Лекция № 2

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдающиеся при массовом повторении испытаний.

Рис. 21. Блез Паскаль (1623 — 1662) — французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы,

один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Классическая теория вероятностей зародилась в XVII веке. Основы

теории вероятностей как науки заложили французские классики. Блез

Паскаль был первым, кто начал применять математику для анализа азартных

игр.

В XVIII и в начале XIX вв. другой классик, Пьер-Симон Лаплас,

продолжил изучение азартных игр и предложил первое математическое

определение вероятности. В своей основополагающей работе по теории

вероятностей «Аналитическая теория вероятностей» (“Théorie Analytique des

Probabilités”), опубликованной в 1812 г., он писал: «Замечательно, что науке,

которая начиналась с рассмотрения азартных игр, суждено было стать

наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь большей частью

важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из

теории вероятностей».

Рис. 22. Пьер-Симон де Лаплас (1749 —1827) — французский математик, механик, физик и астроном; известен работами в области

небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей

Во второй половине XIX в. основной вклад в теорию вероятностей

внесли русские математики: П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов, а

в XX в. - академик А. Н. Колмогоров и советская теоретико-вероятностная

школа. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический

вид и окончательно стала признаваться как раздел современной математики.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая

закономерности в случайных явлениях.

Испытанием называется осуществление на практике какого-нибудь

комплекса условий.

Событием называется всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит или оно не происходит при наличии комплекса условий.

Если событие при реализации определенного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, то оно называется случайным.

Случайные события представляют собой различные возможные исходы испытания.

Вероятность события (Р) определяется как частота, с которой это событие происходит в большой серии последовательных испытаний;

другими словами, это отношение числа «успехов» (ожидаемых результатов)

к общему числу испытаний. Таким образом, вероятность – это всегда число,

лежащее между единицей (событие происходит при каждом испытании) и

нулем (событие не происходит никогда).

Так, вероятность того, что при бросании кубической кости выпадет 6

очков, приблизительно равна 1/6. Приблизительно, но не точно, поскольку очки обычно обозначают на гранях маленькими углублениями, а,

следовательно, грань с 6-ю углублениями легче других и поэтому выпадает несколько чаще. Все утверждения относительно вероятностей, в конечном счете, основаны на эмпирических данных. Так, мы говорим, что вероятность выпадения 6-ти очков равна 1/6 не только потому, что у кости 6 граней, а и потому, что при многократном бросании костей 6 очков выпадает примерно в

1/6 части случаев.

Считают, что события, имеющие очень малую вероятность, в

единичных испытаниях не произойдут, т.е. такие события рассматривают как

практически невозможные. Если же вероятность события достаточно велика,

его принято считать практически достоверным. Этот принцип практической уверенности в прогнозировании исходов случайных событий позволяет использовать теорию вероятностей в практических целях.

Если в условиях испытания появление одного события исключает появление других событий, то такие события называются несовместимыми.

Вероятность, которую можно указать до опыта, называют априорной. В

некоторых случаях результаты отдельных испытаний заранее, до опыта,

предсказать невозможно; вероятность осуществления таких событий может быть установлена только после опыта, т.е. апостериорно.

Основные теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей: Вероятность суммы двух

несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в

появлении хотя бы одного их этих событий.

Например, если из орудия произведены два выстрела и А —

попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле,

то А+В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих

выстрелах.

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу

несовместимых событий.

Из теоремы сложения вытекает несколько следствий.

Пример. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков?

Решение. Выпадение того или иного количества очков на игральной кости – события несовместимые. Из всех возможных исходов успешными могут считаться выпадение 2-х, 4-х или 6-и очков. Вероятность любого из

ожидаемых событий составляет 1/6. Таким образом, вероятность выпадения четного количества очков составит: Р(четн.)=1/6+1/6+1/6=1/2.

Теорема умножения вероятностей: Понятие независимости событий

– важное понятие. Определяется оно следующим образом. Пусть имеется два события А и В и их вероятности равны Р(А) и Р(В) соответственно. Событие

А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Тогда вероятность того, что произойдут оба события Р(А и В), равна Р(А)·Р(В). Другими словами, два события независимы, если частота, с которой происходят оба события, равна произведению частот обоих событий, взятых отдельно.

Р(АВ) = Р(А)·Р(В) (4).

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим пример из области генетики. Вероятность того, что новорожденный ребенок окажется мальчиком, примерно равна 1/2. В

действительности доля мальчиков в общем числе новорожденных не всегда и не везде одинакова, но чтобы упростить рассуждения, мы будем считать, что мальчики составляют ровно 1/2 общего числа новорожденных.

А какова вероятность того, что в семье с двумя детьми оба мальчики?

Казалось бы, здесь уместно следующее рассуждение: поскольку возможно три типа семей: 1) два мальчика; 2) две девочки; 3) один мальчик и одна девочка, то вероятность того, что в семье будет два мальчика, равна 1/3.

Однако такое рассуждение неправильно, потому что семьи с двумя разнополыми детьми более вероятны, чем семьи двух других типов.

В данном случае есть два способа получить правильный ответ. Первый из них основан на том, что если учитывать последовательность рождений, то число типов семей в действительности равно не 3, а 4: мальчик - мальчик,

мальчик - девочка, девочка - мальчик и девочка - девочка. Если предположить, что все 4 типа семей встречаются одинаково часто, то вероятность семьи с двумя мальчиками будет равна 1/4. Наблюдения показывают, что это соответствует действительности, однако на каком основании мы предположим, что семьи всех 4-х типов встречаются одинаково часто?

В этом рассуждении мы, кроме предположения, что половина всех новорожденных – мальчики, должны сделать еще одно предположение. Мы предполагаем, что если первый ребенок мальчик, вероятность того, что и второй ребенок будет мальчиком, все равно остается равной Р(В)=1/2,

другими словами, что пол второго ребенка не зависит от пола первого.

Таким образом, в половине всех семей с двумя детьми первый ребенок мальчик, и в половине семей от этой половины второй ребенок тоже будет мальчик. Значит, вероятность того, что в семье будет два мальчика, равна

Р(АВ)=1/2·1/2=1/4. Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к выводу, что вероятность и всех других типов семей также равна 1/4.

Условные вероятности. До сих пор мы рассматривали только

независимые события. Но нам часто может понадобиться найти вероятность того, что произойдут два события, причем вероятность одного из них зависит от того, произошло или нет другое.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и

обозначается Р(А|В) или РВ(А).

Условная вероятность события А при условии наступления события В равна:

В рассмотренной схеме событие А осуществляется только вместе с каким-либо из событий B1, B2 …Bn. Последние, таким образом, выступают как единственно возможные и взаимно исключающие условия,

определяющие появление события А, или как гипотезы, в предположении которых (и только их) может произойти событие А.

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть, например, мы знаем, что в семье с тремя детьми есть девочка, и

нас интересует вероятность того, что у этой девочки есть старший брат.

Очевидно, вероятность зависит от того, старшая, средняя или младшая из детей эта девочка. Для того, чтобы решить эту задачу, мы должны четко представить, что в данном случае означает вероятность. Мы определили вероятность как отношение числа «успешных испытаний» к общему числу

«испытаний». В данном случае можем представить себе, что собрали всех девочек страны и отобрали из них тех, в семье которых есть, кроме них, еще два ребенка. Эти отобранные девочки и будут представлять собой

«испытания». Те из них, у кого есть старший брат, соответствуют

«успешным испытаниям».

Из отобранных нами девочек:

Р(В1)=1/3 будут старшими в семье и у них старших братьев не будет

(Р(А|В1)=0);

Р(В2)=1/3 будут средними и у половины из них будут старшие братья

(Р(А|В2)=1/2);

Р(В3)=1/3 будут младшими и по крайней мере один старший брат будет у 3/4 из них (так как вероятность того, что из двух старших детей по крайней мере один мальчик, равна 3/4) (Р(А|В3)=3/4);.

Итак, искомая вероятность равна:

Р(А)=1/3 0+1/3 1/2+1/3 3/4=5/12.

Подобные расчеты часто используются при применении близнецового метода исследования признаков.

Формула Байеса. Пусть дана группа несовместных событий B1, B2 …Bn и

некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АB1, АВ2... АВn. И

пусть даны вероятности Р(B1), Р(В2,...Р(Вn) и условные вероятности Р(А|В1),

i 1

Эта формула называется формулой Байеса.

События Вi называют гипотезами, а теорему Байеса - теоремой гипотез.

Вычисление общих вероятностей всегда начинают с некоторых допущений, а затем рассчитывают вероятность некоторого определенного события. При расчете обратных вероятностей задача состоит в том, чтобы,

исходя из некоторого имевшего места события или группы событий,

определить вероятность того, что некоторое общее утверждение более или менее истинно. В такой форме задача неразрешима и, более того,

бессмысленна, если под «вероятностью» мы имеем в виду «частоту события». Общее утверждение не может быть истинным только в некоторой

доле случаев. Однако существует класс задач, в которых «обратное рассуждение» применяется для вычисления вероятности того, что некоторое утверждение истинно. Утверждение не может носить общего характера и быть иногда ложным, а иногда истинным. Приведем пример, поясняющий этот метод.

Предположим, что женщина с группой крови 0 выходит замуж за мужчину с группой крови АВ и у нее рождаются двое мальчиков-близнецов с группой крови В. Если это все, что нам известно, то какова вероятность того,

что эти близнецы однояйцовые?

Трудность заключается в следующем: если бы мы знали, что двое близнецов, родившихся от такого брака, однояйцовые, то было бы нетрудно рассчитать вероятность принадлежности их обоих к группе крови В, но ведь нам предложено решить обратную задачу. Начнем с простого. Генетическая схема наследования групп крови будет иметь следующий вид:

ОО ВА

Таким образом, вероятность того, что оба двуяйцовых близнеца имеют группу крови В, равна 1/2·1/2=1/4. В случае однояйцовых близнецов вероятность того, что первый будет иметь группу крови В, равна 1/2; второй будет, разумеется, иметь ту же группу крови. Таким образом, вероятность того, что оба однояйцовых близнеца будут иметь группу крови В, равна 1/2.

Р(2В | дв.) =1/4; Р(2В | одн.) = 1/2.

Нам же нужно определить Р(одн. | 2В), т.е. вероятность того, что близнецы однояйцовые, при условии, что оба они имеют группу крови В. Эту