Обработка эксперим данных Роганов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Роганов В. Р., Роганова С. М., Новосельцева М. Е. Учебное пособие

Пенза, 2007

УДК 519.713;519.68;519.764800.92

В. Р. Роганов, С. М. Роганова, М. Е. Новосельцева. Обработка экспериментальных данных. Учебно-методическое пособие.

Данное пособие содержит основные положения теории вероятностей и математической статистики, а также описание основных методов и идей, используемых в теоретико-вероятностных рассуждениях. Представленные методы иллюстрируются простыми примерами, что помогает в дальнейшем самостоятельно решать задания практического характера, сводя их к известной схеме.

Подробно рассмотрены вопросы, касающиеся обработки экспериментальных данных, включая алгоритмы генерации псевдослучайных последовательностей, аппроксимаций закона распределения экспериментальных данных и методики проведения экспериментальных исследований.

2

Содержание

Часть 1. Теория вероятностей и математическая статистика

Глава 1.Основные понятия и формулы теории вероятностей

§1. Пространство элементарных событий

§2. Действия над случайными событиями

§3. Алгебра событий

§4. Классическая теоретико-вероятностная модель

§5. Простейшие комбинаторные формулы

§6. Аксиоматическое построение теории вероятностей

§7. Независимые события

§8. Условная вероятность

§9. Формула полной вероятности

§10. Формула Байеса

§11. Повторение испытаний

§12. Вероятность появления события не меньше данного числа раз

§13. Распределение Пуассона

§14. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра—Лапласа

Глава 2. Случайные величины и функции распределения

§1. Случайные величины и функции распределения

§2. Дискретные и непрерывные случайные величины

§3. Векторные (или многомерные) случайные величины

§4. Независимость случайных величин

§5. Функции от случайных величин

Глава 3. Числовые характеристики случайных величин

§1. Основные определения. Моменты случайных величин

§2. Свойства математического ожидания и дисперсии

§3. Условное математическое ожидание

§4. Моменты векторных случайных величин

Глава 4. Законы больших чисел

Глава 5. Центральные предельные теоремы

§1. Характеристические функции

§2. Центральные предельные теоремы

§3. Применения центральных предельных теорем

Глава 6. Математическая статистика

§1. Основные понятия

§2. Классификация оценок

§3. Методы получения оценок

§4. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии

§5. Обработка результатов измерений

§6. Проверка статистических гипотез

Часть 2. Обработка экспериментальных данных

Глава 7. Псевдослучайные последовательности

§ 1. Понятие об алгоритмах задания случайных и псевдослучайных последовательностях

3

§ 2. Алгоритмы генерирования равномерно распределенных случайных чисел

§3. Тест для проверки датчиков псевдослучайных последовательностей

§4. Экспоненциальное распределение

§5. Нормальное распределение

§6. Другие виды числовых распределений

§7. Случайная выборка

Глава 8. Аппроксимация закона распределения экспериментальных данных

§1. Задачи аппроксимации

§2. Аппроксимация на основе типовых распределений

§3. Аппроксимация на основе специальных рядов

§4. Аппроксимация на основе универсальных семейств распределений

Глава 9. Экспериментальные исследования

§1. Методика проведения экспериментальных исследований

§2. Вычислительный эксперимент

§3. Понятие о доверительной вероятности и уровне значимости

§4. Анализ однородности результатов эксперимента

§5. Построение интервального ряда экспериментального распределения

§6. Расчет среднего значения и доверительного интервала

§7. Расчет показателей вариации экспериментального распределения

§8. Определение минимального количества измерений

§9. Проверка экспериментальных данных на воспроизводимость результатов

§10. Расчет эмпирических интегральной и дифференциальной функций распределения

§11. Физический смысл интегральной и дифференциальной функций распределения

§12. Пример статистической обработки результатов эксперимента

4

Глава 1

Основные понятия и формулы теории вероятностей

§1. Пространство элементарных событий

Вобщей теоретико-вероятностной схеме для каждого эксперимента со случайным исходом должны быть указаны все элементарные исходы, удовлетворяющие требованию: в результате эксперимента непременно происходит один и только один из этих исходов. Каждый такой исход будем называть элементарным событием и обозначать буквой ω . Очевидно, что элементарные события неразложимы на "более элементарные".

Вэксперименте, состоящем в подбрасывании монеты с закручиванием и последующей оценкой состояния — "как упала монета", элементарными событиями являются два исхода: монета упала вверх "гербом" и монета упала вверх надписью.

Вэксперименте, состоящем в бросании игральной кости (куба из однородного материала, шесть граней которого перенумерованы), элементарными событиями являются грани "1", "2", ..., "6".

При оценке приведенных экспериментов считаем, что монета не может упасть на ребро и остаться в таком положении или кость не может упасть на вершину, или одно из ребер и остаться в таком положении, хотя в принципе эти явления возможны, но, ввиду их маловероятности, пренебрежем этими случаями.

Вэксперименте, состоящем в бросании точки на отрезок [a,b] (имеется отрезок [a,b] и считается, что падающая сверху точка может упасть только на этот отрезок и не может упасть мимо отрезка), элементарным событием является точка c [a, b].

Множество всех элементарных событий в теории вероятностей принято называть пространством элементарных событий и обозначать буквой Ω .

Элементарные события называются точками пространства элементарных событий.

5

§2. Действия над случайными событиями

Втеории вероятностей для описания действий со случайными величинами используются математические обозначения, принятые в комбинаторном анализе [6]. Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей принято называть случайным событием. Случайное событие можно считать некоторым подмножеством А множества

Ωи интерпретировать как попадание элементарного события в множество А. Далее по этой причине не делается различий между случайным событием А и соответствующим подмножеством А Ω .

Вэксперименте с игральной костью можно, например, выделить следующие три случайные события: {"1", "2", "3"}, {"4", "5"} и {"6"}. В этом случае любое из элементарных событий "1", "2" или "3" влечет случайное событие {"1", "2", "3"}.

Пусть A1, A2, …, An — множества [6]. Объединением этих множеств называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые

принадлежат хотя бы одному из Ai , 1 ≤ i ≤ n и обозначается так:

n

C = A1 U...UAn = UAi . Пересечением A1, A2, …, An называется множество D,

i=1

содержащее те и только те элементы, которые принадлежат всем Ai , 1 ≤ i ≤ n

n

одновременно и обозначается так: D = A1 I...IAn = IAi = A1...An .

i=1

Дополнением множества А называется множество тех элементов, которые не принадлежат А, и обозначается так: A . Разностью множеств A и B называется множество всех элементов A, не являющихся элементами B, и обозначается так: A\B.

Эти операции над множествами позволяют определить операции над случайными событиями [6]. Пусть Aα — события при α I , где I —

заданное множество. Тогда UAα — событие, состоящее в наступлении хотя

α I

6

бы одного из событий Aα , — называется объединением (суммой) событий

Aα , α I . Событие IAα , состоящее в том, что произойдут все события

α I

Aα , α I , называется пересечением (произведением) событий. Если I = {1, 2,

..., n}, то обозначают:

n

UAα = UAi = A1 U...UAn ,

α I i=1

n

IAα = IAi = A1 I...IAn = A1...An.

αI i=1

Если I = {1, 2, ...}, то обозначают:

противоположным A, или дополнением к A и обозначается A

A = {ω A} = {ω Ω\ A}.

Наличие соответствия между событиями и множествами позволяет применять к действиям над событиями соответствующие действия над множествами. Приведем некоторые основные соотношения такого рода [6]:

1.A UA = A.

2.A IA = A.

3.A UA = Ω.

4.A IA = .

5.A UΩ = Ω.

6.A IΩ = A.

7.AU = A

8.AI =

9.Если A B, B C, то A C.

7

10.Если A B, то B = AU(B \ A)

11.A \ B = AB

12.AUB = AU(B \ A)

13.AU(BUC)= (AUB)UC

14.AI(BIC)= (AIB)IC

15.AI(BUC)= (AIB)U(AIC)

16.AU(BIC)= (AUB)I(AUC)

17.UAα = IAα

α I α I

18. IAα = UAα

представляет собой множество, входящее в множество, записанное в правой

α I

События A и B называются несовместными, если AB = . Так, события A

и A всегда несовместны.

События Aα , α I называются несовместными, если несовместны Aα и

Aα при α ≠ β, α I, β I .

§ 3. Алгебра событий

Рассмотрим произвольное пространство элементарных событий Ω = {ω}

и некоторую систему Ξ подмножеств множества Ω [2].

8

Ξназывается алгеброй, если выполняются условия:

1.Ω Ξ.

Нетрудно видеть, что в условии 2 достаточно требовать выполнения лишь одного из приведенных двух соотношений. Второе будет выполняться автоматически. Таким образом, алгебра есть класс множеств, замкнутый относительно конечного числа операций дополнения, объединения и пересечения.

Конструкция алгебры событий позволяет охарактеризовать множество всех возможных результатов любого эксперимента со случайным исходом, если Ω его элементарных исходов конечно. Например, в эксперименте с игральной костью Ω состоит из шести элементарных событий, а Ξ состоит

элементарных событий, то Ξ состоит из 2n = Con +C1n +...+Cnn событий.

На отрезке [0,1] все множества, составленные из конечного числа или интервалов, образуют алгебру.

§ 4. Классическая теоретико-вероятностная модель

Пусть Ω — конечное или бесконечное пространство элементарных событий некоторого случайного эксперимента [9]. Будем считать, что структура эксперимента такова, что на Ω можно указать n событий A1, A2, …, An , обладающих следующими свойствами.

1)События A1, A2, …, An попарно несовместны.

2)A1, A2, …, An образуют полную группу событий в том смысле, что

9

при любом исходе эксперимента хотя бы одно из них непременно происходит. Это означает, что

A1 + A2 + An =Ω.

3) События A1, A2, …, An равновероятны, или, иначе говоря, ни одно из них нельзя считать более предпочтительным, чем любое из остальных. Именно такая ситуация возникает в эксперименте с игральной костью, когда выпадения всех граней объявляются равновероятными.

В так называемой классической схеме события A1, A2, …, An , удовлетворяющие условиям 1–3, называются полной группой попарно несовместных, равновероятных событий.

Вероятность в классической схеме определяется лишь для тех исходов эксперимента, которые могут быть представлены в виде объединений некоторых из событий Ai , i = 1,...,n . Так если

и все слагаемые в (1.1) различны, то вероятность события А определяется равенством

P(A) = kn ,

в котором k равно числу слагаемых в сумме (1.1). Таково классическое определение вероятности.

Для того чтобы определение можно было считать корректным, достаточно доказать единственность разложения (1.1). Для любого события А согласно условию 2 из § 4 и соотношению 15 из § 2

A = AIΩ = AI(A1 + ... + An )= AIA1 + ... + AIAn

В рассматриваемом случае разложения (1.1) A IA j либо пусто, если j

не совпадает ни с одним из is, s = 1,...,k, либо A IA j = Ais , если j = is .

Приложениям классического определения вероятности сопутствует следующая терминология. Эксперимент называют испытанием, полную

10