Практические занятия
ЗАНЯТИЕ № 1
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФКП. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. УСЛОВИЯ КОШИ–РИМАНА
1. Выяснить, являются ли следующие функции дифференцируемыми:
а) f (z)= ch z ;
б) f (z)= z2 z ; в) f (z)= z ez ; г) f (z)= z z ;
д) f (z)= Re z z .
2. Выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими:
а) f (z)= zez ; б) f (z)= ez 2 ;
в) f (z)= z Re z ;
г) f (z)= z Im z ;
д) |
f (z)= sin 3z −i . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАНЯТИЕ № 2 |
|
|
|
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФКП. ФОРМУЛА КОШИ |
||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
||||||||||||
а) |
∫z Im z2dz, L : |
|
z |
|
=1 (−π ≤ arqz ≤ 0) ; |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
L |
||||||||||||
б) |
∫e |
|
z |
|
2 Re z dz, L – прямая, соединяющая точки z1 = 0 и z2 =1+ i ; |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
L |
||||||||||||
в) |
∫zz dz, L : |
|
z |
|
=1 (обход против часовой стрелки); |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
L |
||||||||||||
66
г) |
∫ez dz, L – дуга параболы y = x2 , соединяющая точки z1 = 0 |
|||
|
L |
|
|
|
и z2 =1+ i ; |
|
π |
|
|
д) |
∫cos zdz , L – отрезок прямой, соединяющий точки |
z1 = |
и |
|
|
L |
|
2 |
|
z2 = π + i.
2.Пользуясь интегральной формулой Коши, вычислить интегралы:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫ |
e z |
|
dz, |
L : |
|
z −1 |
|
= |
1 |
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
L z2 |
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) ∫ |
ez |
cosπz |
dz, |
|
|
L : |
|
z |
|
=1 ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z2 + 2z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) ∫ |
|
dz |
|
|
, L : |
|
z |
|
|
= 5 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
L z2 +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) ∫cos(z + πi)dz, |
|
|
L : |
|
z |
|
= 3 ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
L |
z(ez + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д)L∫ |
|
|
|
dz |
|
|
, |
|
|
L : |
|
z |
|
= 4 . |
||||||||||||||
(z2 + 9)(z + 9) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ЗАНЯТИЕ № 3
РЯДЫ ЛОРАНА
1. Разложить функции в ряд Лорана в указанных областях:
а) f (z)= |
1 |
|
, 2 < |
|
|
z |
|
< |
3 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(z − 2)(z − 3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) f (z)= |
1 |
|
|
, 1< |
|
|
|
z |
|
< ∞; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z2 + z |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) f (z)= |
|
2z + 3 |
, 1 < |
|
|
|
z |
|
< 2 ; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z2 + 3z + 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) f (z)= |
2 |
|
, 1 < |
|
z + 2 |
|
< 3. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z2 −1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
67
2. Разложить функции в ряд Лорана в окрестности точки z = 0 :
а) f (z) = sinz2z ;
1
б) f (z)= z3e z ;
в) f (z) = 1 − cos z ; z2
г) f (z)= 1− e−z . z3
ЗАНЯТИЕ № 4
НУЛИ ФУНКЦИИ. ВЫЧЕТЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ
1.
а)
б)
в)
г)
д)
2.
а)
б)
Найти вычеты в особых точках для следующих функций:
f(z)= z2t g zπ z ;
−4
1
f (z)= z3e z ;
f (z)= |
ez |
|
|
; |
|
||
z3 (z −1) |
|||||||
|
|
|
|
||||
f (z) = z2 sin |
1 |
; |
|
||||
|
|
|
z |
|
|
||
f (z)= |
|
|
z |
|
. |
||
|
(z +1)3 (z − 2)2 |
||||||
С помощью вычетов вычислить следующие интегралы:
|
|
ez dz |
L : |
|
z |
|
= 2 ; |
|||||||
L∫ |
|
|
|
, |
|
|
||||||||
|
z3 (z +1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L∫ |
zdz |
, |
L : |
|
z +1 |
|
= 4 ; |
|||||||
|
|
|||||||||||||
ez +3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
68
в) ∫ |
zdz |
|
|
, |
|
|
|
L : |
|
z |
|
= 3 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
L (z −1)2 (z |
+ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) ∫ |
|
z +1 |
|
dz, |
|
|
L : |
|
z |
|
= 4 ; |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
L z2 + 2z −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) ∫ sin πz dz, |
|
L : |
|
z |
|
= |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
3 |
||||||||||||||||
L z2 − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАНЯТИЕ № 1 |
||||||||||
1.a) да, б) нет, в) да, г) нет, д) нет.
2.а) да, б) да, в) нет, г) нет, д) да.
ЗАНЯТИЕ № 2
1.a)– π2 , б) 14 (e2 −1)(1+i), в)0, г) e cos1−1+ ie sin1 , д) −(1+i sh1).
2.а) 0, б) πi , в) 0, г) i 32 πch π, д) − 45πi .
ЗАНЯТИЕ № 3
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
n |
−1 |
|
1 |
∞ |
z |
n |
|
|
|
∞ |
( |
−1 n |
|
|
|
|
|
∞ |
(− |
|
n+1 |
|
∞ |
|
n |
n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
(−1) z |
|
|
||||||||||||||||||
1. |
а) |
− ∑ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
∑ |
|
|
|
|
, б) |
|
|
|
n+ |
2 |
|
, в) ∑ |
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
z |
|
|
|
|
|
3 n=0 |
|
3 |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
z |
|
|
|
|
n=0 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
(z + |
2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
− ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1(z + 2)n |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
а) |
1 |
− |
|
z |
+ |
z3 |
|
− |
z5 |
|
+..., б) |
|
z3 |
|
+ z2 |
+ |
z |
+ |
|
|
1 |
|
+ |
1 |
|
+..., |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
4!z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3! |
5! |
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) |
|
1 |
|
− |
z2 |
+ |
z4 |
− |
|
z6 |
|
|
+...., |
|
г) |
1 |
|
|
− |
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
− |
|
z |
|
+.... . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2! |
4! |
|
6! |
8! |
|
|
|
z |
2 |
|
|
2!z |
3! |
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
69