 7
Дирекционные углы твердых направлений
Вариант |
|
|
α |
α |
α |
|
Овражки |
Ямки |
Завод–Дашков |
||
|
|
–Рубакино |
–Луконино |
|
|
1 |
135° 00' 00” |
37°59'50” |
225°02'38” |
||
2 |
137 |
02 |
02 |
40 01 52 |
227 04 40 |
3 |
140 |
05 |
05 |
43 04 55 |
230 07 43 |
4 |
141 |
06 |
06 |
44 05 56 |
231 08 44 |
5 |
142 |
07 |
07 |
45 06 57 |
232 09 45 |
6 |
144 |
09 |
09 |
47 08 59 |
234 11 47 |
7 |
146 |
11 |
11 |
49 11 01 |
236 13 49 |
8 |
147 |
12 |
12 |
50 12 02 |
237 14 50 |
9 |
149 |
14 |
14 |
52 14 04 |
239 16 52 |
10 |
152 |
17 |
17 |
55 17 07 |
242 19 55 |