3.Общие прaвилa преобрaзовaний.

Здесь формулируются правила дифференцильного исчисления для функций нескольких переменных‚ которые используются при выводе соотношений между термодинамическими величинами. В номерах формул‚ выражающих правила‚ опущено указание на номер главы‚ чтобы упростить ссылки на них в гл. 4. Для большей наглядности в правилах использованы не обезличенные обозначения переменных x,y,...‚ а произвольно выбранные примеры термодинамических величин. Очевидна возможность расширения правил на большее число переменных.

(1). Общее выражение для полного дифференциала. Еслиp=p(V‚T)‚ то

. (1)

Это–—–определениеполного дифференциала функции‚ не предполагающее малости дифференциалов (приращений) незави-симых переменных. Обычно‚ однако‚ их молчаливо считают  достаточно  малыми‚  и  тогда  с точностью до поправок второго порядка малостиdpесть приращениеp.

Следующие два правила представляют собой тривиальное обобщение—соответствующих —правил—для—функций—одного аргумента. Переменная‚ остающаяся постоянной при всех дифференцированиях‚ как бы не существует.

(2). Производная от обратной функции.

(2)

(3). Замена независимой переменной (производная от сложной функции).Если U=U(S,V)‚ где в свою очередьS=S(T,V)‚ то

. (3)

(4). Циклическая замена переменных. —Если в (1) положить dp = 0‚ т.е. p–=–const, —то—получим—уравнение‚—связывающее

приращения переменных T иV при постоянном p.Находя отношение этих приращений‚ имеем

. (4)

Здесь в правой части использовано правило (2). Обратите внимание‚ что правила (3) и (4) кажутся очень похожими по внешнему виду‚ но существенно различны по смыслу.

Выписывая формулы типа (3) и (4)‚ удобно представить себе‚ что дифференциалы одних и тех же величин в числителе и знаменателе могут сокращаться по правилам алгебры (что в случае (4)‚ конечно‚ незаконно). При этом в (4) у каждой производной в качестве параметра указывается третья из переменных и в правой части добавляется минус.

Правило (4) можно записывать в различных эквивалентных формах‚ из которых наиболее удобна для запоминания симметричная:

. (4a)

(5). Замена параметра. Пусть независимыми переменными являютсяVиT‚ а нас интересует производная(p/V)_S. Тогда мы должны исходить из выражения (1) для полного дифференциала функцииp=p(V‚T)‚ разделить это выражение наdV и наложить условиеS = const. (что превращает отношения дифференциалов в частные производные). Это дает

. (5)

Выписывая формулу в таком виде‚ удобно рассуждать так: “Нас интересует‚ какое приращение получит р‚ когдаVменяется наdVпри постоянном S. Сначала проведем процесс при постоянномТ. Затем будем менятьТпри постоянномVи учтем‚ что изменениеТвызвано изменениемVпри постоянномS“.

6. Независимость перекрестных вторых производных от порядка дифференцирования (соотношение взаимности):

(6)

или сокращенно

. (6a)

Это правило мы приводим без доказательства.

(Для доказательства достаточно для всех входящих сюда производных подставить общее определение. Предполагается‚ что все необходимые пределы существуют.)

О применении якобианов.Как удобный набор мнемонических правил‚ заменяющих приведенные здесь правила‚ часто применяют преобразования с помощью функциональных определителей — якобианов. Вы имеете право пользоваться этим методом‚ в том числе и на экзамене‚ но только если умеете обосновывать этот метод (что‚ в сущности‚ сводится к доказательству эквивалентности правил преобразования якобианов правилам дифференциального исчисления (1—6)). С другой стороны‚ имеющиеся в задачнике [6] требования применить именно метод якобианов для вывода того или иного соотношения можно игнорировать.