- •1. Общая постановка задачи оптимизации.
- •2. Примеры задач оптимизации в проектировании эвс.
- •3. Классификация задач оптимизации.
- •4. Выбор критериев оптимизации.
- •5. Способы вычисления весовых коэффициентов, учитывающих важность частных критериев.
- •1. Математическая постановка задачи лп.
- •2. Базисное решение задачи лп.
- •3. Геометрическая интерпретация задачи лп.
- •4. Симплекс – метод решения задачи лп.
- •5. Табличная форма симплекс – метода.
- •6. Выбор исходного допустимого базисного решения.
- •1. Метод минимизации невязок.
- •2. Метод искусственного базиса.
- •7. Двойственная задача лп.
- •8. Табличная форма двойственной пары задач лп.
- •9. Двойственный симплекс – метод.
4. Симплекс – метод решения задачи лп.
Является основным методом решения задач ЛП, представленных в канонической форме записи.
Разработан в 1949 г. американским математиком Дж. Данценгом.
Идея симплекс – метода заключается в следующем.
Сначала выбирается одно из допустимых базисных решений, соответствующее некоторой вершине многогранника.
Для этого свободные переменные приравниваются к нулю и решается система уравнений, образованная ограничениями.
Если при этом некоторые из базисных переменных окажутся отрицательными, то необходимо выбрать другие свободные переменные, т. е. перейти к новому базису.
Далее для полученного допустимого базисного решения проверяется: достигнут ли здесь экстремум целевой функции.
Если экстремум не достигнут, то осуществляется переход к ближайшему допустимому
базисному решению, соответствующему соседней вершине многогранника, для которой
значение целевой функции возрастает (при поиске max) или убывает (при поискеmin).
Рассмотрим метод на примере:
при ограничениях
Если ввести дополнительные слабые переменные :
;;;;.
Перепишем задачу в следующем виде
;
Общее число переменных m+n= 5, число уравнений в системе ограниченийm= 3. Следовательно, в каждом базисном решении имеется две свободных и три базисных переменных.
Выберем в качестве свободных переменные и. Приравняем их нулю и получим базисное решение:
;;;;.
Так как все переменные неотрицательны, то это решение является допустимым базисным решением, при котором значение целевой функции.
Для полученного решения максимум целевой функции Fне достигнут, т. к. в выражении для целевой функцииобе свободные переменныеивходят с отрицательным знаком. Поэтому, увеличивая значение любой из них, можно получить большее значение целевой функцииF.
Но увеличивать значение свободной переменной можно только путем ее перевода в базисные. При этом необходимо одну из базисных переменных перевести в свободные.
Укажем способ, по которому производится выбор таких переменных.
Для перевода из свободных переменных в базисную целесообразно выбрать такую переменную, которая входит в выражение для целевой функцииFс наибольшим по абсолютной величине отрицательным коэффициентом. В данном примере это.
При возрастании свободной переменной некоторые из базисных переменных начнут уменьшаться. Так как отрицательные значения переменных недопустимы, то в качестве новой свободной переменной следует выбрать такую базисную переменную, которая раньше других принимает нулевое значение.
При увеличении дляуменьшаются значения переменныхи. Переменнаяпринимает нулевое значение при; переменнаяпри. Следовательно, свободной переменной вместодолжна стать переменная.
Общее правило выбора: для определения базисной переменной, переводимой в свободную, вычисляются отношения свободного члена уравнения к коэффициентупри свободной переменной, переводимой в базисные. При этомотрицательные отношения не учитываются. В итоге выбирается базисная переменная, входящая в уравнение с наименьшим отношением.
В частности для второго уравнения:
для третьего : - неустойчивость
для четвертого : .
Таким образом, для перехода к новому допустимому базисному решению, увеличивающему значение Fнеобходимо перевести:
- из свободных в базисные;
- из базисных в свободные переменные.
Все уравнения задачи необходимо переписать таким образом, чтобы в последнем уравнении (где присутствует ) коэффициент пристал равным единице, а в оставшихся строках – нулю.
Процедура, с помощью которой это достигается, называется сменой базиса и осуществляется следующим образом:
- уравнение, соответствующее базисной переменной, переводимой в свободные () , делится на коэффициент при свободной переменной, переводимой в базисные ();
- для каждого из оставшихся уравнений определяется коэффициент при свободной переменной, переводимой в базисные. Далее полученное на предыдущем шаге уравнение уменьшается на коэффициент (-) и складывается с каждымi– м уравнением.
Продолжим пример:
После первого шага, называемого нормировкой:
После второго шага окончательно получаем:
Приравняв нулю свободные переменные получим новое допустимое базисное решение и значение целевой функции:
;;;;;F=8.
Максимум целевой функции также не достигнут, т. к. в выражении для Fпеременнаявходит с отрицательным знаком. Поэтомуследует перевести из свободных в базисные.
Чтобы определить базисную переменную, переводимую в свободные, вычисляется отношение свободных членов уравнений к коэффициентам при (справа от уравнений). Выбирается строка с минимальным положительным отношением (). Базисная переменная из этой строки () переводится в свободные.
Выполняем схему базиса и получаем:
;;;;;F=10.
Полученное допустимое базисное решение является решением задачи, т. к. при увеличении любой свободной переменной (,) значение целевой функции может только уменьшаться. Это объясняется тем, что коэффициенты при свободных переменных в выражении дляFположительны.
Таким образом, в качестве критерия оптимальности можно рассматривать знаки коэффициентовпри свободных переменных в выражении целевой функции.
В случае задачи максимизации – это неотрицательные коэффициенты в выражении целевой функции; минимизации – неположительные.
С учетом сказанного общая схема решения задачи ЛП симплекс – методом имеет вид:
Начало
Выбор исходного
допустимого базиса
проверка
отличимости
решения
Нет Конец
Определение свободной переменной,
переводимой в базисные
Определение базисной переменной,
переводимой в свободные
Смена базиса