MatAnal2

Z Z Z Z

= [(rv, (rur) a) − (ru, (rvr) a)] dudv = (ru, rv, rot a) dudv,

Ω Ω

где последнее равенство вытекает из (25.5). Если теперь воспользоваться

полученной ранее следующей формулой сведения поверхностного инте-

грала II рода к двойному –

Z Z Z Z

(a, n) dS = (a, ru, rv) dudv,

Σ Ω

то получим

Z Z Z Z Z

(a, dr) = (ru, rv, rot a) dudv = (rot a, n) dS,

∂Σ Ω Σ

и тем самым теорема доказана.

Формулу Стокса легко можно распространить на случай кусочно гладкой поверхности Σ. Действительно, для этого поверхность Σ нужно разрезать на конечное число гладких поверхностей Σi, записать для каждой из

них формулу Стокса, сложить и учесть, что криволинейные интегралы по разрезам взаимно уничтожаются т. к. разрезы входят в ориентированные границы кусков с противоположными ориентациями.

25.4Потенциалы в R3

Пусть в области G R3 задано непрерывное векторное поле

a = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).

Аналогично тому, как было дано определение в R2, поле a назовем потенциальным в области G, если существует такая функция U , что a = grad U ,

т. е.

При этом функция U называется потенциалом поля a.

Аналогично тому, как были доказаны соответствующие теоремы о потенциалах в плоском случае, можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы непрерывное в области G R3 поле a = (P, Q, R) было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы

было выполнено условие

ZZ

В R3 аналогом односвязной области в данных вопросах является понятие линейной односвязности. Область G R3 называется линейно односвязной, если на любой простой кусочно гладкий контур G можно натянуть кусочно гладкую поверхность Σ G.

Теорема 2. Пусть поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G R3. Для того чтобы оно было потенциальным, необходимо, а в случае линейной односвязности области G – и достаточно, чтобы всюду в G было выполнено равенство rot a = 0.

Доказательство этой теоремы основано на применении формулы Сток-

са. Оно аналогично доказательству соответствующей теоремы для потенциальных полей в R2 и поэтому мы его опускаем.

Условие rot a = 0 в терминах координатных функций P , Q и R можно

25.5Соленоидальные поля

Пусть в области G R3 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле a = (a1, a2, a3). Это векторное поле a называется соленоидальным на G, если на G существует такое векторное поле W = (P, Q, R), вихрь которого равняется a, т. е.

Такое векторное поле W называют векторным потенциалом поля a.

Теорема 1. Для того чтобы векторное поле a = (a1, a2, a3) было соленоидальным в области G, необходимо и достаточно, чтобы было

выполнено равенство

div a = 0,

или, в координатной форме,

∂a∂x1 + ∂a∂y2 + ∂a∂z3 = 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть поле a соленоидальное, т. е. существует векторный потенциал W поля a. Поскольку a = rot W , то

div a = div rot W = 0,

где последнее равенство было установлено ранее.

Достаточность. Пусть div a = 0. Для нахождения векторного потенциала W = (P, Q, R) имеем следующую систему дифференциальных

уравнений в частных производных:

268 Четвертый семестр

Мы ищем по крайней мере одно частное решение этой системы. Положим

R(x, y, z) ≡ 0. Тогда получим

Зафиксируем точку (x0, y0, z0) G. Тогда из первого уравнения системы

получим Z z

Q(x, y, z) = − a1(x, y, ζ) dζ + ϕ(x, y),

z0

где функция ϕ(x, y) будет определена ниже. Одно из решений второго

уравнения системы имеет вид

Но условие div a = 0 влечет за собой то, что подынтегральное выражение в правой части последнего равенства равно ∂a∂z3 (x, y, ζ), а левая часть, согласно последнему уравнению системы, равняется a3(x, y, z). Поэтому получаем такое уравнение для нахождения неизвестной функции ϕ:

a3(x, y, z) = Z z ∂a3 (x, y, ζ) dζ + z0 ∂z

Учитывая, что

Z z ∂a3 (x, y, ζ) dζ = a3(x, y, z) − a3 (x, y, z0) , z0 ∂z

получаем

∂ϕ

∂x (x, y) = a3 (x, y, z0) .

Отсюда находим

Z x

ϕ(x, y) = a3 (ξ, y, z0) dξ + ψ(y),

x0

где ψ – произвольная функция переменной y. Так как мы ищем частное решение системы, то можем положить ψ(y) ≡ 0.

Итак, мы нашли векторный потенциал поля a = (a1, a2, a3) в таком

виде:

Выясним, какие еще бывают векторные потенциалы W1 для заданного векторного поля a = (a1, a2, a3), кроме того, которое мы построили при доказательстве теоремы 1. Пусть W1 – другой векторный потенциал поля a. Тогда имеем

a = rot W, a = rot W1,

откуда следует, что rot (W1 − W ) = 0. Итак, W1 = W + U , где векторное поле U таково, что rot U = 0. При изучении потенциальных полей мы установили (теорема 2), что для линейно односвязной области G условие rot U = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы векторное поле U

было потенциальным. Поэтому мы приходим к такому утверждению

Теорема 2. Пусть в линейно односвязной области G непрерывно дифференцируемое векторное поле a таково, что div a = 0. Тогда совокупность всех векторных потенциалов поля a имеет следующий вид:

µZ z

W = a2(x, y, ζ) dζ + U1(x, y, z),

z0

Z Z ¶

− a1(x, y, ζ) dζ + a3 (ξ, y, z0) dξ + U2(x, y, z), U3(x, y, z) ,

z0 x0

где поле U = (U1, U2, U3) потенциальное на G.

Напомним, что согласно формуле Остроградского – Гаусса, для любой

области Ω G справедливо равенство

Z Z Z Z Z

(a, n) dS = div a dxdydz.

∂Ω Ω

Вместе с теоремой 1 это равенство приводит к такому утверждению.

Теорема 3. Для того чтобы векторное поле a было соленоидальным в линейно односвязной области G, необходимо и достаточно, чтобы поток этого поля через любую замкнутую поверхность ∂Ω, ограничиваю-

щую область Ω G, равнялся нулю, т. е.

Z Z

(a, n) dS = 0.

∂Ω

Эта теорема объясняет название "соленоидальное поле". Термин "соленоид" происходит от греческого слова "трубка", а соленоидальное поле иначе называют еще трубчатым полем. Теорема 3 показывает, что любая область Ω G имеет "свойство трубки", т. е. "количество" векторного поля, "поступившего" в Ω, равно "количеству" поля, "вытекшего" из Ω.

Экзаменационные билеты

Третий семестр

Билет 1.

1.Определение числового ряда, частичной суммы. Понятие сходящегося и расходящегося ряда. Примеры. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие (необходимое условие сходимости). Расходимость гармонического ряда.

2.Теорема Римана о стремлении к нулю коэффициентов Фурье по тригонометрической системе.

Билет 2.

1. Связь сходимости ряда со сходимостью его остатков. Стремление

к нулю остатков сходящегося ряда. Теорема о сходимости суммы сходящихся рядов и произведения на постоянную. Критерий сходимости ряда с неотрицательными слагаемыми. Обобщенный гармонический ряд и условия его сходимости.

2. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственных интегралов.

Билет 3.

1.Признак сравнения для числовых рядов (в форме неравенств и в предельной форме). Признаки Даламбера и Коши (в форме неравенств и

впредельной форме). Интегральный признак сходимости числового ряда.

2.Скалярное произведение и его свойства. Скалярное произведение в пространстве кусочно непрерывных функций. Неравенство Коши – Буняковского. Норма и ее свойства. Ортогональность и ортонормированнные системы. Тригонометрическая система функций. Представление коэффициентов равномерно сходящегося ряда с помощью интегралов. Определение коэффициентов Фурье. Понятие ряда Фурье. Минимальное свойство частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Стремление к нулю коэффициентов Фурье.

Билет 8.

1.Бесконечные произведения – определение и примеры. Необходимое условие сходимости бесконечного произведения. Связь бесконечных произведений с рядами.

2.Неравенство Коши – Буняковского для рядов. Теорема о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно непрерывно дифференцируемой функции.

Билет 9.

1.Понятие последовательности функций и функционального ряда, область сходимости. Примеры. Определение равномерной сходимости последовательности функций и функционального ряда. Примеры равномерно и неравномерно сходящихся последовательностей и рядов. Геометрический смысл равномерной сходимости.

2.Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственных

Билет 10.

1.Критерий Коши равномерной сходимости последовательности функций и функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда. Примеры.

2.Дифференцирование собственного интеграла, зависящего от параметра, с постоянными пределами интегрирования.

Билет 11.

1.Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функционального ряда.

2.Определение кусочно непрерывно дифференцируемой функции, формула интегрирования по частям. Теорема о почленном дифференцировании ряда Фурье.

Билет 12.

1.Теорема о непрерывности предела последовательности непрерывных функций и ее аналог для рядов. Пример, показывающий, что условие равномерной сходимости отбросить нельзя. Пример, показывающий, что условие равномерной сходимости не является необходимым.

2.Интегрирование несобственного интеграла, зависящего от параметра, в собственном смысле.

Билет 13.

1.Теорема о почленном интегрировании последовательности непрерывных функций и функционального ряда. Примеры, показывающие, что условие равномерной сходимости отбросить нельзя. Теорема об интегрируемости предела последовательности интегрируемых функций.

2.Замкнутые ортономированные системы, равенство Парсеваля и сходимость ряда Фурье по норме пространства. Полнота ортонормированной системы и ее связь с замкнутостью.

Билет 14.

1.Теорема о дифференцируемости предела последовательности непрерывно дифференцируемых функций и ее аналог для рядов. Примеры, показывающие, что условие равномерной сходимости отбросить нельзя. Теорема о дифференцируемости предела последовательности дифференцируемых функций и ее аналог для рядов. Примеры, показывающие, что условие равномерной сходимости отбросить нельзя.

2.Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими полиномами.

Билет 15.

1.Теорема о перестановке предельных переходов для последовательности функций и ее аналог для рядов. Пример, показывающий, что условие равномерной сходимости отбросить нельзя.

2.Представление частичной суммы ряда Фурье по тригонометрической системе с помощью ядра Дирихле. Ядро Дирихле и его свойства. Принцип локализации.