Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

primer_reshenia-tipovika

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

402.96 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Пример решения типового расчета

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1)найти ее решение с помощью формул Крамера;

2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

x 3y 4z 9;2x y 2z 5;6x 7 y 2z 1.

№ 2.

1; 2;0 ,

Разложить вектор d по базису трех векторов

, b

и c , если

1; 9; 5 .

b 3; 4;1 , c

2;5;1 , d

№ 3.

по векторам

. Требуется найти:

Дано разложение векторов a

и b

p и q

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах

и b ;

2) косинус угла между векторами

и b ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах

и b .

a 2 p q

, b

3 p q ,

4 ,

3 ,

p^ q

3 .

№ 4.

По координатам вершин пирамиды ABCD найти:

1)угол между ребрами AB и AD ;

2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;

3)объем пирамиды ABCD ;

4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;

5)уравнение плоскости ABC ;

6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;

7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .

A 3; 2;2 ; B 1; 3;1 ; C 2;0;4 ; D 6; 4;6 .

№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .

x 2 y z 3 0;

: 2x y 2z 6 0. : 3x y 3 0.

№ 6. Найти точку P , симметричную точке M относительно плоскости .

M 1;0;1 , : 2x 4y 3 0 .

№ 7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:

1)уравнение высоты, опущенной из вершины A ;

2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;

3)точку пересечения медиан треугольника ABC .

A 6;2 ; B 8;10 ; C 8;4 .

№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F 0;2 и прямой y 6 .

РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА 26

№ 1.

1)Запишем систему уравнений в матричном виде:

1		3	4	x	9

	2	1	2	y	5
	6 7		2		1
	6 7		2	z	1

Найдем сначала главный определитель системы:

	3	4
1	3	4
2	1	2	2 36 56 24 14 12 44 .
6	7	2

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Для нахождения решения по правилу Крамера найдем вспомогательные определители:

		9	3			4
		9	3			4
x	5		1			2		18 6 140 4 126 30 0 ;
		1	7		2
		1	9			4
		1	9			4
y		2	5			2		10 108 8 120 2 36 44 ;
		6	1		2
		1		3		9
		1		3		9
x	2			1		5	1 90 126 54 35 6 132 .
		6	7			1
Таким образом, получаем:
x		x	0			0 ;			y	y	44	1;	z	z	132	3 .
														z
				44							44				44
				44							44				44
Ответ: x 0 ;						y 1;			z 3 .

2)Решим систему матричным методом. Введем некоторые обозначения:

1		3	4		x			9

A	2	1	2	,	Х y	,	B	5	.
	6 7		2					1
	6 7		2		z			1

Так как определитель матрицы A отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу A 1 . Решение системы найдем по формуле: Х A 1B .

Таким образом, для нахождения решения нужно сначала найти матрицу, обратную матрице A . Она находится следующим образом:

				A						A				A
		1				11				12				13
A 1				A21						A22				A23 , где Aij				─ соответствующие алгебраические
A 1				A21						A22				A23 , где Aij				─ соответствующие алгебраические
					A31					A32

														A33
дополнения матрицы A .
A		1				2			2 14 12 ;											A					1				3		(7 18) 11 ;
A		1				2			2 14 12 ;											A					1				3		(7 18) 11 ;
11		7				2															23					6		7
		7				2																				6		7
A			2					2				(4 12) 16 ;								A			3				4		6 4 2 ;
A			2					2				(4 12) 16 ;								A			3				4		6 4 2 ;
12			6				2														31		1				2
			6				2																1				2
A		2				1			14 6 20 ;												A					1			4	(2 8) 10 ;
A		2				1			14 6 20 ;												A					1			4	(2 8) 10 ;
13		6					7														32					2		2
		6					7																			2		2
A			3					4				(6 28) 22 ;									A			1				3		1 6 7 ;
A			3					4				(6 28) 22 ;									A			1				3		1 6 7 ;
21				7			2														33			2				1
				7			2																	2				1
							4
A		1					4		2 24 22 ;
22		6				2
		6				2
						12								22	2
A 1				1			16							22 10		;

				44
				44			20							11	7
							20							11	7
							12							22	2		9			108 110 2													0	0
					1														1													1
A 1 B								16						22	10		5				144 110							10					44	1 .
A 1 B								16						22	10		5				144 110							10					44	1 .
				44				20						11	7				44		180 55							7				44	132
								20						11	7		1				180 55							7					132	3
	x										0

Х y			,			Х							1	, значит,			x 0 ,		y 1,			z 3 .
													3
	z												3
Ответ: x 0 ;											y 1;				z 3 .

3) Решим систему методом Гаусса. Первое уравнение системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым, а для получения третьего - умножим первое на 6 и сложим с третьим:

x 3y 4z 9;2x y 2z 5;6x 7 y 2z 1.

x 3y 4z 9;

7 y 10z 23;11y 22z 55.

x 3y 4z 9;

7 y 10z 23;y 2z 5.

x 3y 4z 9;

y 2z 5;

7 y 10z 23.

Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на 7 и сложим с третьим:

x 3y 4z 9;		x 3y 4z 9;	x 3y 4z 9;

y 2z 5;		y 2z 5;	y 1;

4z 12.		z 3.	z 3.
Ответ: x 0 ;	y 1;	z 3 .

x 0;

y 1;z 3.

№ 2.

по базису трех векторов

, то есть

Найдем разложение вектора d

, b

, где

, , - неизвестные

величины, для нахождения этих

величин составим систему уравнений:

				3 2 ; 2 4 5 ; , из условия
d	a	b	c	3 2 ; 2 4 5 ; , из условия
					3 2 1;

				2 4 5 9;

		5.
		5.

d 1; 9; 5 .

Решим систему методом Гаусса. Первое и третье уравнения системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым:

3 2 1;


	2 4 5 9;
		5.
		5.

	3 2 1;
		2 7;

	5.

3 2 1;5;

2 7.

Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на -2 и сложим с третьим:

						3 2 1;																						3 2							1;								3 2 1;													1;
									5;																						5;																		2;
									5;																						5;																		2;							2;
										3.																						3.																	3.								3.
										3.																						3.																	3.								3.

			Таким образом,
			Таким образом,																				d a					2b				3c .
Ответ:
Ответ:								d		a					2b			3c .
№ 3.

a		2 p q									, b			3 p					q					,	p			4 ,		q		3	, p^ q					3 .
																																						3 .
1) Одна из диагоналей параллелограмма равна																																									, другая ─				.

																																						a b										a b
																										,
a		b				2 p q											3p q							p		,
										4 ,
	a		b						p	4 ,

a		b				2 p q											3p			q				5 p 2q


																																		2									20							cos
																																		2
	a		b							5 p		2q									5 p				2q					5 p			2q				25 p 2									p			q			3	4q 2
																																																				3

																				1
				25 16 20 4 3																1			4 9						200 120 36									356					2				89
				25 16 20 4 3															2				4 9						200 120 36									356					2				89
																			2
																									2
Ответ:															4 ;													89 .
Ответ:									a	b					4 ;					a			b					89 .
2)																																															:
2)						Найдем косинус угла между векторами a																																				и b					:

											a	b											2 p q 3 p							q					6 p 2 5 pq q 2
cos a^ b

																																							2
														b																									2
											a			b								2 p q						3 p		q				2 p q									3 p				q
																																							6 16 5 4 3														1	9
																																							6 16 5 4 3															9
											6 p				2 5 pq									q 2																													2

																																												1												1
					4 p 2		4 pq						q 2										9 p 2			6 pq				q 2				4	16 4 4 3									1		9					9 16 6 4 3					1		9
																																		4	16 4 4 3									2		9					9 16 6 4 3				2			9
																																												2											2
									96 30 9																						135					135											45


					64 24 9											144 36 9														97			189		3			2134									2134
																								45
Ответ:									cos a^ b																		.


																								2134
3) Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах
3) Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах																																						a		и b .

S
S		a	b	2 p q		3 p q				6 p p 2 p q						3q		p q	q

															3
															3
	2 p q 3 p q						p q	p	q		sin		4	3			6	3
	2 p q 3 p q						p q	p	q		sin	3	4	3	2		6	3
Ответ: S 6												3			2

					3 .

№ 4.

1) Найдем координаты векторов AB и AD ;

AB 2; 1; 1 , AD 3; 2;4

Угол между векторами находится по формуле cos AB^ AD

AB AD 2 3 1 2 1 4 6 2 4 8 .

AB AD . AB AD

																										cos AB^ AD			8		8
	AB					4 1 1					6 ,				AD					9	4 16				29 ,				8		8	.


																												6		29	174
Ответ: cos AB^ AD																8			.									6		29	174
																8


																174
																174
2) площадь треугольника ABC вычисляется по формуле:
S		ABC				1	AB AC				,				AC 1;2;2 ,
						1

				2
				2


								i		j				k
	AB AC							2		1 1												4							,
	AB AC							2		1 1					i				2 2 j			4			1 k	4 1 5 j	5k		,
								1	2		2


					1									5	2		.
	S ABC				1			25 25						5	2
	S ABC							25 25
				2							2
Ответ: S ABC									5		2		.
Ответ: S ABC									2				.
									2
3) Найдем объем пирамиды ABCD :
			1								1						2		1		1		1	mod 30 5 .
																	2		1		1
V				AB AC AD								mod					1	2			2


		6									6						3		2		4	6
		6									6											6

Ответ: V 5 .

4) Найдем длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D :

	1				3V	3 5	30	6
V	1	S	осн h	h	3V	3 5	30	6	3 2 .
					Sосн				3 2 .

	3					5 2	5 2	2
						2

Ответ: h 32 .

5) Составим уравнение плоскости ABC :

	x 3		y 2	z 2		x 3	y 2	z 2
	x 3		y 2	z 2		x 3	y 2	z 2
	1 3	3 2		1 2	0 ,	2	1	1	0 ,
	2 3		0 2	4 2		1	2	2
x 3 2 2 y 2 4 1 z 2 4 1 0 ,
5 y 2 5 z 2 0 ,
5y 5z 0 ,
	y z 0 .
Ответ:			y z 0 .

6) Составим уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC . Так как точка D принадлежит высоте h и высота h параллельна вектору

нормали			грани		ABC , то уравнение запишется в виде:
нормали		N	грани		ABC , то уравнение запишется в виде:
N 0;1; 1		,	x 6 y 4 z 6 .

			0		1							1
Ответ:	x 6			y 4		z 6				.
Ответ:										.
		0	1				1
7) Найдем угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
															3 0 2 1		4 1
													AD N		3 0 2 1		4 1	6
AD 3; 2;4 , N 0;1; 1							,				sin AD^ N								.

																9 4 16	1 1	58
													AD	N		9 4 16	1 1	58
									6

Ответ: AD^ N arcsin												.

								58
								58

№ 5. Координаты точки пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью являются решением следующей системы уравнений:

x 2 y z 3 0;		x 2 y z 3;
	0;
2x y 2z 6	0;	2x y 2z 6;
3x y 3 0.		3x y 3.

Решим эту систему методом Крамера:

			2		1
	1		2		1
	2		1		2	0 12 2 3 2 0 9 ,
	3		1		0
		3		2	1
		3		2	1
x		6		1	2		0 12 6 3 6 0 9 ,
		3		1	0
		1		3	1
		1		3	1
y		2		6	2		0 18 6 18 6 0 0 ,
		3		3	0
		1		2	3
		1		2	3
z		2		1	6		3 36 6 9 6 12 18 ,
		3		1	3
x		x	9	1,			y	y	0	0 ,	z	z	18	2 .
												z

			9						9				9

Таким образом, точка пересечения прямой с данной плоскостью имеет координаты 1;0; 2 .

Ответ: 1;0; 2

№ 6. Найдем точку P , симметричную точке M относительно плоскости , если

M 1;0;1 , : 2x 4y 3 0 . Составим сначала параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M перпендикулярно данной плоскости. За направляющий вектор можно взять вектор с координатами 1;2;0 :

x t 1, y 2t , z 1.

Далее найдем точку пересечения полученной прямой с данной плоскостью:

2(t 1) 4 2t 3 0 , 2t 8t 2 3 0 , 10t 5 ,

t 0,5
x 0,5 ,	y 1,	z 1.

Нашли точку M 0 ( 0,5;1;1) , которая является серединой отрезка PM , поэтому

x x x0 M 2 P

1 1 xP

2 2

,	y0		yM yP			,	z0		zM zP	,

			2					2
,	1	0 yP		,	1		1 zP	,
							2
			2

xP 0 ,

yP 2 ,

zP 1 .

Ответ: P 0;2;1 .

№ 7.

1)Составим уравнение высоты hA , проходящей через точку A

перпендикулярно вектору BC 16; 6 :

16 x 6 6 y 2 0 ;

16x 6y 84 0 ,

8x 3y 42 0 .

Ответ: 8x 3y 42 0 .

2)Составим уравнение стороны BC :

	x xB				y yB					,
										,
	xC xB				yC yB
	x 8			y 10				,
	8 8			4 10				,
	8 8			4 10
	x 8		y 10				,
	16						,
	16		6
3x 8y 56 0 .
Найдем					точку					пересечения высоты hA и стороны BC , для чего решим
следующую систему уравнений:
															66
8x 3y 42 0;												8x 3y 42;	8x 3y 42;	x 6				;
8x 3y 42 0;												8x 3y 42;	8x 3y 42;	x 6		73		;
															30
3x 8y 56 0.												3x 8y 56.	3x 8y 56.		30
														y 4			.
														y 4			.
															73
				6		66			30
Ответ:								;4			.
Ответ:								;4			.
						73			73
3)		Найдем середину стороны AB :
													47

	x				xA xB										,					y			y A yB				.
1								2											1						2
								2																	2
	x 6 8 1 ,																					y			2 10			6 .
	x 6 8 1 ,																					y						6 .
1								2														1			2
								2																	2
Составим уравнение прямой проходящей через точку C 8;4 и точку 1;6 :
	x x1												y y1							,
	x		C	x									y	C		y				,
	x			x									y			y
							1									1
	x 1											y 6						,
																		,
	8 1										4 6
	x 1								y 6							,
										2						,
	9									2
2x 9y 52 0 .
Найдем середину стороны AC :
	x2					xA xC										,					y2			y A yC				.
	x2							2								,					y2							.
								2																	2
	x			6 8 7															,			y				2 4			3 .
	x	2		6 8 7															,			y							3 .
		2						2															1		2
								2																	2
Составим уравнение прямой проходящей через точку B 8;10																														и точку 7;3 :
	x x2												y y2								,
																					,
	xB x2												yB y2
	x 7									y 3							,
	8 7																,
	8 7								10 3
	x 7									y 3						,
		15										7				,
		15										7

7 x 15 y 94 0 .

Найдем точку пересечения найденных медиан:

2x 9 y 52 0;7x 15y 94 0.

2x 9 y 52;	x 2;
2x 9 y 52;
		1
7x 15y 94.	y 5		.
7x 15y 94.	y 5		.
		3

	2; 5	1
Ответ:			.
Ответ:			.
		3

№ 8. Пусть точка M x, y - точка равноудаленная от точки F 0;2 и прямой y 6 . Найдем расстояние от точки M x, y до точки F 0;2 и до прямой y 6 и приравняем их:

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.08.2019508.93 Кб7Prakticheskoe_po_SMS_6_-_Opredelenie_klassa_bet...doc
#
22.05.20151.34 Mб55PRAVILA_PB_12-529-03.rtf
#
22.05.2015765.95 Кб195pravila_ucheta_tepla.doc
#
26.09.201975.62 Кб1Pravovedenie лекции!.docx
#
13.11.201994.72 Кб2predmet_i_metod.doc
#
22.05.2015402.96 Кб8primer_reshenia-tipovika.pdf
#
22.05.2015282.62 Кб49Programma4proizv.doc
#
25.09.201933.55 Кб0Programma_uchebno-oznakomitelnoy_praktiki_dlya_...docx
#
26.04.2019260.09 Кб10Programmirovanie ответы.docx
#
26.04.2019314.27 Кб6Programmirovanie_otvety.docx
#
22.05.2015450.6 Кб3proizvod_menedzhment.pdf