2. 3. Рекомендации по работе с литературой

Очень важную роль играет выбор учебной литературы и методических пособий. Желательно придерживаться этих учебников при изучении всего курса, так как замена может привести к утрате логической связи между отдельными темами.

В последние годы среди студентов экономических специальностей особой популярностью пользуется следующая литература:

1. Высшая математика для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера.-М.: Банки и биржи, 1997.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1986.

3. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.

4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 1998.

5. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.

6. Практикум по высшей математике для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002.

2.4. Советы по подготовке к экзамену (зачету)

Фундамент математических знаний закладывается на лекционных и семинарских занятиях, а также при подготовке к ним. Буквально с первого сентября необходимо выработать серьезное отношение к конспекту по математике. Он должен в полном объеме содержать определения, теоремы и выводы основных формул курса. Записи должны быть аккуратными. Не нужно забывать, что они делаются для того, чтобы впоследствии с ними работать. Все теоремы и факты нужно понять, а поняв, уметь их самостоятельно доказывать. Прочитав доказательство какой-то теоремы, воспроизвести это доказательство на бумаге без конспекта или учебника.

Помните, что умение решать задачи является следствием глубоко понятого соответствующего теоретического материала. Учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение – важнейшее средство, предотвращающее забывание; необходимо выработать привычку систематической самостоятельной работы, «натаскивание» к экзамену или зачету дает слабый и поверхностный результат.

Для успешной сдачи зачета и экзамена студент должен знать наизусть достаточно солидный объем теорем, формул, алгоритмов, моделей. Не откладывая процесс заучивания на последние три дня перед экзаменом, подготовка должна вестись с первых лекций. Будет очень хорошо, если вы заведете себе личный справочник и будете его регулярно изучать, пополняя новым материалом.

Раздел 3. Материалы тестовой системы или практикум по решению задач по темам лекций

Iсеместр

11. Примеры решения задач по темам 1 – 5

Пример 1.

Вычислить определитель :

а) разложив его по элементам первого столбца;

б) предварительно упростив с помощью элементарных преобразований.

Решение:а) Разложим заданный определитель по элементам первого столбца, которые равны a₁₁ = 1, a₂₁ = 2, a₃₁ = 3. Вычислим алгебраические дополнения этих элементов:

,

,

, так как первая строка пропорциональна второй.

Итак, применяя теорему Лапласа, получаем:

∆ = a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁  A₃₁ = 1  5 +2  (‑10) + 3  0 = ‑15.

б) упростим определитель с помощью элементарных преобразований.

Сложим элементы второго и третьего столбцов. Результат запишем во второй столбец.

Разложим этот определитель по элементам второго столбца, т. к. в нём содержится два нуля.

Вычислим определитель 2-го порядка.

. Ответ: обоими способами получили ∆ = ‑15.

Пример 2.

Вычислить определитель четвёртого порядка

.Решение. Выполним следующие элементарные преобразования. Из второго столбца вычтем третий. Получим:

.

Затем из третьего столбца вычтем удвоенный первый:

.

Из четвёртого столбца вычтем утроенный первый:

.

Разложим этот определитель по элементам 1-й строки:

.

Сложим второй и третий столбцы, получим:

.

Из второго столбца вычтем утроенный первый и разложим определитель по элементам третьей строки:

.

Ответ: ∆ = 296.

Пример 3.

Для матрицы найти обратную.

Решение.Сначала запишем транспонированную матрицу:

.

Находим присоединенную матрицу. По определению, элементами присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы. Вычислим элементы присоединенной матрицы.

, ,,,,,,,.

Таким образом, матрица, присоединенная к матрице A, имеет вид:

.

Пользуясь правилом треугольников, найдем.

Так как  = –50  0, то матрица — неособенная и для неё существует обратная .

Подставляя найденные определитель и присоединённую матрицу, находим обратную матрицу:

.

Нам осталось сделать проверку, используя то свойство, что произведение заданной матрицы A и найденной обратной A^‑1 должно равняться единичной матрице, т. е. A  A^-1= E.

,

следовательно, обратная матрица найдена верно.

Ответ: .

Пример 4. Определить ранг матрицыА=.

Решение. В левом верхнем углу матрицы минор второго порядка отличен от нуля . Два минора третьего порядка, которые его окаймляют равны:

= 118 – 118 = 0, = 10 – 10 = 0.

Как видно, они нулевые, поэтому r(A) = 2. Ответ: r(A) = 2.

Пример 5. Применяя метод Гаусса, решить систему уравнений:

Решение. С помощью одного из уравнений надо исключить из всех последующих уравнений переменную x₁. Поменяем местами первое уравнение со вторым, тогда получим:

Шаг 1. Так как а₁₁ = 1  0, можно исключить с помощью первого уравнения переменную x₁ из последующих уравнений. Как видно из системы, второе уравнение не содержит переменную x₁.Чтобы с помощью первого уравнения исключить переменную x₁ из третьего уравнения, умножим первое уравнение на (-4) и прибавим полученное уравнение к третьему уравнению:

.

Это уравнение записываем вместо третьего. Теперь исключаем x₁ из четвертого уравнения. Для этого первое уравнение умножаем на (-1) и складываем с четвертым:

.

Записываем полученное уравнение в четвертой строке новой системы. Сохраняем первое и второе уравнения без изменения, а третье и четвёртое записываем в преобразованном виде, получим:

Шаг 2. Рассмотрим новую систему. Здесь а₂₂ = 1  0, следовательно, можно, оставляя без изменения первое уравнение новой системы, с помощью второго уравнения исключить переменную x₂ из последующих. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 10, а к четвёртому — второе, умноженное на 9. В результате получим систему:

Шаг 3. Сохраняя первые два уравнения новой системы без изменения, с помощью третьего уравнения исключаем переменную x₃ из последнего уравнения. Это возможно, так как а₃₃ = ‑2  0. Прибавим к четвертому уравнению третье, умноженное на 19/2 = 9,5. В результате приходим к системе треугольной формы, содержащей четыре уравнения и четыре переменные:

Следовательно, полученная и исходная системы являются совместными. Искомое решение находим, используя обратный ход метода Гаусса, т.е. все неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего уравнения. Из четвёртого уравнения находим:

x₄ = 286,5 / (-95,5) = -3. Это значение x₄ = -3.

Подставляем в третье уравнение системы и получаем:

-2x₃ ‑9(‑3) = 23, отсюда x₃ = 2.

Далее, подставляем значения x₃ и x₄ во второе уравнение системы:

x₂ + 32 ‑ (‑3) = 10, тогда x₂ = 1.

Наконец, подстановка значений x₂, x₃, x₄ в первое уравнение даёт:

x₁ +31 +82 ‑ (‑3)=22, откуда x₁ = 0.

Итак, данная система уравнений совместна и имеет единственное решение

x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = 2; x₄ = -3.