Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

случаях, независимо от того, принадлежат ли частицы одному сорту или нет *.

Нормировка этих состояний должна быть определена в согласии с указанными условиями симметрии. Чтобы сделать запись более компактной, будем использовать метку q для обозначения всех квантовых чисел отдельной частицы: ее импульса р, z−компоненты спина (или спиральности в случае безмассовых частиц) σ è

ãäå δ(q′ − q) есть произведение всех дельта−функций и кронекеровских дельта−символов для квантовых чисел частиц:

причем знак «минус» берется в случае, если обе частицы — фермионы, а знак «плюс» — во всех остальных случаях. Очевидно, что

* На самом деле, по тем же соображениям чисто условной является симметрия или антисимметрия вектора состояния при перестановке частиц одного сорта, но разных спиральностей или третьих проекций спина. Действительно, мы с самого начала можем договориться перечислять первыми импульсы всех фотонов со спиральностью +1, затем импульсы всех фотонов со спиральностью −1, затем импульсы всех электронов с проекцией спина на

ось z, равной +1, и т. д. Мы принимаем соглашение, что вектор состояния симметричен или антисимметричен при перестановке тождественных бозонов или фермионов разных спиральностей или z-компонент спина с целью облегчить использование инвариантности относительно вращений.

r =1

где знаки +1 или −1 берутся, соответственно, для бозонов или

фермионов.

(Вот доказательство. Мы намерены вычислить скалярное про-

Теперь воспользуемся формулой (4.1.7). Сумма по перестановкам Р чисел 1, 2, ..., N может быть записана как сумма по целому числу r, которое переставляется на первое место, т. е. Pr = 1, и по отображениям P остальных целых чисел 1, ..., r −1, r + 1, ..., N â 1, ..., N – 1.

Далее, знаковый множитель равен

δP = (±)r −1δP ,

где верхний и нижний знаки относятся соответственно к бозонам и фермионам. Отсюда, второй раз используя (4.1.7), получаем:

r =1

Таким образом, обе части (4.2.3) имеют одинаковый матричный элемент с любым состоянием, и поэтому равны друг другу, что и требовалось доказать.)

Как частный случай (4.2.3), отметим, что и для бозонов, и для фермионов оператор a(q), действуя на вакуум, дает нуль:

Так определенные операторы рождения и уничтожения удовлетворяют важным соотношениям коммутации или антикоммутации. Применяя оператор a(q′) к состоянию (4.2.1) и используя (4.2.3),

получаем:

r =1

(Знак во втором слагаемом равен (±)r+2, òàê êàê qr находится на

(r+1)-м месте в Φqq1 ...qN .) С другой стороны, применяя оператор a†(q)

к (4.2.3), находим:

Вычитая или складывая, получаем

Но это верно для всех состояний (и, как нетрудно показать, верно также для состояний, содержащих и бозоны, и фермионы). Поэтому отсюда вытекает операторное соотношение

Как всегда, верхний и нижний знаки относятся к бозонам и фермионам, соответственно. Согласно обсуждавшимся в предыдущем разделе условиям, операторы рождения и/или уничтожения для

частиц двух разных сортов коммутируют, если частицы — бозоны, и антикоммутируют, если обе частицы — фермионы.

Приведенные рассуждения можно воспроизвести в обратном порядке (и в большинстве учебников именно так и делается). Иными словами, можно было бы начать с коммутационных или антикоммутационных соотношений (4.2.5)−(4.2.7), выведенных путем канониче-

ского квантования некоторой полевой теории. Затем следовало бы с помощью (4.2.2) определить многочастичные состояния и из соотношений коммутации или антикоммутации вычислить их скалярные произведения (4.1.7). В сущности, как обсуждалось в гл. 1, такой подход был бы значительно ближе к тому, по которому историче- ски развивался этот формализм. Мы следуем не по историческому пути, так как хотим быть свободными от любой зависимости от существовавших до этого теорий поля и стремимся понять, почему эти теории такие, какие они есть.

Докажем теперь фундаментальную теорему, сформулированную в начале этой главы: любой оператор О можно представить как сумму произведений операторов рождения и уничтожения:

Иными словами, мы хотим показать, что можно выбрать коэффициенты CNM так, чтобы матричные элементы этого выражения приняли бы любое желаемое значение. Докажем это по индукции. Во-первых, тривиально доказывается, что при должном выборе С00 можно придать матричному элементу (Φ0,O Φ0) любое значение,

независимо от значений CNM при N > 0 и/или M > 0. Для этого нужно только воспользоваться формулой (4.2.4) и убедиться, что среднее по вакууму от (4.2.8) равно

(Φ0 , O Φ0 ) = C00 .

Предположим теперь, что это же верно для всех матричных элементов О между N−частичными и M−частичными состояниями с N < L, M ≤ K èëè N ≤ L, M < K. Иначе говоря, эти матричные

элементы получают определенные желаемые значения путем подходящего выбора соответствующих коэффициентов CNM. Чтобы показать, что это же верно для матричных элементов О между любыми L−частичными и K−частичными состояниями, используем

(4.2.8) для вычисления матричного элемента

+ слагаемые, содержащие CNM ñ N < L, M ≤ K, ëèáî N ≤ L, M < K.

Какие бы значения не имели коэффициенты CNM ñ N < L, M ≤ K èëè N ≤ L, M < K, ясно, что при определенном выборе CLK ýòîò

матричный элемент может принять любое значение.

Конечно, оператор не обязательно должен иметь вид (4.2.8), где все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения. (Часто говорят, что в этом случае операторы записаны в нормальном порядке.) Однако, если в формуле для разложения какого-то оператора по операторам рождения и уничтожения они записаны в каком-то ином порядке, можно всегда с помощью многократного использования соотношений коммутации или антикоммутации перетащить операторы рождения налево от операторов уничтожения, приобретая за счет этого новые слагаемые от дельта-функции в (4.2.5).

Рассмотрим, например, аддитивный оператор Φ любого типа

(импульс, заряд и т. п.), для которого

Такой оператор можно записать в виде (4.2.8), используя только одно слагаемое с N = M = 1:

В частности, гамильтониан свободных частиц всегда имеет вид:

где E(q) — энергия отдельной частицы:

E(p, σ, n) = p2 + m2n .

Нам потребуются свойства преобразования операторов рождения и уничтожения по отношению к различным симметриям. Во-пер- вых, рассмотрим неоднородные собственные ортохронные преобразования Лоренца. Напомним, что под действием лоренцовских преобразований N-частичные состояния преобразуются по закону:

Здесь pΛ — трехмерная часть Lp, Ds(js) (R) — то же самое унитар-

ное представление со спином j трехмерной группы вращений, которое использовалось в разделе 2.5, а W(L, p) — специальное

вращение

W(Λ, p) ≡ L−1(Λp)ΛL(p),

где L(p) — стандартный «буст», переводящий частицу массой m из системы, где она покоится, в систему, где она имеет 4-импульс pμ.

(Конечно, m и j зависят от индекса сорта частиц n. Все это относится к случаю m ¹ 0; безмассовые частицы мы обсудим в следующей

главе.) Эти состояния можно записать, как в (4.2.2), в виде

Φp1s1n1 ,p2s2n2 ,... = a† (p1σ1n1)a† (p2σ2n2 ). . . Φ0 ,

ãäå F0 — лоренц-инвариантное вакуумное состояние,

U0 (Λ, α)Φ0 = Φ0 .

Для того, чтобы состояние (4.2.2) преобразовывалось должным образом, необходимо и достаточно, чтобы оператор рождения преобразовывался по правилу:

236 Глава 4. Принцип кластерного разложения

U0 (Λ, α)a† (pσn)U0-1(Λ, α) = e-i(Lp)×a (Λp)0 p0

× å Ds(js) (W(Λ, p))a† (pLσn). (4.2.12)

s

АналогичноÒ можно установить, что под действием операторов С, Р и , реализующих преобразования зарядового сопряжения, пространственной инверсии и обращения времени на состояниях свободных частиц *, операторы рождения преобразуются по законам:

Как отмечалось в предыдущем разделе, хотя мы и рассматривали операторы, рождающие и уничтожающие частицы в свободном состоянии, весь формализм может быть применен к ин- и аутсостояниям. В этом случае можно ввести операторы ain è aout, действие которых на такие состояния определяется совершенно аналогично. Эти операторы подчиняются закону лоренцовских преобразований вида (4.2.12), но с заменой оператора преобразования U0(Λ,a) свободных частиц на истинный оператор лоренцовского преобразования U(Λ,a).

4.3. Кластерное разложение и связные ампдитуды

Одним из самых фундаментальных принципов физики (а, может быть, и всей науки) является утверждение, что результа-

* Мы опустилиÑ Ðиндекс Ò0 у этих операторов, так как практически во всех случаях, когда , и/или сохраняются, операторы, реализующие эти преобразования на «ин» или «аут» состояниях, совпадают с операторами, определенными аналогично на состояниях свободных частиц. Для непрерывных преобразований Лоренца это не так, и следует различать операторы U(Λ,a) è U0(Λ,a).

ты экспериментов, выполненных на достаточном удалении друг от друга, являются независимыми. Вероятности различных соударений, измеренные в Лаборатории им. Э. Ферми, не должны зависеть от того, какие эксперименты в это время проводятся в ЦЕРНе. Если этот принцип неверен, мы никогда не смогли бы предсказать результаты какого-либо эксперимента, не зная все про всю Вселенную.

В теории S-матрицы принцип кластерного разложения утверждает, что если многочастичные процессы a1 ® b1, a2 ® b2, ..., aN ® bN изучаются в N удаленных друг от друга лабораториях, то

элемент S-матрицы для всего процесса факторизуется. Иначе говоря *,

åñëè äëÿ âñåõ i ¹ j все частицы в состояниях ai è bi находятся на

большом пространственном удалении от всех частиц в состояниях aj è bj. Такая факторизация элементов S-матрицы обеспечит фак-

торизацию соответствующих вероятностей переходов, отвечающих нескоррелированным экспериментальным результатам.

Существует комбинаторный трюк, позволяющий более наглядно записать формулу (4.3.1).

Определим связную часть S-матрицы SβαC формулой:

Здесь сумма берется по всем различным способам разбиения частиц в состоянии a на кластеры a1, a2, ..., и частиц в состоянии b на кластеры b1, b2, ..., причем не считаются различными разбие-

ния, отличающиеся только порядком частиц внутри данного кластера или перестановкой самих кластеров. Знак + или - соответствует тому, совершается ли при перегруппировках a ¹ a1a2... è b ¹ b1b2... четное или нечетное число перестановок фермионов. Термин

связная часть соответствует обсуждаемой в следующем разделе интерпретации на языке фейнмановских диаграмм, представляющих

* Мы возвращаемся здесь к обозначениям гл. 3. Греческие буквы α è β

отвечают множеству частиц с указанием значений импульса, спина и сорта каждой частицы. Кроме того, сумма α1 + α2 + ... + αN обозначает состояние,

образованное комбинацией всех частиц в состояниях α1, α2, ..., αN (аналогично

β1 + β2 + ... + βN).

разные вклады в ряд теории возмущений *.

Данное определение является рекуррентным. Для каждого a è b сумма в правой части (4.3.2) содержит слагаемое SβαC и сумму å¢ произведений двух и более элементов SC-матрицы с полным числом частиц в каждом состоянии aj è bj, которое меньше числа частиц в состояниях a è b:

S = SC + å R(±)SC SC . . .

βα βα β1α1 β2α2

PART

Предположим, что элементы SC-матрицы в этой сумме уже

выбраны так, что формула (4.3.2) удовлетворяется для состояний b, a, содержащих вместе меньше, чем, скажем, N частиц. Тогда, независимо от того, какие значения элементов S-матрицы в сумме å¢ получены таким способом, всегда можно выбрать оставшееся слагаемое SβαC так, чтобы формула (4.3.2) выполнялась для состояний a, b, содержащих всего N частиц **. Таким образом,

* Это разложение было использовано Урселлом, Майером и др. в классической статистической механике, и Ли, Янгом и др. 3 в квантовой статистической механике. Кроме того, Голдстоун 4 и Гугенгольц 5 применяли его для вычисления энергий многочастичных основных состояний. Во всех этих приложениях целью выделения связных частей функций Грина, функций распределения, резольвент и т. п. является желание иметь дело с объектами, простым образом зависящими от объема. Эта цель совпадает и с нашей, поскольку ниже будет показано, что ключевым свойством связных частей S−матрицы является то, что они пропорциональны единственной

дельта-функции сохранения импульса, а в ящике дельта-функция превращается в кронекеровский дельта-символ, умноженный на объем. Формально кластерное разложение похоже на то, которое используется в теории шума 6 для разложения корреляционнойфункциинесколькихслучайныхпеременныхна«кумулянты».Еслислу- чайная переменная получает вклады от большого числа N независимых флуктуаций, то каждый кумулянт пропорционален N.

** Следует отметить техническую деталь. Рассуждение верно только в том слу- чае, когда мы пренебрегаем возможностью, что для одного или более связных элементов S−матрицы в (4.3.2) состояния αj è βj оба вообще не содержат частиц.

Поэтому мы должны определить связный элемент между состояниями вакуума S0C,0 равным нулю. Мы не используем формулу (4.3.2) для матричного элемента S−матрицы между состояниями вакуума S0,0, который в отсутствие меняющихся

во времени внешних полей просто определяется равным единице, S0,0 = 1. Мы расскажем несколько больше об амплитудах перехода вакуум−вакуум во внешних

полях в т. II.