Темы, выносимые на самостоятельное изучение:
Тема 1. Самостоятельное решение задач по теории дифференциальных уравнений и теории рядов.
Примерный вариант задания:
1. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
y ' + xy = - x 3 ; x0 = 0 , y0 = 3 .
2. Найти область сходимости степенного ряда:
а)
б)
3. Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
f(x)
=
Тема 2. Самостоятельное решение задач по теории вероятностей.
Примерный вариант задания:
1. Вероятность изготовления не бракованного пластмассового ведра на станке равна 0,93. Сделано три ведра. Найти вероятность того, что:
а) все вёдра не бракованные; б) два ведра не бракованные;
в) только одно ведро не бракованное; г) хотя бы одно ведро не бракованное; д) все вёдра бракованные.
2. Два контролёра производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того, что очередное изделие попадёт к первому контролёру, равна 0,55, ко второму - 0,45. Первый контролёр выявляет имеющийся дефект с вероятностью 0,8, а второй - с вероятностью 0,9. Вычислить вероятность того, что изделие с дефектом будет признано годным к эксплуатации.
3. Вероятность того, что отклонение технических данных изделия в серийном производстве превышает норму от допустимого, равна 0,005. Найти вероятность того, что среди поступивших 1600 изделий с отклонениями их технических данных от допустимых, превышающими норму, будет: а) ровно три; б) менее трёх.
Вопросы к экзамену:
1. Матрицы. Операции над матрицами.
2. Определители и их свойства.
3. Обратная матрица.
4. Ранг матрицы.
5. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера.
6. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
7. Понятие функции. Способы задания функции.
8. Понятие предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций.
9. Основные неопределенности в пределах и методы их раскрытия.
10. Замечательные пределы.
11. Непрерывность функции. Точки разрыва.
12. Понятие производной функции. Правила дифференцирования.
13. Таблица производных. Производная сложной функции.
14. Производная неявно заданной функции.
15. Логарифмическое дифференцирование.
16. Производные высших порядков.
17. Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
18. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
19. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума.
20. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.
21. Асимптоты. Полное исследование функции и построение графиков.
22. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл.
23. Свойства неопределенного интеграла.
24. Таблица основных неопределенных интегралов.
25. Основные методы нахождения неопределенного интеграла: интегрирование подстановкой и «по частям».
26. Некоторые замены для нахождения неопределенных интегралов.
27. Понятие определенного интеграла и свойства определенного интеграла.
28. Основные методы вычисления определенного интеграла: интегрирование подстановкой и «по частям».
29. Несобственные интегралы.
30. Приложения определенного интеграла.
31. Функции нескольких переменных. Основные понятия. Частные производные функций нескольких переменных.
32. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
33. Производная по направлению. Градиент функции.
34. Экстремум функции двух переменных.
35. Метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума функции нескольких переменных.
36. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Общее решение. Задача Коши.
37. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
38. Дифференциальные уравнения первого порядка для однородных функций.
39. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
40. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.
41. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.
42. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
43. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
44. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
45. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа.
46. Системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
47. Ряды. Основные определения. Понятие сходимости ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда.
48. Достаточные признаки сходимости ряда. Признаки сравнения.
49. «Эталонные» ряды. Геометрическая прогрессия, гармонический ряд. Ряд Дирихле.
50. Признак Даламбера и радикальный признак Коши сходимости ряда.
51. Интегральный признак Коши сходимости ряда.
52. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
53. Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся рядов.
54. Понятие функционального ряда. Степенные ряды. Интервал и область сходимости степенного ряда.
55. Разложение функций в степенной ряд. Формула и ряд Тейлора.
56. Формула и ряд Маклорена.
57. Применение степенных рядов. Приближенные вычисления.
58. Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью ряда.
59. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
60. Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности.
61. Основные формулы комбинаторики.
62. Сложение и умножение вероятностей.
63. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
64. Формулы Бернулли. Предельные теоремы Лапласа.
65. Понятие случайной величины. Способы задания. Дискретные случайные величины.
66. Непрерывные случайные величины.
67. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
68. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
69. Классические распределения дискретных случайных величин.
70. Классические распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение.