Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

±, может быть тем же самым, что и вырождение частица-

античастица,CPT так что античастица (определеннаяCP посредством ) состояния Y± åñòü Yå . В этом случае имело бы необыч-

ное свойство не менять частицы на античастицы CPи обратноT . До тех пор, пока рассматриваются подобныеP частицы,CP и имеют тот же смысл, который обычно имеют иCP . TНо это не просто вопрос определения — на другие частицы и действовали бы обычным образом.

Неизвестны примеры частиц, реализующих нестандартные представления инверсий, и мы далее такие возможности рассматривать не будем. Начиная с этого момента, будем считать, что инверсии действуют так, как было принято в разделе 2.6.

Задачи

1. Пусть наблюдатель О видит W-бозон (спин 1 и масса m ¹ 0) ñ

импульсом p, направленным вдоль оси y, и z-компонентой спина s. Второй наблюдатель О ¢ движется относительно первого со скоростью v в направлении оси z. Как наблюдатель О ¢

опишет состояние W-бозона?

2. Пусть наблюдатель О видит фотон импульсом p в направлении оси y и вектором поляризации в направлении оси z. Второй наблюдатель О ¢ движется относительно первого со скоростью v в направлении оси z. Как О ¢ опишет состояние фотона?

3. Получите перестановочные соотношения генераторов группы Галилея непосредственно из закона группового умножения (не используя результаты для группы Лоренца). Включите наиболее общий набор центральных зарядов, которые не могут быть устранены переопределением генераторов группы.

4. Покажите, что операторы PμPμ è WμWμ, ãäå Wμ º eμνρλJνρPλ,

коммутируют с операторами лоренцовских преобразований U(L, a).

бы описать спиновые состояния отдельной безмассовой частицы? Как эти состояния вели бы себя по отношениюP ê Tпреобразованиям Лоренца? Что можно сказать об инверсиях и ?

Список литературы

1. Dirac, P.A.M. The Principles of Quantum Mechanics, 4th edn (Oxford University Press, Oxford, 1958) (есть рус. пер.: Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1980).

2. Wigner, E.P. Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren (Braunschweig, 1931), pp. 251-253. Для безмассовых частиц см.: Wigner, E.P., in Theoretical Physics (International Atomic Energy Agency, Vienna, 1963), p. 64.

3. Wick, G.C., Wightman, A.S., and Wigner, E.P., Phys. Rev., 88, 101 (1952).

3a. См., например, в книге: S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), Section 2.1.

4. Inö nü , E. and Wigner, E.P., Nuovo Cimento, 9, 705 (1952).

5. Wigner, E.P., Ann. Math., 40, 149 (1939).

6. Mackey, G.W., Ann. Math., 55, 101 (1952); 58, 193 (1953); Acta Math., 99, 256 (1958); Induced Representations of Groups and Quantum mechanics (Benjamin, New York, 1968).

7. См., например, книги: Edmonds, A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1957), ch. 4 (есть рус. пер.: Эдмондс А. Угловой момент в квантовой механике. М.: Атомиздат, 1968); Rose, M.E.

Elementary Theory of Angular Momentum (John Wiley & Sons, New York, 1957), ch. 4; Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Изд. 3-е. М.: Наука, 1974, § 58; Wu-Ki Tung. Group Theory in Physics (World Scientific, Singapore, 1985), Sections 7.3 and 8.1.

8. Lee, T.D. and Yang C.N., Phys. Rev., 104, 254 (1956); Wu, C.S. et al., Phys. Rev., 105, 1413 (1957); Garwin, R., Lederman, L., and Weinrich, M., Phys. Rev., 105, 1415 (1957); Friedman, J.J. and Telegdi, V.V., Phys. Rev., 105, 1681 (1957).

9. Christenson, J.H., Cronin, J.W., Fitch, V.L., and Turlay, R.,

Phys. Rev. Letters., 13, 138 (1964).

10. Kramers, H., Proc. Acad. Sci. Amsterdam, 33, 959 (1930); см. также: Dyson, F.J., J. Math. Phys., 3, 140 (1962).

11. Bargmann, V., Ann. Math., 59, 1 (1954), Theorem 7.1.

12. См., например, книгу: Turnbull, H.W. and Aitken, A.C. An Introduction to the Theory of Canonical Matrices (Dover Publications, New York, 1961), p. 164.

13. См., например, книгу: Flanders, H. Differential Forms (Academic Press, New York, 1963), Section 3.6.

14. Введение в теорию гомотопических классов и групп см., например, в книгах: Hocking, J.C. and Young, G.S. Topology (AddisonWesley, Reading, MA, 1961), Chapter 4; Nash, C. and Sen, S.

Topology and Geometry for Physicists (Academic Press, London, 1983), Chapters 3 and 5.

15. Wigner, E.P., in: Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics, ed. by F. Gü rsey (Gordon & Breach,

New York, 1964), p. 37.

3

Теория рассеяния

Общие принципы релятивистской квантовой механики, изложенные в предыдущей главе, применялись нами до сих пор только к состояниям отдельных стабильных частиц. Такие одночастичные состояния сами по себе не очень интересны. Что-то нетривиальное может случиться только в том случае, когда две или более частицы взаимодействуют друг с другом.

Однако реальные эксперименты в общем случае не описываются простой последовательностью взаимодействий частиц. Поэтому (по крайней мере, в ядерной физике и физике элементарных частиц) рассматривается базисный модельный эксперимент, в котором несколько частиц сближаются друг с другом с макроскопиче- ски больших расстояний и взаимодействуют в микроскопически малой области, после чего продукты взаимодействия вновь разлетаются на макроскопические расстояния.

Физические состояния до и после соударения образованы частицами, столь удаленными друг от друга, что их можно считать невзаимодействующими, так что эти состояния можно описывать прямыми произведениями обсуждавшихся в предыдущей главе одночастичных состояний. В таком эксперименте измеряемой величи- ной является распределение вероятностей, или «сечения», для переходов между начальным и конечным состояниями удаленных друг от друга фактически невзаимодействующих частиц.

В данной главе описан формализм 1, использующийся для вы- числения этих вероятностей и сечений.

Мы часто используем сокращенное обозначение, заменяя весь набор p1, σ1, n1; p2, σ2, n2, ... какой-нибудь одной греческой буквой, например, α. Приняв такие обозначения, можно записать (3.1.2)

â âèäå:

ãäå δ(α′ − α) является суммой произведений дельта−функций и кро-

некеровских символов, стоящих в правой части (3.1.2). Кроме того, при суммировании по состояниям принимается, что

В частности, соотношение полноты для состояний, нормированных как в (3.1.3), имеет вид:

Закон преобразования (3.1.1) может быть справедлив только для частиц, которые по тем или иным причинам не взаимодействуют. Если положить Λνμ = δμν è aμ = (0, 0, 0, τ), òî U(Λ,a) = exp(iHτ), и среди прочего из (3.1.1) вытекает, что Ψα должно быть собствен-

ным состоянием энергии:

причем энергия есть просто сумма энергий отдельных частиц:

без каких-либо членов взаимодействия, т. е. слагаемых, которые определяли бы связь между несколькими частицами.

С другой стороны, закон преобразования (3.1.1) применим для процессов рассеяния в моменты времени t → ±∞. Как пояснялось

в начале этой главы, в типичном опыте по рассеянию начальные частицы в момент времени t → −∞ находятся так далеко друг от друга,

что их можно считать еще не взаимодействующими, а в конеч-

с ненулевой амплитудой g(α), медленно изменяющейся в некотором

интервале значений энергии E. Состояния ин и аут определяются так, что суперпозиция

exp(−iHτ)z dα g(α)Ψα ± = z dα e− iEnτ g(α)Ψα ±

ïðè τ << −1/ E èëè τ >> +1 / E имеет вид соответствующей су-

перпозиции состояний свободных частиц.

Чтобы конкретизировать сказанное, предположим, что генератор временных трансляций Н можно разбить на два слагаемых — гамильтониан свободных частиц Н0 и гамильтониан взаимодей-

причем собственные состояния Φα гамильтониана Н0 описываются так же, как и собственные состояния Ψα+ è Ψα− полного гамильтониана:

Подчеркнем, что спектр оператора Н0 предполагается совпадающим со спектром полного гамильтониана Н. Из этого следует, что массы, входящие в Н0, должны быть реально измеряемыми физическими массами, которые не обязательно совпадают с «голыми» массами, входящими в Н. Разница, если она существует, должна быть включена не в Н0, а в гамильтониан взаимодействия V. Кроме того, все возможные связанные состояния в спектре Н должны быть введены в Н0 так, как будто они являются элементарными частицами *.

Теперь ин- и аут-состояния могут быть определены как собственные состояния не Н0, à Í:

* В нерелятивистских задачах можно включить потенциальную энергию связи в Н0. Приложение такого метода к «соударениям с перестройкой», когда некоторое связанное состояние присутствует только в начальном, но не в конечном состоянии, или наоборот, требует различного разбиения Н на Н0 и V в начальном и конечном состояниях.

Формулу (3.1.12) можно переписать как требование, что exp(−iHτ)z dα gaαf Ψα ± → exp(−iH0τ)z dα gaαf Φα

äëÿ τ → −∞ èëè τ → +∞, соответственно. Иногда это соотношение

Однако следует иметь в виду, что Ω(å∞) в (3.1.13) приводит

к осмысленным результатам, только действуя на гладкую суперпозицию собственных состояний оператора энергии.

Немедленным следствием определения (3.1.12) является то, что ин- и аут-состояния нормированы точно так же, как состояния свободных частиц. Чтобы увидеть это, заметим, что поскольку левая часть в (3.1.12) получена действием унитарного оператора exp(−iHτ)

на не зависящее от времени состояние, его норма не зависит от времени и поэтому равна норме своего предельного значения при τ → ∞, т. е. норме в правой части формулы (3.1.12):

zdα dβ exp(−i(Eα − Eβ )τ) g(α) g* (β) (Ψβ± , Ψα ± )

=z dα dβ exp(−i(Eα − Eβ )τ) g(α) g* (β) (Φβ , Φα ) .

Так как это равенство предполагается выполненным для всех гладких функций g(α), то скалярные произведения должны быть

равны друг другу:

Для ряда приложений полезно получить явное, хотя и формальное решение уравнения (3.1.11) на собственные значения энергии, удовлетворяющее условиям (3.1.12). Запишем уравнение (3.1.11) в виде

ãäå ε − положительная бесконечно малая величина, введенная для того, чтобы придать смысл оператору, обратному к Eα − H0. Полу- ченные уравнения носят название уравнений Липпмана−Швингера 1à.

Мы используем (3.1.17) в конце следующего раздела, чтобы полу- чить несколько более строгое доказательство ортонормированности ин- и аут-состояний.

Остается показать, что уравнение (3.1.17) с добавками +iε è −iε в знаменателе удовлетворяет условию (3.1.12) для ин- и аут-

состояний, соответственно. Для этого рассмотрим суперпозиции