Обработка эксперим данных Роганов

2.Распределение Пуассона:

= e−λ (λ2eλ +λeλ )−λ2 = λ

Таким образом, единственный параметр распределения Пуассона задает как математическое ожидание, так и дисперсию.

§2. Свойства математического ожидания и дисперсии

1)Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий

M (X +Y )= MX + MY

при условии, что МХ и M Y конечны [9].

61

Доказательство. а) (X, Y) – дискретная случайная величина. Пусть Х

ряды можно группировать в силу леммы и обратной леммы о суммировании по блокам, так как ряды по условию сходятся абсолютно.

б) (X,Y) – непрерывная случайная величина, р(х, у) – ее плотность

вероятности. Тогда плотность суммы Z=X+Y имеет вид pZ (z)= ∞∫p(x, z − x)dx .

−∞

Поэтому

интегралы можно переставить в силу их абсолютной сходимости. Свойство 1) доказано.

2) Из следствия из теоремы 1 и свойства 1) получаем свойство линейности математического ожидания:

M (c1 X + c2Y )= c1MX + c2 MY

c1, c2 — любые постоянные, если МХ и M Y конечны.

62

3)Если случайные величины Х и Y независимы, то

MXY = MX MY

при условии, что МХ и M Y конечны.

группировка рядов законна в силу их абсолютной сходимости и леммы о суммировании по блокам.

б) Плотность произведения Z=XY имеет следующий вид (с учетом того,

что p(x, y)= pX (x)pY (y) в силу независимости Х и Y):

перестановки интегралов законны в силу их абсолютной сходимости. 4) Некоторые неравенства.

а) Если X ≥ Y , то MX ≥ MY .

63

M XY ≤ MX2 MY2 ,

если величины справа конечны.

Доказательство. Имеем XY ≤1/ 2(X 2 +Y 2 ). Отсюда и из неравенства из а) следует, что если МХ2 и MY2 конечны, то конечно и M XY . Далее при любом λ

0 ≤ M (λ X + Y )2 = λ2 MX 2 + 2λM XY + MY 2

Квадратный трехчлен относительно λ неотрицателен при всех λ ,

стало быть, его дискриминант неположителен, т.е. M XY 2 − MX 2 MY 2 ≤ 0 ,

что и требовалось доказать.

в) Неравенство Чебышева. Для любого ε > 0

P(X >ε)≤ M X 2 / ε2 ,

если M Х2 конечно.

Доказательство. Введем случайную величину Y по формуле

0, если Х ≤ ε Y = ε, если Х > ε

Таким образом, Y – дискретная случайная величина, принимающая два значения: 0 с вероятностью p1 = P(X ≤ ε) и ε с вероятностью P(X > ε). Из определения Y следует, что Y2 ≤ Х2 , и в силу неравенства из а) получаем

M X 2 ≥ MY 2 =ε2 P(X >ε), что и требовалось доказать.

64

именно это неравенство обычно называют неравенством Чебышева.

То же рассуждение с использованием случайной величины Y, определенной в доказательстве неравенства Чебышева, и неравенства а)

приводит к неравенству: для любого ε > 0 P(X >ε)≤ ε1 M X , если МХ

конечно и, в частности, если случайная величина Х неотрицательна, то

P(X >ε)≤ ε1 MX

5)Дисперсия постоянной равна нулю: Dc = 0, так как

Dc = M (c −Mc)2 = M (c −c)2 = 0

Верно и обратное утверждение: если DX = 0, то с вероятностью 1 Х равна константе: Х = МХ. Действительно, в силу неравенства Чебышева при любом ε > 0 P(X − MX >ε). Поэтому на основании полной аддитивности вероятности, получим

P(X − MX > 0)= P(X − MX >1)+ P(1/ 2 < X − MX ≤1)+... +

+ P(1/ 2k < X − MX ≤1/ 2k −1 )+... = 0

и, таким образом, P{X – MX = 0} = 1.

6) Если Y = cX, то DY = c2DX , с – любая постоянная. Действительно,

DY = M (cX −McX )2 = M [c2 (X −MX )2 ]= c2 DX .

7) Дисперсия суммы конечного числа попарно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых

65

i≠k

при доказательстве мы несколько раз пользовались свойством 1), в

предпоследнем равенстве учли независимость Xi и Xk при i ≠ k и свойство

3), а последнее равенство основано на том, что M (X i − MX i )= MXi − MX i = 0 .

биномиальному закону. Найдем МХ и DX. Введем случайные величины Xk ,

равные числу успехов при k–м эксперименте в серии из n испытаний Бернулли. Если вероятность успеха при каждом испытании равна р, то Xk

66

§ 3. Условное математическое ожидание

Математическое ожидание (или среднее значение) Х по отношению к этому условному распределению называется условным математическим ожиданием. Таким образом

M (X / B)= ∞∫xdFX (x / B)

−∞

или подробно

∞

M (X / B)= ∑xk pk (B)

k=1

если Х дискретна, xk — ее значения, а pk (B)= P(X = xk / B) — соответствующие вероятности, k = 1, 2, …; и

∞

M (X / B)= ∫xp(x / B)dx

−∞

если Х непрерывна, p(x / B) — условная плотность вероятности. В частности,

если событие В состоит в том, что случайная величина Y принимает некоторое значение у, Y=y, тогда согласно формулам плотности условного распределения получим

для непрерывных случайных величин.

Очевидно, что таким образом определенные условные математические ожидания обладают всеми свойствами 1) – 4) обычных математических ожиданий, однако у них имеются и некоторые специфические свойства, связанные с возможностью применения к ним различных вариантов формулы

67

полной вероятности. Так, если имеется полная группа попарно несовместных событий Bk , k=1, 2, …, n, и FX (x / Bk ) — соответствующие условные функции распределения, то ввиду равенства

n

FX (x)= ∑FX (x / Bk )P(Bk )

k =1

получаем

n

MX = ∑P(Bk )(X / Bk )

k=1

Поскольку правая часть этого равенства имеет вид математического ожидания новой дискретной случайной величины, принимающей значения

M (X / Bk ) с вероятностями P(Bk ), то естественно записать последнее равенство в виде

MX = M (M (X / Bk ))

Точно так же получаются равенства:

MX = ∑∞ M (X / y j )q j

j=1

в дискретном случае и

MX = ∞∫M (X / y)pY (y)dy

−∞

в непрерывном.

Действительно, в первом случае умножим равенство (7) на q j и

просуммируем по всем j, получим

интеграл (8) сходятся абсолютно [9].

68

Рассмотрим теперь условные математические ожидания M (X / y j )

или M (X / y), определенные формулами (7) или (8), как функции аргумента у. Этот аргумент – значения случайной величины Y, и поэтому мы можем рассматривать M (X / y j ) или M (X / y) как новую случайную величину,

зависящую определенным образом от Y, и обозначать ее M (X / y). При таком подходе правые части равенств для условного математического ожидания означают в силу теоремы 1 математическое ожидание функции M (X / y) от случайной величины Х и, следовательно, могут быть записаны в виде

MX = M (M (X /Y ))

Эта формула и формула MX = M (M (X / Bk )) находят многочисленные применения в теории вероятностей и математической статистике.

Условное математическое ожидание M (X / y), рассматриваемое как функция Y, часто в статистике называется функцией регрессии величины Х на

Y. Если, например, M (X /Y )=α1Y +α2 , то говорят о линейной регрессии Х на

Y, а α1 и α2 называют коэффициентами регрессии.

Рассмотрим случайную величину Х, являющуюся индикатором события А:

Х – дискретная случайная величина,

Итак, МХ = Р(А) и условная вероятность M(X/Y) = P(A/Y), где P(A/Y) – условная вероятность события А при данном значении Y. Равенство

MX = M (M (X /Y )) в этом случае выглядит так: P(A) = M{P(A/Y)}.

§ 4. Моменты векторных случайных величин

Перейдем к изучению моментов многомерных случайных величин. Специфические свойства моментов векторных случайных величин связаны с зависимостью координат случайного вектора.

69

Определение 4. Математическим ожиданием вектора

X = (X1, ..., X n ) называется вектор

MX = (MX1, ..., MXn ),

составленный из математических ожиданий координат.

Дисперсией вектора X = (X1 , ..., X n ) называется вектор

DX = (DX1, ..., DX n )

составленный из дисперсий координат.

Для многомерных случайных величин справедлив аналог теоремы 1,

так что, например, если f (x1 , ..., xn ) — произвольная функция такая, что Y = f(X) – новая случайная величина, то

MY = Mf (x)= ∞∫... ∞∫ f (x1, ..., xn )p(x1, ..., xn )dx1, ..., dxn

−∞ −∞

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно (здесь p(x1, ..., xn ) —

плотность вероятности случайного вектора X = (X1 , ..., X n ). В частности,

координаты Х независимы в совокупности, то

M (X1, ..., X n )= MX1, ..., MXn

Важной характеристикой n-мерной случайной величины Х является так называемая матрица ковариаций, или дисперсионная матрица:

aij = cov X i X j ≡ M [(X i − MXi )(X j − MX j )]= MXi X j −MXi MX j

i, j = 1, … , n.

На главной диагонали в матрице ковариаций стоят дисперсии: aii = DXi; aij = a ji называется также корреляционным моментом случайных

величин Xi и X j . В силу определения дисперсионной матрицы ясно, что

если Xi и X j независимы, то aij ≡ cov XiX j = 0 . Таким образом, условие

70