3. Признак сравнения в предельной форме

Пусть неотрицательные функции иинтегрируемы по любому отрезкуи пусть существует конечный. Тогда несобственные интегралыисходятся или расходятся одновременно.

Сравнение интеграла со "стандартным" интеграломв предельной форме даёт правило: если принеотрицательная функция– бесконечно большая порядка роста ниже первого по сравнению с, тосходится; еслиf(x) имеет порядок роста единица или выше, то интеграл расходится.

Типовые примеры

1. .

►Так как при , и интеграл от большей функции сходится, то данный интеграл сходится; ◄

2. .

►При  ,, интеграл расходится; ◄

3. .

►При  ,, интеграл расходится; ◄

4. .

►При  , интеграл расходится.◄

4. Несобственный интеграл от неограниченной функций называетсяабсолютно сходящимся, если сходится интеграл , иусловно сходящимся, если интеграл сходится, а интегралрасходится (если сходится, тотоже обязательно сходится).

Типовой пример

Исследовать на сходимость интеграл:

►Так как , то исходный интеграл сходится абсолютно. ◄

5. Главное значение

Пусть имеет особенность в точке. Тогда несобственный интеграл определяется равенством=+=

Если хотя бы один из интегралов, стоящих в правой части, расходится, то интеграл тоже расходится.

Но тогда можно рассмотреть предел . Если этот предел существует, то его называют главным значением интегралаи обозначают.

Типовой пример

Вычислить интеграл .

►Интеграл является несобственным, т.к. при подынтегральная функция не существует.

т.е. интеграл существует в смысле главного значения. ◄

Глава I V. Кратные интегралы

§1. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла

1. Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей (причем теми же символамибудем обозначать и площади соответствующих частей), а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначимd₁, d₂, ..., d_n. Величину d_i будем называть максимальным диаметром подобласти . Выберем в каждой частиточкуР_i (рис.1).

Рис.1.

Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P₁), f(P₂),…, f(P_n) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(P_i)ΔS_i :

. (1)

Сумма вида называется интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Замечание

С геометрической точки зрения (при ) интегральная сумма (1) представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями ΔS_i и высотами f(P_i).

Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при и, не зависящий ни от способа разбиения областиD на части, ни от выбора точек P_i в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

. (2)

В этом случае функция f (x,y) называется интегрируемой в области D, область D – областью интегрирования, х и у – переменными интегрирования, dxdy = dS – элементом площади.

Замечание

Для выяснения вопроса об условиях интегрируемости функции двух переменных можно по аналогии со случаем определенного интеграла ввести понятие верхней и нижней интегральных сумм, выбирая в каждой части области D точки, значение функции в которых является наибольшим и наименьшим для данной части. Тогда можно доказать, что необходимым и достаточным условием интегрируемости функции f(x, y) является, во-первых, ее ограниченность на D, а во-вторых, условие

(3)

где τ – некоторое разбиение, а S_τ и s_τ – соответственно верхняя и нижняя интегральные суммы. Доказательство этого утверждения проводится так же, как для случая определенного интеграла.

Замечание

Аналогично одномерному случаю можно доказать еще одно утверждение: если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема по этой области.