Оцінка величини межи довірчих інтервалів при підсумовуванні, відніманні, перемноженні або поділі двох середніх

У практиці мікробіологічних досліджень трапляється необхідність проробити арифметичні операції над даними окремих вимірювань. Можливе відхилення результату такої обробки не важко оцінити за допомогою статистичних методів.

Довірчий інтервал суми або різниці середніх величин а і b обчислюється за формулою:

_{а b} = t_st S (12),

где S = (13),

n_a і n_b означають відповідне число дослідів, з яких отримані середні;

t_st - коефіцієнт, що знаходиться по таблиці 2, для числа ступеней свободи (df), рівних n_a + n_b - 2.

При однаковому числі дослідів, з результатів яких обчислені обидві середні (n_a = n_b = n) формула (12) приймає вигляд:

= t_st (14)

Для розрахунку довірчого інтервалу добутку або часного від розподілу середніх (для випадку, коли n_a = n_b) застосована формула:

= t_st (15).

Приклад 9.

Вивчаючи вплив ультрафіолетових променів (УФП) на індукцію реверсій His^-  His⁺ у штама Salmonella typhimurium були одержані наступні результати:

Час опромінення	Кількість КуО на чашках
(сек)		Хср.
а) 0 (контроль)	22, 20, 24, 20, 30	23,2
б) 20 (дослід)	160, 160, 170, 130, 110	146,0

Розглянемо, на скільки в середньому виросло число бактерій - мутантів і який довірчий інтервал отриманої величини?

Для цього проведемо необхідні обчислення, скориставшись формулою (14).

= 23,2;  (x_i - )= 68,8;  = 4,15; = 122,8

= 146,0;  (x_i - )= 3892;  = 31,19;

Розрахуємо значення довірчого інтервалу для різниці двох середніх.

З цією метою визначимо значення t_st для 95% рівня імовірності та числа ступеней свободи, дорівнюючих 8 (табл. 2).

tst = 2,31

Підставивши відомі значення в формулу (14) отримаємо:

= 2,31 = 2,31 = 32,51.

Отже, дійсна величина, на яку зросла кількість клітин, що відновили здатність синтезувати гістидін з імовірністю 95% (Р=0,05) знаходиться в інтервалі 122,8  32,5, тобто від 90,3 до 155,3.

У скільки разів зросла кількість мікроорганізмів? Відповідаючи на це питання підставимо відомі величини в формулу (15).

= 2,31 = 2,31= 0,29

Таким чином, дійсна величина відношення, що виражає кратність зростання кількості мікроорганізмів, знаходиться з імовірністю 95% в інтервалі 6,29  0,29, тобто від 6,0 до 6,58.

Оцінка достовірності відмінності між двома середніми величинами

При порівнянні середніх величин умова вірогідності їх відмінності виражається формулою:

t_d  t,де t_st - коефіцієнт, що визначається з таблиці 2 в залежності від числа ступеней свободи df (df = n₁ + n₂ - 2) і вибраного рівня імовірності, а t_d - коефіцієнт, що визначається по формулах:

t_d = (16) або t_d = (17)

Приклад 10

x_i1 = 10; 7; 10; 9; 12 x_i2 = 24; 16; 27; 20; 18

За формулою 3 обчислюємо середні арифметичні:

= 10,2 = 21,0

Визначимо імовірність (Р), з якою відмінності між двома середніми є достовірними. По формулах (2) і (8) визначимо відповідно значення середніх квадратичних відхилень і помилок середніх арифметичних для та.

= 2,4 = 4,5

m=1,1 m= 2,0

Скориставшись будь-якою з формул (16 або 17) визначимо t_d. Підставимо відомі величини в формулу (16):

t_d =

За допомогою таблиці 2 визначимо значення t_st, для імовірності 95% (Р_0,05)_,

df = n₁ + n₂ - 2 = 5 + 5 - 2 = 8

t_0,05 = 2,31

Оскільки значення t_d менше, ніж t_st, то умови достовірності відмінності двох середніх (td  tst) не додержані. Отже, можна затверджувати, що з імовірністю 95% відмінності між двома середніми арифметичними не достовірні. Скориставшись таблицею 4 можна визначити більш точно, з якою імовірністю розрізнюються середні арифметичні, що досліджуються. На перетині стовпців значень t =2,1 і df = 8 знаходимо значення імовірності (Р). Р = 0,926 або 92,6%.

Таким чином можна вважати що дві середні величини розрізнюються один від одної з імовірністю 92,6%.