Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Чтобы проверить закон композиции, рассмотрим две точки θ1 è θ2, и определим путь P, идущий из 0 в θ1, а затем в f(θ2, θ1):

В конце первого отрезка пути мы попадаем в точку, где опера-

вдоль второго отрезка совпадает с дифференциальным уравнением

Однако из этого не следует, что Uθ(1) удовлетворяет желаемому правилу композиции (2.Б.1), так как, хотя путь ΘP(s) èäåò èç θa = 0 â θa = fa(θ2, θ1), он в общем случае не будет совпадать с тем выбранным нами «стандартным» путем Θf(θ2 ,θ1) , который идет сразу из θa = 0 â θa = fa(θ2, θ1). Чтобы отождествить U[θ] c Uθ(1), нужно еще доказать, что Uθ(1) не зависит от пути из 0 в θ.

Для этого рассмотрим вариацию δU оператора Uθ(s), порожденную вариацией δΘ(s) ïóòè èç 0 â θ. Беря вариацию

(2.Б.2), приходим к дифференциальному уравнению

ãäå hba,c ≡ ∂hba / ∂Θc . Используя коммутационные соотношения ал-

гебры Ли (2.2.22) (без центральных зарядов) и совершая перегруппировку слагаемых, получаем

Однако переходя к пределу θ3, θ2 → 0 в условии ассоциативности (2.Б.6), находим для всех θ

ãäå fade – коэффициент, определенный формулой (2.2.19). Антисимметризация по b и c показывает, что последнее слагаемое в (2.Б.9) обращается в нуль:

постоянна вдоль пути θ(s). Отсюда следует, что оператор Uθ(1)

стационарен при любой бесконечно малой вариации пути, оставляющей закрепленными конечные точки Θ(0) = 0 è Θ(1) = θ (а также Uθ(0) = 1). Однако из предположения б) вытекает, что любой путь от Θ(0) = 0 äî Θ(1) = θ можно непрерывно деформировать в любой другой путь, так что теперь можно рассматривать Uθ(1) как не зависящую от пути функцию только переменной θ:

а тогда (2.Б.8) показывает, что U[θ] удовлетворяет закону груп-

пового умножения (2.Б.1), что и требовалось доказать.

Мы построили непроективное представление U[θ], и осталось

показать, что любое проективное представление ~[θ] òîé æå ãðóï-

U

пы с теми же генераторами представления ta может отличаться от U[θ] только фазой:

может быть устранена простым изменением фазы ~[θ]. Чтобы пока-

U

зать это, рассмотрим оператор

Операторы U[θ] è ~[θ] имеют одни и те же генераторы, поэтому

U

производная левой части по θ ′a обращается в нуль при θ ′ = 0 è

Дифференцируя полученное равенство по θc и выполняя антисим-

метризацию по b и c, получаем сразу же

0 = ∂φb (θ) − ∂φc (θ) . ∂θc ∂θb

Согласно известной теореме13 из предыдущего равенства следует, что в односвязном пространстве φb есть просто градиент

132 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

некоторой функции β:

постоянной по θ. Полагая эту величину равной ее значению при θ =

~[θ] = [θ] expa− β(θ) + β(0)f ,

U U i i

что и утверждалось выше.

* * *

Приведенный выше анализ дает некоторую информацию о природе фазовых множителей, которые могут появляться в групповом законе умножения в случае, когда алгебра Ли не допускает центральных зарядов, но группа не являеòся односвязной. Предположим, что путь P из нуля в θ, а затем в f(θ, θ) нельзя пðодеформировать в выбранный нами стандартный путь из 0 в f(θ, θ) , èными словами, предположим, что петля из нуля через θ â è

обратно в нуль не может быть непрерывно продеформирована в точку. Тогда выражение U −1(f(θ2 , θ1))U(θ2 )U(θ1) может являться фазовым множителем exp(if(q2 , q1)) ¹ 1, но f — одной и той же для

всех других петель, в которые можно непрерывно продеформировать данную петлю. Множество, состоящее из всех петель, начинающихся и кончающихся в нулевой точке, которые могут быть непрерывно продеформированы в данную петлю, носит название гомотопического класса14 данной петли. Таким образом, мы видим, что f(θ2, θ1) зависит только от гомотопического класса петли, идущей из нуля через θ â f(θ, θ) и затем обратно в нуль.

Множество гомотопических классов образует группу: «произведение» гомотопических классов для петель L1 è L2 есть гомотопический класс петли, получающейся обходом по L1, а затем по L2; «обратный» гомотопический класс петли L есть гомотопический класс петли, получающейся обходом L в противоположном направлении; «единицей» является гомотопический класс петель,

которые можно продеформировать в начальную точку. Эта группа называется первой гомотопической или фундаментальной группой обсуждаемого пространства. Легко показать, что фазовые множители образуют представление этой группы: если обход по петле L дает фазовый множитель eiφ , а обход по петле `L — фазовый множиòåëü eiφ , то обход по обеим петлям дает фазовый множитель eiφeiφ . Поэтому можно составить каталог всех возмож-

ных типов проективных представлений данной группы G (без центральных зарядов), если известны одномерные представления первой гомотопической группы пространства параметров группы G. Более подробно гомотопические группы обсуждаются в т. II.

Приложение В. Инверсии и вырожденные мультиплеты

Обычно предполагается, что инверсии T и P переводят одно- частичные состояния в другие одночастичные состояния того же сорта, возможно, с зависящими от сорта частиц дополнительными фазовыми множителями. В разделе 2.6 мы мельком обратили внимание на то, что на вырожденные мультиплеты одночастичных состояний операторы инверсии могут действовать и более сложным образом. Эта возможность, по-видимому, была впервые отмечена в 1964 году Вигнером 15. В данном Приложении рассматриваются обобщения операторов инверсии, в которых вместо фаз инверсии появляются конечные матрицы. При этом не делается ряда ограни- чительных предположений, использованных Вигнером.

Начнем с обращения времени. Вигнер ограничил возможное действие операторов инверсии, предположив, что их квадраты пропорциональны единичному оператору. Так как T – антиунитар-

ный оператор, легко видеть, что множитель пропорциональности для T2 может быть равен ±1, возможно, с разными знаками для

подпространств, выделенных правилами суперотбора. В том слу- чае, когда знак T2 на пространстве состояний с четными или

нечетными значениями 2j противоположен знаку (-1)2j, найденному в разделе 2.6, физические состояния должны реализовывать более сложные, чем предполагалось до сих пор, представления оператора T. Если мы хотим принять такую гипотезу, уже не

видно достаточных оснований для сохранения условия Вигнера, что T2 пропорционален единице. Обращение к структуре расши-

ренной группы Пуанкаре неубедительно. Единственное полезное

определение любого из операторов инверсии должно обеспечи- вать точное или приближенное сохранение этого оператора. Однако такое определение может противоречить условию, что T2

пропорционален единичному оператору.

Чтобы рассмотреть более общие возможности для оператора обращения времени, предположим, что он действует на массивное одночастичное состояние по правилу

ãäå p, j è σ — импульс, спин и z-компонента спина, а n, m —

индексы, которыми нумеруются члены вырожденного мультиплета частиц. (Появление множителя (−1)j–σ и изменение знака p и σ выводятся так же, как в разделе 2.6.) Мы ничегоTне знаем о

матрице Tmn кроме того, что в силу антиунитарности матрица T должна быть унитарной.

Посмотрим теперь, как можно упростить это преобразование подходящим выбором базиса одночастичных состояний. Опреде-

В общем случае с помощью такого выбора базиса одночастичных состояний не удается сделать T′ диагональной,T êàê ýòî áûëî áû

возможно в случае унитарного оператора . Однако можно сделать эту матрицу блочно-диагональной, причем блоки имеют вид либо 1×1 фазовых множителей, либо 2×2 матриц вида

ãäå φ — различные действительные фазы.

(Приведем доказательство. Во-первых, заметим, что из формулы (2.В.2) следует

T ′ T ′* = U −1T T *U .

Это унитарное преобразование, и его можно выбрать так, чтобы диагонализовать унитарную матрицу TT*. Считая, что это сделано, и опуская индексы, имеем

диагонали фазы eiφn . Немедленным следствием этого является то,

что диагональная компонента Tnn обращается в нуль, за исключе- нием случая eiφn = 1. Далее, пусть eiφn = 1, íî eiφm ¹ 1. Тогда из

(2.В.4) следует, что Tmn = Tnm = 0. Перебирая сначала все строки и столбцы, для которых = 1, приводим матрицу T к виду

где А — симметричная и унитарная матрица, а у В все диагональные элементы равны нулю. Так как À симметрична, она может быть представлена как экспонента от симметричной антиэрмитовой матрицы, поэтому ее можно диагонализовать преобразованием (2.В.2), действующим только на А, причем соответствующая подматрица матрицы U действительна и потому ортогональна.

Поэтому достаточно рассмотреть подматрицу В, связывающую строки и столбцы, для которых eiφn ¹ 0. Для значений

столбцы с противоположной фазой, затем все строки и столбцы с какой-то другой фазой eiφ2 ¹ 1, не равной e±iφ1 , строки и

столбцы с противоположной фазой и т. д., то матрица В примет блочно–диагональный вид:

ãäå

136 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

Далее, унитарность матрицы T, а следовательно и В, требует, чтобы Ci Ci† = Ci†Ci = 1, откуда Ci – квадратная и унитарная матри-

ца. Если применить преобразование (2.В.2) с матрицей U, которая блочно–диагональна в том же смысле, что и T, причем матрица в n-ом блоке имеет вид

с унитарными матрицами Vi è Wi, то подматрицы Ci подвергнутся преобразованию Ci → Vi−1CiWi* . Отсюда ясно, что можно выбрать

это преобразование так, чтобы Ci = 1. Этим устанавливается соответствие между парами отдельных строк и столбцов внутри каждого блока с фазами eiφi è e− iφi . Чтобы привести матрицу В к блочнодиагональному виду с 2´2 блоками вида (2.В.3), необходимо всего лишь перегруппировать строки и столбцы с фазами eiφi попеременно с соответствующими строками и столбцами с фазами e− iφi .)

Важно подчеркнуть, что если eiφ ¹ 1, невозможно выбрать

Результатом действия преобразования обращения времени на произвольную линейную комбинацию этих состояний будет

eiφ/2c*+ = λc− , e− iφ/2c*− = λc+ .

Комбинируя эти уравнения, имеем e± i φ2c*± = l 2 c*±em i φ2 , ÷òî

невозможно, если не выполнено хотя бы одно из двух условий:

эту матрицу с помощью выбора базиса для состояний. Однако такой выбор базиса может оказаться не тем, в котором оператор обращения времени действует просто, так что в принципе операторы P è T совместно могут привести к дополнительным вырождениям, которые не требуются операциями P èëè T ïî-

отдельности.

Как обсуждается в гл. 5, всякая квантоваяCPT теория поля считается удовлетворяющей симметрии , действующей на одночастичные состояния по правилу

ãäå nc обозначает античастицу (или зарядово–сопряженную частицу) к частице n. В этом преобразовании не допускаются никакие фазы или матрицы (хотя,CPT конечно, всегда можно ввести фазы или матрицы, объединив с подходящими внутренними симметриями). Отсюда вытекает, что

так что предложенная ВигнеромCPTвозможность появления знака –(–1)2j при действии оператора ( )2 в квантовой теории поля не реализуетсяT .

Пока является хорошей симметрией для некоторого класса

С другой стороны, если T имеет нестандартное представление (2.В.8), из (2.В.11) имеем: