- •Глава 8.
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Краткая теория
- •8.2. Правило Лопиталя Краткая теория
- •8.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции Краткая теория
- •8.4. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба Краткая теория
- •8.5. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков Краткая теория
- •8.6. Применение производной в задачах с экономическим содержанием Краткая теория
- •Глава 9. Дифференциал функции Краткая теория
- •3.Свойства дифференциала:
- •5. Дифференциалы высших порядков.
- •9.7.9.8.
- •Глава 10. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •10.1.Неопределенный интеграл. Краткая теория
- •10.2. Интегрирование разложением.
- •10.3. Независимость вида интеграла от выбора аргумента функции.
- •10.4. Метод подстановки.
- •10.5. Метод интегрирования по частям.
- •10.6. Интегрирование некоторых функций, содержащий квадратный трехчлен.
- •10.7. Интегрирование рациональных функций.
- •10.138.
- •10.8. Интегрирование тригонометрических функций.
- •10.149.10.150.10.151.
- •Глава 11. Определенный интеграл Краткая теория
- •2. Свойства определенного интеграла:
- •11.1. Методы вычисления определенного интеграла
- •11.2. Геометрические приложения определенного интеграла. Краткая теория Площади плоских фигур
- •1.Если функциянеотрицательна на отрезке, то площадьпод кривойна( площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойи
- •Длина дуги кривой
- •Площадь поверхности вращения
- •Объемы тел вращения
- •11.38. 11.39..
- •Б. Несобственные интегралы от неограниченных функций Краткая теория
- •(11.25)
- •11.75. .
- •11.5. Использование понятия определенного интеграла в экономике
Глава 8.
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Краткая теория
Теорема Ролля.Пусть функция y=ƒ(x) удовлетворяет следующим условиям:
непрерывна на отрезке [a,b];
дифференцируема на интервале (a,b);
на концах отрезка принимает равные значения, т.е. ƒ(a) = ƒ(b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ(a,b), в которой производная равна нулю: ƒ′(ξ) = 0.
Теорема Лагранжа.Пусть функция y = ƒ(x) удовлетворяет следующим условиям:
непрерывна на отрезке [a,b];
дифференцируема на интервале (a,b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ(a,b), в которой выполняется равенство:
ƒ′(ξ) =.(8.1)
8.1.Выяснить, может ли быть применена теорема Лагранжа для функции+на отрезке:
а);б);в).
Решение.
а) Функция не является непрерывной в точкеx= 0, поэтому на данном отрезке теорема Лагранжа неприменима.
б)y′ =. Производная не существует в точкеx= 1, поэтому на этом отрезке теорема Лагранжа также не может быть применима.
в) на отрезкеоба условия теоремы Лагранжа выполнены, так что теорема применима.
Замечание. Если теорема Лагранжа не применима на отрезке [a,b], то это не означает, что в нем не может быть точки ξ, удовлетворяющей равенству (8.1).
8.2. Указать хотя бы одно значениеa, при котором функцияy=имеет на интервале (0;) точку, в которой производная обращается в нуль.
Решение.Очевидно, функция непрерывна на отрезке [0;] и дифференцируема в интервале (0;). Если при этом окажется, что ƒ(0) = ƒ(), то требуемая точка будет существовать по теореме Ролля. Таким образом, если выполняется равенство
e0 +acos0 =e+acos, то условие задачи будет выполнено. Рассматривая это равенство как уравнение относительноa, получаемa = -1.
Отметим, что найденное значение a, безусловно, не единственное, при котором условие задачи выполняется.
8.3. Найти все значенияa, при которых функцияy= (1+a2)удовлетворяет условиюy′ ≤ 2 при всехx(0;1).
Решение.Так как функция непрерывна на отрезке [0;1] и дифференцируема в интервале (0;1), то существует точка ξ(0;1) такая, что ƒ′(ξ) = ƒ(1)-ƒ(0) =
= 2(1 + a2) + 2-(1 +a2) = 3+a2 ≥3, при любых значенияхa. Таким образом, ни при каких значенияха условие задачи выполняться не может.
8.4. Функцияy=равна 1 приx =1 иx =-1, ноy′ ≠ 0 для всехx(-1;1). Выяснить, противоречит ли это условиям теоремы Ролля?
8.5. Выяснить, применима ли для функцииу = +на промежутке [-2;-1]:
а) теорема Ролля;б) теорема Лагранжа.
8.7. Дифференцируемая при всех значенияхх функцияу = ƒ(х) удовлетворяет условиям ƒ(2) = 5, ƒ(4) = 3. Для какого значенияа уравнение ƒ′(х) =а заведомо имеет решение?
8.8. Функцияу = ƒ(х) имеет производную, равнуюу′ = 2 ++sin(2х + 3). Может ли выполняться равенство ƒ(1)- ƒ(0) =sinα?
8.2. Правило Лопиталя Краткая теория
1. Теорема( правило Лопиталя).Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных ( конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:
=.(8.2)
Таким образом, правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида или.
2. Правило Лопиталя можно применять также и для раскрытия неопределенностей вида [0·∞]. Для этого произведениеf(x)g(x) следует записать в видеилии получить неопределенность видаили.
3.Если имеется неопределенность вида00или∞0, при вычислении предела функцииf(x)g(x), то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида [0·∞]. При этом используется соотношение (полученное на основе свойств логарифмов и непрерывности показательной функции):
.
8.9. Найти.
Решение.Так как в данном случае имеется неопределенность вида, можно применить правило Лопиталя(8.2):
===.
8.10.Найти
Решение.Имеет место неопределенность вида. Применяя правило Лопиталя(8.2), получаем:Как видим, неопределенность видаостается. Применим правило Лопиталя еще раз.
Найти предел .
Решение.Имеем неопределенность вида∞0. найдем
.
По формуле (8.3) .
8.13. Найти предел
Решение.Так как при, то. Таким образом, имеем неопределенность вида.
Сведем ее к неопределенности вида и применим правило Лопиталя(8.2):
= .
8.14. Найти предел.
Решение.Имеем неопределенность вида. Преобразуем искомый предели найдем отдельно предел, используя правило Лопиталя(8.2):
.
Таким образом, .
Найти пределы, используя правило Лопиталя:
8.15..8.16..8.17..
8.18..8.19..8.20.
8.21..8.22..8.23..
8.24..8.25..8.26..
8.27..8.28..8.29..
8.30..8.31..8.32..
8.33..8.34..