MatAnal2

Аналогично можно показать, что длина другой стороны криволиней-

ного параллелограмма равна |rv (u0, v0)| · v + o(Δv).

Таким образом, естественно считать, что площадь криволинейного па-

раллелограмма приближенно равна площади S параллелограмма, построенного на векторах ru · u и rv · v. Найдем эту площадь. Для этого

обзначим

|ru (u0, v0)|2 = (ru, ru) ≡ E, |rv (u0, v0)|2 = (rv, rv) ≡ G, (ru, rv) ≡ F.

Тогда получим, что

S = |[ru · u, rv · v]| = u v |[ru, rv]| .

Но поскольку для двух любых векторов a и b справедливы равенства

Замечание. Выше было показано, что в любой точке (u, v) Ω век-

торы ru и rv неколлинеарны, т. е. [ru, rv] 6= 0. Поэтому и в любой точке

области Ω имеем EG − F 2 = |[ru, rv]|2 > 0.

√

Определение. Выражение dS = EG − F 2 dudv называется элементом площади поверхности. Площадь поверхности Σ определяется фор-

мально равенством

Z Z Z Z p

S(Σ) = dS = EG − F 2 dudv.

Ω Ω

Такое определение оправдано приведенными выше эвристическими рассуждениями. С практической точки зрения для вычисления площади поверхности находим

E = (ru, ru) = (ϕui + ψuj + χuk, ϕui + ψuj + χuk) = ϕ2u + ψu2 + χ2u,

итогда площадь S(Σ) поверхности Σ равна

Z Z q

(ϕ2u + ψu2 + χ2u) (ϕ2v + ψv2 + χ2v) − (ϕuϕv + ψuψv + χuχv)2 dudv.

Ω

Свойства площади поверхности.

1. Площадь S(Σ) не зависит от параметризации поверхности Σ.

Доказательство. Если два параметрических представления поверхности ρ = ρ (u0, v0) ((u0, v0) Ω0) и r = r(u, v) ((u, v) Ω), то u = u (u0, v0) ,

ZZ

=|[ru, rv]| dudv.

Ω

которое было получено ранее.

2. Если Σ – плоская измеримая по Жордану область Ω, заданная уравнениями x = u, y = v, z = 0 ((u, v) Ω), то площадь поверхности Σ совпадает с мерой Жордана плоской области Ω.

Доказательство. Поскольку r = r(u, v) = (u, v, 0), ru = (1, 0, 0),

rv = (0, 1, 0), E = (ru, ru) = 1, G = (rv, rv) = 1, F = (ru, rv) = 0, то

Z Z p Z Z

S(Σ) = EG − F 2 dudv = dudv = m(Ω).

Ω Ω

3. Если поверхность задана как график непрерывно дифференцируемой на замкнутой области Ω функции f (x, y), т. е.

© ª

Σ = (x, y, z) R3 : z = f (x, y), (x, y) Ω ,

то Z Z q

S(Σ) = 1 + (fx0 )2 + ¡fy0 ¢2 dxdy.

Ω

E = (ru, ru) = 1 + (fu0 )2 , G = 1 + (fv0 )2 , F = fu0 fv0 ,

³ ´ ³ ´

EG − F 2 = 1 + (fu0 )2 1 + (fv0 )2 − (fu0 )2 (fv0 )2 = 1 + (fu0 )2 + (fv0 )2 .

Отсюда сразу следует требуемое равенство.

4. Площадь поверхности аддитивна относительно поверхности.

Это свойство является следствием свойства аддитивности двойного интеграла относительно области интегрирования.

Площадь почти простой поверхности. Выше мы определили почти простую поверхность Σ как образ замыкания области Ω при отображении r = r(u, v), таком, что найдется последовательность областей

Ωn Ωn+1, Ω = ∞n=1Ωn, где поверхности Σn – образы областей Ωn – про-

стые. Естественно под площадью почти простой поверхности понимать следующую величину –

где интеграл справа понимается как несобственный в определенном по-

следним равенством смысле. Если область Ω измерима по Жордану, а

√

функция EG − F 2 ограниченная на Ω, то последний интеграл является двойным интегралом Римана по Ω.

Упражнение. Доказать, что EG − F 2 = A2 + B2 + C2, где

Отсюда получаем еще одну формулу для вычисления площади –

Z Z p

24.2Поверхностные интегралы первого рода

Пусть Σ – простая поверхность, заданная уравнением r = r(u, v) ((u, v) Ω). Далее, пусть на поверхности Σ задана непрерывная функция F (x, y, z). Поверхностным интегралом I рода от функции F по поверхности Σ будем

называть такой интеграл:

Z Z Z Z

F dS ≡ F (x, y, z) dS =

Σ Σ

ZZ

=F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |[ru, rv]| dudv =

Ω

Z Z p

= F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F 2 dudv.

Ω

Определенный таким образом поверхностный интеграл I рода не зависит от способа параметризации поверхности Σ. Это доказывается точно

так же, как было доказано, что площадь поверхности не зависит от способа ее параметризации. Аддитивность поверхностного интеграла I рода

вытекает из аддитвности двойного интеграла. (Докажите эти свойства самостоятельно.)

Физическая интерпретация поверхностного интеграла I рода. Если F (x, y, z) ≥ 0 на Σ, то функцию F можно интерпретировать как плотность материальной поверхности Σ. Пусть {Ωi}ni=1 – произвольное разбиение области Ω. Ему соответствует разбиение поверхности Σ на

{Σi}ni=1. По теореме о среднем для двойного интеграла имеем

Z Z

S (Σi) = |[ru, rv]| du dv = |[ru, rv]|i m (Ωi) ,

Ωi

где |[ru, rv]|i – значение функции |[ru, rv]| в некоторой точке (ui, vi) Ωi. Тогда масса поверхности Σ приближенно равна

Xn

M ≈ F (xi, yi, zi) S (Σi) =

i=1

Xn

=F (x (ui, vi) , y (xi, vi) , z (ui, vi)) |[ru, rv]|i m (Ωi) .

i=1

Точное значение массы M (Σ) определяется как предел сумм в правой части при стремлении к нулю диаметра разбиения области Ω. С другой

стороны, этот предел, по определению двойного интеграла, равен

Z Z

Параметрическое представление эллипсоида можно записать в следу-

ющем виде: x = a cos ϕ sin θ, y = b sin ϕ sin θ, z = c cos θ, где 0 ≤ ϕ ≤

2π, 0 ≤ θ ≤ π. Тогда получим:

rϕ = (−a sin ϕ sin θ, b cos ϕ sin θ, 0), rθ = (a cos ϕ cos θ, b sin ϕ cos θ, −c sin θ), E = (rϕ, rϕ) = a2 sin2 ϕ sin2 θ + b2 cos2 ϕ sin2 θ,

G = (rθ, rθ) = a2 cos2 ϕ cos2 θ + b2 sin2 ϕ cos2 θ + c2 sin2 θ,

F = (rϕ, rθ) = −a2 sin ϕ cos ϕ sin θ cos θ + b2 sin ϕ cos ϕ sin θ cos θ, EG − F 2 = ¡a2 sin2 ϕ sin2 θ + b2 cos2 ϕ sin2 θ¢ ×

× ¡a2 cos2 ϕ cos2 θ + b2 sin2 ϕ cos2 θ + c2 sin2 θ¢ −

− ¡−a2 sin ϕ cos ϕ sin θ cos θ + b2 sin ϕ cos ϕ sin θ cos θ¢2 =

24.3Поверхностные интегралы второго рода

Пусть в некоторой окрестности простой поверхности Σ задано непрерыв-

ное векторное поле

a(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).

Ориентируем поверхность Σ непрерывным полем единичных нормалей

n = n(x, y, z) = (nx(x, y, z), ny(x, y, z), nz (x, y, z)) ,

где nx, ny и nz – скалярные функции – проекции вектора n на оси x, y и z, соответственно. Заметим, что для простой поверхности Σ существуют два

различных непрерывных векторных поля единичных нормалей n(x, y, z)

и −n(x, y, z). Фиксируя одно из них, мы тем самым выбираем сторону поверхности Σ. Спроектируем в каждой точке поверхности Σ вектор a

на вектор нормали n. Тогда на поверхности Σ будет определена функция

(a, n) = F (x, y, z). Заметим, что при переходе к противоположной стороне поверхности вектор нормали меняет знак, а значит, и функция F (x, y, z)

меняет знак на противоположный.

Определение. Потоком вектор-функции a(x, y, z) через ориентиро-

ванную поверхность Σ называется поверхностный интеграл I рода

Z Z Z Z

(a, n) dS = F (x, y, z) dS.

Σ Σ

Этот интеграл называют также поверхностным интегралом II рода.

В наших обозначениях n = (nx, ny, nz ), где nx, ny и nz – проекции вектора n на оси x, y и z, т. е. nx = cos (n, x), ny = cos (n, y) и nz = cos (n, z)

Z Z Z Z

(a, n) dS = [P · cos (n,dx) + Q · cos (n,dy) + R · cos (n,dz)] dS.

Σ Σ

Еще одно часто используемое обозначение поверхностного интеграла

II рода имеет такой вид:

Z Z Z Z

P dydz + Q dzdx + R dxdy ≡ (a, n) dS.

Σ Σ

Смысл этого обозначения становится понятным, если простая поверхность Σ задана в параметрическом виде r = r(u, v), где (u, v) Ω. Тогда, как было показано выше, вектор нормали N = [ru, rv], а поле единич-

При этом в левой части интеграл берется по той стороне поверхности

Σ, которая ориентирована нормалями n = [ru,rv ] . По противоположной

|[ru,rv ]|

стороне поверхности Σ поверхностный интеграл II рода будет иметь про-

тивоположный знак.

Пример. Вывести формулу для вычисления поверхностного интегра-

в случае, когда поверхность Σ задана как график функции z = z(x, y) ((x, y) Ω), а интеграл берется по верхней стороне поверхности Σ.

Запишем параметрическое представление поверхности Σ в виде x = u,

направлен вверх, т. е. поле нормалей n ориентирует верхнюю сторону

данной поверхности. Далее, имеем

P dydz + Q dzdx + R dxdy =

Σ

ZZ

=[P (u, v, z(u, v)) (−zu0 ) + Q(u, v, z(u, v)) (−zv0 ) + R(u, v, z(u, v))] dudv.

Ω