exam_2k_2sem

Экзаменационное задание № 1

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования.

4семестр 2009–2010 уч. года.

1.Определение мнимой единицы.

2.Определение комплексного числа (алгебраическая форма). Обозначение множества всех комплексных чисел.

3.Геометрическое истолкование предела последовательности комплексных чисел.

4.Определение Z-преобразования.

5.Определение преобразования Лапласа функции f (t). Условия на f (t).

6.Определение преобразования Фурье функции x(t). Обратное преобразование Фурье.

7.Доказать формулу Муавра.

8.Первообразная вдоль пути. Вывести формула Ньютона – Лейбница.

9.Функция Хевисайда (t) и ее изображение. Таблица основных изображе-

ний для e t, cos t, sin t, tn, tne t, e t cos t, e t sin t.

10.Сформулировать и пояснить ход доказательства формулы Фурье.

26 мая 2010.

Экзаменационное задание № 2

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования. 4 семестр 2009–2010 уч. года.

1. Определение вычета в конечной точке, его обозначение. 2. Определение изолированной особой точки функции.

3. Определение нуля аналитической функции в конечной точке; порядок (кратность) нуля аналитической функции в конечной точке.

4. Комплексные евклидовы пространства.

5. Методы определения оригинала по заданному изображению. Формула обращения преобразования Лапласа (формула Меллина).

6. Понятие об общем ряде Фурье. Определение коэффициентов Фурье.

8.Доказать основную теорему теории вычетов.

9.Дифференцирование обобщенных функций. Производная -функции, обычной функции, непрерывно дифференцируемой всюду, кроме точки t = 0, где она имеет разрыв первого рода.

10.Вывести свойства преобразования Лапласа (дифференцирование изображения).

26 мая 2010.

Экзаменационное задание № 3

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования.

4семестр 2009–2010 уч. года.

1.Определение функций sin z, cos z, tg z и ctg z.

2.Определение тригонометрической формы комплексного числа.

3.Определение аргумента комплексного числа, его обозначение.

4.Равенство Парсеваля.

5.Методы определения оригинала по заданному изображению. Формула обращения преобразования Лапласа (формула Меллина).

6.Теорема Котельникова.

7.Почленное дифференцирование степенного ряда.

8.Показать, что любой степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

9.Вывести свойства преобразования Лапласа (дифференцирование оригинала).

10.Показать, что преобразование Фурье обладает следующим свойством:

F{e±i tx(t)} = X ( ).

26 мая 2010.

Экзаменационное задание № 4

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования.

4семестр 2009–2010 уч. года.

1.Как задается комплекснозначная функция действительного переменного?

2.Определение комплексного логарифма.

3.Определение сходимости ряда Лорана. Какое множество является областью сходимости для ряда Лорана.

4.Теорема Котельникова.

5.Начальные сведения об обобщенных функциях. Определение обобщенных функций.

6.Определение Z-преобразования.

7.Доказать формулу извлечения корня из комплексного числа.

8.Доказать теорему о существовании первообразной функции.

9.Показать, что преобразование Фурье обладает следующим свойством:

(x, y) = 21 (X ( ),Y ( )).

10.Проверьте, что коэффициенты ФурьеT -периодической функции по систе-

ме экспонент не зависят от того, раскладывается ли функция в ряд Фурье на отрезке −T2 , T2 или на любом ином отрезке вида [a, a + T ].

26 мая 2010.

Экзаменационное задание № 5

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования.

4семестр 2009–2010 уч. года.

1.Определение функции ez.

2.Разложение аналитической функции в ряд Лорана (формулировка).

3.Определение гомотопных кривых.

4.Определение Z-преобразования.

5.Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.

6.Равенство Парсеваля.

7.Теорема Коши о гомотопии.

8.Доказать теорему о существовании первообразной функции.

9.Минимальное свойство коэффициентов Фурье.

10.Вывести свойства Z-преобразования (теорема смещения).

26 мая 2010.

Экзаменационное задание № 6

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования.

4семестр 2009–2010 уч. года.

1.Определение гладкой и кусочно-гладкой кривой.

2.Определение ряда комплексных чисел и его сходимости.

3.Определение интеграла функции f (z) по кривой .

4.Определение преобразования Фурье функции x(t). Обратное преобразование Фурье.

5.Определение Z-преобразования.

6.Начальные сведения об обобщенных функциях. Определение обобщенных функций.

7. Изложить метод нахождения определенных интегралов

2

R(cos , sin ) d , где R(u, v) – рациональная функция.

0

8.Доказать формулу для вычисления вычета в кратном полюсе.

9.Каково минимальное число t0, для которого можно гарантировать ортого-

нальность x(t) = A sinc t, и y(t) = A sinc (t −t0).

10.Вывести свойства преобразования Лапласа (дифференцирование изображения).

26 мая 2010.

Экзаменационное задание № 7

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования.

4семестр 2009–2010 уч. года.

1.Теорема Абеля (формулировка).

2.Поведение ряда Лорана в окрестности полюса (формулировка).

3.Единственность разложения функции в ряд Лорана (формулировка).

4.Определение преобразования Фурье функции x(t). Обратное преобразование Фурье.

5.Методы определения оригинала по заданному изображению. Формула обращения преобразования Лапласа (формула Меллина).

6.Неравенством Бесселя.

7.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

8.Доказать интегральную формулу Коши.

9. Проверьте, что система функций {A sinc( t − k); k Z} ортогональна. Выяснить когда эта система ортонормирована.

10.Функция Хевисайда (t) и ее изображение. Таблица основных изображе-

ний для e t, cos t, sin t, tn, tne t, e t cos t, e t sin t.

26 мая 2010.

Экзаменационное задание № 8

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования.

4семестр 2009–2010 уч. года.

1.Привести формулу Коши – Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

2.Сформулировать признак Коши сходимости числового ряда.

3.Определение предела последовательности комплексных чисел.

4.Начальные сведения об обобщенных функциях. Определение обобщенных функций.

5.Ряд Фурье в комплексной форме.

6.Неравенством Бесселя.

7.Доказать следующие оценки для интегралов от функции, непрерывной на кривой :

f (z) dz Ml,

где M = max | f (z)| на кривой и l – длина кривой .

8.Доказать интегральную формулу Коши.

9.Показать, что преобразование Фурье обладает следующим свойством:

F{x(t − )} = e−i F{x(t)}.

10.Вывести свойства преобразования Лапласа (дифференцирование оригинала).

26 мая 2010.

Экзаменационное задание № 9

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования.

4семестр 2009–2010 уч. года.

1.Как задается комплекснозначная функция комплексного переменного?

2.Определение ряда Лорана.

3.Определение модуля комплексного числа, его обозначение.

4.Ряд Фурье в комплексной форме.

5.Понятие об общем ряде Фурье. Определение коэффициентов Фурье.

6.Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.

7.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

8.Теорема Коши о гомотопии.

9.Показать, что преобразование Фурье обладает следующим свойством:

F{x(t) y(t)} = F{x(t)}F{y(t)}.

10. Проверьте, что система ei 2T kt ; k Z ортогональна в пространстве

C2[0, T ].

26 мая 2010.

Экзаменационное задание № 10

для студентов спец. 230201

по дисциплине ТФКП и интегральные преобразования.

4семестр 2009–2010 уч. года.

1.Определение действительной и мнимой части комплексного числа, их обозначения.

2.Определение односвязной области.

3.Определение производной функции f (z) в точке z.

4.Определение преобразования Фурье функции x(t). Обратное преобразование Фурье.

5.Определение преобразования Лапласа функции f (t). Условия на f (t).

6.Понятие об общем ряде Фурье. Определение коэффициентов Фурье.

7.Доказать формулу Муавра.

8.Доказать теорему Коши–Римана.

9.Показать, что преобразование Фурье обладает следующим свойством:

26 мая 2010.