1. Общая постановка задачи оптимизации.

Процесс конструирования любого изделия, в том числе ЭВС, всегда включает три основных этапа: 1. Определение требований, которые предъявляются к разрабатываемому устройству, то есть формируется цель, к которой затем стремится конструктор при разработке.

2. Определение существующих ограничений на параметры и характеристики изделия, например по стоимости, элементной базе, потребляемой мощности и т. п.

3. Выбор конкретного варианта конструкции из возможных с учетом сформированной цели и ограничений.

При решении задачи третьего этапа обычно конструктор сталкивается с необходимостью решения определенной задачи оптимизации, которая заключается в выборе (или поиске) наилучшего технического решения по сравнению с другими вариантами по некоторому критерию качества.

1. Будем считать, что любой вариант технического решения определяется некоторым набором числовых параметров, то есть вектором . При этом параметры конструкции не могут быть выбраны произвольно, а принадлежат некоторому числовому множеству, где- мерное евклидово пространство.

2. Множество Х определяется ограничениями на параметры конструкции и называется множеством допустимых решений.

Множество Х в общем случае ограничивается в виде систем уравнений

,

либо неравенствами

где n- число параметров,m, - число ограничений.

При этом система уравнений устанавливает количественную связь между параметрами изделия, а система неравенств показывает, что последние могут изменяться в заданных пределах.

3. Каждый вариант решения можно охарактеризовать некоторым показателем качества, по которому производится сравнение вариантов. Иначе говоря, на множестве решенийзадается некоторая функция, называемая критерием оптимальности, критерием качества или целевой функцией. Целевая функция количественно показывает степень выполнения требований, предъявляемых к конструкции.

4. С учетом вверенных понятий задача оптимизации формируется следующим образом. Необходимо выбрать конкретный вариант технического решения, описываемый некоторым вектором , для которого обеспечивается экстремум целевой функцииf().

Формально требуется найти вектор , для которого,или,в зависимости от конкретной задачи.

Замечание:

При этом следует учитывать, что целевая функция должна быть скалярной (а не векторной), т. е. оптимизировать можно только по одному критерию качества, а не по нескольким одновременно. Область допустимых решений Х задается системой уравнений или неравенств указанного вида.

Замечание 2:

Задачу максимизации функции f() всегда можно заменить минимизацией функции.

2. Примеры задач оптимизации в проектировании эвс.

Пример 1. Определение параметров технологического процесса.

Прочность соединений при пайке волной припоя зависит от четырех параметров:

- температура припоя;

- скорость движения печатной платы относительно припоя;

- угол наклона печатной платы относительно припоя;

- высота волны припоя (скорость фонтанирования).

На основе экспериментальных исследований технического процесса получена зависимость необходимой выходной характеристики технического процесса от указанных параметров. Она выражается следующей функцией:

, где,,- некоторые коэффициенты, являющиеся постоянными величинами.

Требуется определить оптимальные значения параметров техпроцесса в области, при которых выходная характеристика у достигает экстремальное значение.

Пример 2. Определение допусков на параметры изделия (объекта).

Пусть выходные характеристики конструкции связанны с внутренними параметрами некоторыми зависимостями или.

Внутренние параметры могут изменяться в известных пределах, указанных в т3 или другой документации:, гдеj- номер параметра.

Отклонение любой выходной характеристики от номинального значения определяется как

, гдеи.

Раскрывая эту формулу в итоге можно получить , где- коэффициент влиянияj- ого параметранаi- ую выходную характеристику.

Отсюда искомый вектор определяется следующей системой неравенств:

(2),

где - предельно возможные значения выходных характеристик.

Оптимальность выбора вектора допусков может быть задана показателем качества

, (3)

где коэффициенты могут учитывать влияние соответствующих параметров на стоимость, надежность, потребляемую мощность или габариты конструкции.

Тогда, задача выбора рациональной системы допусков конструкции сводится к поиску экстремума целевой функции (3) при ограничениях (1) и (2).

Пример 3. Планирование промышленных технологий.

Промышленное предприятие может использовать для производства одного вида изделий nразличных технологий иmвидов необходимых ресурсов (материалы, заготовки, трудовые затраты, энергия, оборудование и т. п.). запас каждого вида ресурсов ограничен и составляет величину .

При использовании некоторой j- ой технологии в единицу времени расходуетсяединицу ресурсаi- ого вида и в результате производитсяизделий.

Требуется определить план производства, т. е. время использования технологии каждого вида (и количество произведенных изделий), чтобы при наличных ресурсах выпустить максимальное число изделий.

Обозначим через время, в течении которого изделия выпускаются поj- ой технологии. Выпуск изделий за это время составитштук, а израсходовано будетединицi- ого ресурса .

Общее потребление каждого j-ого ресурса всеми технологическими процессами не должно превышать величины, т. е.

.

Требуется найти

,

при ограничениях

.

Пример 4. Задача о раскрое листового материала.

Листовой материал ( металл, текстолит, гетинакс…) поступает на предприятие в виде листов стандартного размера (или нескольких размеров), из которых затем вырезают заготовки или готовые детали необходимого вида. При раскрое каждого листа все остатки идут в отходы. Имеется mразличных видов заготовок или деталей, причем всего требуетсядеталей каждого вида .

Лист материала можно раскроить одним из nвозможных вариантов. Для каждогоj-ого варианта известно: числополучаемых деталей каждогоi- ого вида и величинаотходов материала .

Требуется составить оптимальный план раскроя материала, т. е. определить сколько листов кроить по каждому варианту, чтобы получить необходимое число деталей каждого вида при минимальных суммарных отходах.

Обозначим через количество листов дляj-ого варианта раскроя. Тогда векторпредставляет некоторый план раскроя. Чтобы этот план был допустимым, необходимо получение каждойi- ой детали в количестве, не меньшем.

Тогда задачу можно сформулировать следующим образом. Определить вектор , удовлетворяющей условием:

для которого минимизируется суммарное количество отходов

.

Замечание: задача существенно усложняется, если требуется использовать целое количество листов (т. е. - целые числа) или листы могут иметь различный размер.