38. 38. Ряды с неотрицательными членами. Признак сходимости.

Пусть E(1,oo)a_n и любой а_nнеравен0

Тm. Для того, чтобы ряд с неотриц. Членами сходился н. и д. , чтобы послед. Частичных сумм {S_n} этого ряда была ограниченной.

Доказ. Необходимость: пусть ряд E(1,oo)a_n сходится, тогда по опред послед. Частичных сумм {S_n} также сходится, следовательно по tm всякая сходящаяся послед. Ограничена

Достаточность: пусть {S_n} – ограниченная последовательность ,т.к. любой а_n0, то 0<

=S₁<=S₂<=…..<=S_n, т.е. послед. Монотонная неубывающая, по tm всякая Монотонная неубывающая последовательность сходится, и ряд также сходится

39. Признак сравнения.

Пусть для двух рядов си неотрицательными членами E(1,oo)an=a1+a2+...+an (1)и E(1,oo)bn=b1+b2+...+bn(2) (2)выполняется неравенство ab для всех n. Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а расходимость ряда (1) влечет за собой расходимость ряда (2)

40. Признак Даламбера.

Пусть дан ряд E(1,oo)a_n (1) с положительными членами и существует

предел lim(n->oo) ((a_n+1)/(a_n))=p. Тогда:

а) при p<1 ряд сходится; б) при p>1 ряд расходится; в) при р=1 - ?

Интегральный признак Коши. 

Пусть дан ряд f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…= Ef(n) (2) , члены которого являются значениями некоторой функции f(x , положительной, непрерывной и убывающей на +oo полуинтервале [1, +oo). Тогда, если ∞ ∫(1,n+1) f(x)d'x (3)(несобств) сходится, то сходится и ряд (2).Если же (3)расходится , то и ряд (2) также расходится.

[Т] признак Коши.

Пусть дан ряд сумма ∞∑n=1 а_n для любого n Q≥0 то сущ P= lim при n→∞ √a_n (корень в степени n),тогда если: а) р<1,то ряд сходится; б) р>1,ряд расходится; в) р=1, - ?.

39. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)^(ⁿ⁺¹⁾a_n+…, (1) где a_n>0. Признак сходимости Лейбница: теорема: Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: a₁>a₂>a₃>…и общий член ряда стремится к нулю: lim(n->oo) a_n = 0, то ряд сходится.

39. Знакопеременные ряды, их сходимость.

Знакопеременный ряд: a₁ + a₂ +a₃+…+a_n+…= E(1,oo)a_n (1), где числа а₁…могут быть как положительными, так и отрицательными, причём расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассматривается ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=Eа_n (2).Такой признак сходимости – теорема:

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1),при этом ряд (1) назыв абсолютно сходящимся.

Замечание. Данное условие явл достаточным,но не необходимым.

Ряд (1) назыв словно сход,если он сходится,а ряд (2) расходится.

Замечание2. Абсолютно сход и условно сход ряды обладают разными св-ами.

39. Степенные ряды.

Ряд вида a₀ + a₁x +a₂x² +a₃x³+…+a_nx^ⁿ+…=E(o,oo)a_nxⁿ (1) называется степенным рядом.

Числа a₀, a_1, a_2,…,a_n,… называются коэффициентами степенного ряда.

Мн-во тех Х,прикоторых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Замечание. Это множество всегда не пусто, т.к. любой степенной ряд сходится при х=0.

Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд (1) сходится при х=х₀ (х₀не равном 0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию яl хl<lх₀l.

2. Если ряд (1) расходится при х= х₁,то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию lхl<lх₁l.

Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

Если ряд E(0,oo) аn х^n (1) сходится на при всех значениях х и не только при х=0, то существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при lxl<R и расходится при l хl>R.

Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание. Интервал сходимости равен +∞,если ряд сходится на всей числовой прямой.

Если R=0,то ряд сходится.Только при х=0,т.е. любоц степенной ряд имеет свой радиус сходимости.На концах интервалов ряд может сходиться,а может расходиться.

Теорема о радиусе сходимости степенного ряда

Если существует предел lim(n->oo)lаn+1/anlне равно0 ,то радиус сходимости степенного ряда E(0-00)аnх^n(1) равен R= lim(n->oo)lan/an+1l.

39. Св-ва степенных рядов.

Теорема:Если ф-ция f(x) на интеграле (-R;R) разлагаема в степеннои ряд f(x)=(a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…(6),то она дифференцируема на этом интервале и её производная f ' (x) может быть наидена почленным дифференцированием ряда (6), т.е. f ‘ (x)=(a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…) ’ =a1+2a2x+3a3x^2+…+nanx^(n-1)+…Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка ф-ции f(x) .При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости что и ряд (6)

Теорема:Если ф-ция f(x) на интервале ( -R;R) разлогается в степеннои ряд (6), то она интегрируема в интервале ( -R;R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием ряда (6) т.е. если х1,х2Є( -R;R), то

Х1∫х2 f(x)dx=x1∫x2(a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…)dx=x1∫x2a0dx+x1∫x2 a1xdx+…x1∫x2 anx^ndx+…

39. Разложение ф-ии в степенные ряды.Ряды Тейлора и Маклорена.

Определение:Пусть ф-ция f(x) явл. суммой степенного ряда s, т.е. f(x)=n=0∑∞ anx ⁿ (*), интервал сходимости которого(-R;R). Тогда говорят, что на интервале (-R;R) степенная ф-ция f(x)разлагается в степенной, ряд или в ряд по степеням x.

Замечание В ряде случаев рассматривают степенные ряды более общего вида g(x) n=0∑∞ a_n*(x-c) ⁿ=a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)² +a₃(x-c)³ +…

При этом говорят что ф-ция g(x) разлагается в степенной ряд по степеням x-c. Второй случай заменим y = x -c –сводится к первому.

Теорема : Если ф-ция f(x) на интервале (-R,R) разлагается в степенной ряд (*), то это разложение единственно, а коэффициенты определ. по форм. a₀=f(0), a_n=f⁽ⁿ⁾(0)/n!, n≥1

Получим что f(x)=f(0)+f ’ (0)+f ”(0)*x²/2+…+ f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!+…(**)

Формула (**) называется рядом Маклорена.

F(x)=f( c)+f ‘ (c)*(x-1)/1!+f “ (c)*(x-2)² / 2!+…+ f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+..-ряд Теилора

39. Диффер ур-ния 1-го порядка.Решение ур-ния.Теорема Коши и ее геом смысл.

Определение 1. Уравнение вида Р (х, у, у'} = О (1)

где х — независимая переменная', у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно y', то оно принимает вид

У' =f(х, у} . (2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относитель-но производной. Будем рассматривать именно такие уравнения. В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде

dy/dx=f(x,y) или в виде /f(х, у) dх- dу = 0, являющемся част-ным случаем более общего уравнения

-

Р (х, у)dх + Q (х, у) dу =О, (3)

где Р (х, у] и Q (х, у] — известные функции. Уравнение в симмет-ричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равно-правны- Т. E каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Примеры диф Ур вида 2 и 3

Решением диф Ур первоо порядка наз функция y=Ф(х), х э (а,в), которая при подстановке в Ур обращ его в верное тождество. Пример

График реш диф Ур на интегральной кривой.

Коши. Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение У' =f(х, у} (2) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о суще-ствовании и единственности решения дифференциального уравне-ния (2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема 15.1. (теорема Коши)**. Если функция f (х, y) и ее частная производная f'у (х, у) определены и непрерывны в некото-рой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя тoчка (X0; у0) области G, в некоторой окрестности этой точки су-ществует единственное решение уравнения у' =f(х, у), удовлетво-ряющее условиям:

у = у0 при х = .x0.(4)

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (2) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее не-известно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутрен-нюю точку (х0; y0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (2) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (4), в силу которых функция у=Ф(у) принимает за-данное значение у0„ в заданной точке х0, называют начальными усло-виями решения и записывают обычно так:

у\x=xо = Уо. (5)

Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего началь-ным условиям (5), — одна из важнейших задач теории дифферен-циальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С гео-метрической точки зрения решить задачу Коши — значит из мно-жества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (х0;у0) плоскости Оху.

Точки плоскости, через кот либо прох более одной инт кривой, либо не прох ни одной, наз особыми точками данного Ур.

39. Общее и частное решение диффер ур-ния.

Общим решением Ур-ния У' =f(х, у}(2) в некоторой обл G плоскости ОХУ наз функция у=Ф(х,С), завис от х и произвольной пост С, если она явл решением Ур (2) при любом значении постоянной С, и если при люб начальных условияхуl(Х=Хо) = Уо. (5) таких, что (х0; у0) принадл G , существует единственное значение постоянной С = С0 такое, что функция У= ф (х, С0) удовлетворяет данным начальным условиям ф (х0, С0)=у0

определение 4. Частным решением уравнения (2) в области G

называется функция у = ф (х, C0), которая получается из oбщего решения у=Ф(х,С) при определенном значении постоянной С = С0 Геометрически общее решение у = ф (х, С) представляет собой

семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от

одной произвольной постоянной С, а частное решение у = ф (х0,,С0)

— одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х0; у0).

Иногда начальные условия (5) называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.

Пример 1. Рассмотрим уравнение у' = Зх^2.

Данное уравнение является дифференциальным уравнен первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Кс так как функции f(х, у) =Зх2 и f'у (х, у] = О определены и не рывны на всей плоскости Оху. Легко проверить, что функция y= х^3 + С, где С — произвольная постоянная, является общим! решением данного уравнения во всей плоскости Оху.

Геометрически это общее решение представляет собой семейство кубических парабол. При различных значениях постоянной получаем различные решения данного уравнения. Например, если С = 0, то у —=х3, если С = —1, то у = хя — 1, если С = 2, у = х3 + 2, и т. д.

Для решения какой-нибудь задачи Коши, т. е. отыскания частного решения, зададим произвольные начальные условия:

Х=х0 у = УО. Подставляя эти значения в общее решение

у = х3 +С вместо х и у, получаем у0 = Хо + С, откуда

С = у0 — х3. Таким образом, найдено частное решение

у•= х3 + у0 — х03. Геометри чески это означает, что из семейства кубических парабол у = х3 +С выбрана одна, проходящая через заданную точку (х0; у0)

Пример 2„ Рассмотрим уравнение у' = —у/х.

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Функции f (х, у) = —у/х и f’y (х, у] = —1/х непрерывны при х <>0. Следовательно, во всей плоскости Оху, кроме оси Оу, это уравнение удовлетворяет условиям теоремы Коши.

Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнен в областях у > 0 и у < 0 является функция у = С/х, где С произвольная постоянная. При различных значениях постоянной получаем различные решения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начал ным условиям х0 = 1, у0 = 1. Имеем 1 =С/1. Отсюда С = 1 и искомое частное реш у=1/х

Геометрически общ реш данного Ур предст собой семейство гипербол у=с/х, кажд из кот изображ частное реш данного Ур. Задавая нач усл х0=1 у0=1, выд из всего семейства ту гиперболу, кот проходит через точку (1;1) плоскости Оху( рис222). Через точки леж на оси Оу, не проходит ни одной инт кривой, т.е. это особые точки Ур.

Геометрический смысл уравнения, пусть дано дифференциаль-ное уравнение первого порядка у' = f (х, у] и пусть функция у =Ф (X) — его решение. График решения представляет собой не-прерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную.

39. Ур-ния с разделяющимися переменными.

Определение 5. Урав-нение вида

У' = f1 (x) *f2(y) (6)

где f1(х) и f2 (у) — не прерывные функции,

называется диф уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания решения уравнения (6) нужно

разделить в нем переменные. Для этого заменим в (6) у' на

dy/dx, разделим обе части уравнения на f2 (у] (предполагаем

f2 (у) <>0) и умножим на f(x) Тогда уравнение (6) принимает вид

dy/f2(y)=f1(x)dx (7)

В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а переменная у — только в левую (т. е. переменные разделены). Предполагая, что функция у = ф (х) является решением уравнения, и подставляя ее в тождество(7), получаем тождество.

Интегрируя тождество, получаем

Sdy/f2(y)=Sf1(x)*dx+c (8)

где С =С.2 — С1 — произвольная постоянная.

Соотношение (8) определяет неявным образом общее решение

уравнения (6).

39. Линейные ур-ния.Метод вариации.

Определение 6. Уравнение вида

У' + Р (х) *У = f(х),

где P (х) и f (х) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

Если f(х) == 0(тождественно), то уравнение (10) называется линейным однородным уравнением

Для нахождения общего решения уравнения (10) может применен метод вариации постоянной.

В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения

у' + р(х)у = О, (11)

соответствующего данному неоднородному уравнению (10). Ур-нение (11) является уравнением с разделяющимися переменными; Разделяя переменные и интегрируя, имеем

dy/y= -р(х) dх,

lnlyl = - S р (х)dx+ln IC1 I

lyl/lc1l=-Sp(x)dx

Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (11):

у = ±С1*e ^-Sр(х)dх, или у = С*e^ -Sр(х)dх, где у = ±С1*e^ -Sр(х)dх, или у = С*e ^-Sр(х)dх, где

С = ±C1 — произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение Ур(10) в виде (12), где С будем принимать не постоянной, а новой неизв функцией от х, т.е. в виде

y=C(x)*e^-Sp(x)dx

Чтобы найти функцию С (х) и, тем самым, решение в виде (13), ставим функцию (13) в уравнение (10). Получим

C'(x)*e^-Sp(x)dx-C(x)*p(x)*e^(-Sp(x)dx)+p(x)*C(x)*e^-Sр(х)dх=f(x)

или c'(x)=f(x)*e^Sр(х)dх(14)

Итак чтобы функция (13) являлась решением уравнения(10), функця С (х) должна удовлетворять уравнению (14). Интегрируя находим

C(x)=Sf(x)*e^(Sр(х)dх)dx+c1

С1 — произвольная постоянная. Подставляя найденное выра-ие для С (х} в соотношение (13), получаем общее решение линейного уравнения (10):

. y(x)=c1*e^-Sр(х)dх+e^-sр(х)dх*Sf(x)*e^S(р(х)dх)dx(15)