Глава I. Неопределеннный интеграл

§1. Определение. Общие приемы и методы интегрирования

1. Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной заданной функции. Различные вопросы математики и прикладных наук приводят к решению обратной задачи – восстановлению функции по ее производной.

Пусть дана функция . Функцияназываетсяпервообразной для подынтегральной функции , еслиявляется производной для функции, т.е.и.

Если является первообразной для, то и, где– произвольная константа, также будет являться первообразной для, поскольку производная от константы равна нулю. Совокупность всех первообразных функций для функцииназываетсянеопределенным интегралом и обозначается . Таким образом,.

Геометрически неопределенный интеграл можно интерпретировать как бесконечное множество кривых , сдвинутых относительно друг друга на произвольную константу вдоль оси.

2. Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

.

2. Неопределенный интеграл от производной равен сумме самой функции и произвольной постоянной:

.

3. Постоянный множитель () можно выносить за знак неопределенного интеграла:

.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Нахождение первообразной и неопределенного интеграла от данной функции называютинтегрированием этой функции.

3. Таблица основных интегралов

1) , (),	10) , (),
2) ,	11) , (),
3) ,	12) , (),
4) ,	13) , ()
5) ,	14) , ()
6) ,	15) ,
7) ,	16) ,
8) ,	17) ,
9) ,	18) ,

Отметим, что если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т.е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций.

Например, доказано, что следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях:

–интеграл Пуассона;

–интегралы Френеля;

–интегральный логарифм;

–интегральный косинус;

–интегральный синус.

Указанные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. Имеются другие способы для их вычисления. Например, интегральный синус можно представить в виде бесконечного степенного ряда

.

4. Методы интегрирования

4.1. Непосредственное интегрирование

Наиболее просто находится неопределенный интеграл в том случае, когда с помощью простых преобразований (выполнение каких-либо арифметических действий, применение стандартных формул алгебры и геометрии и т.д.) удается записать подынтегральную функцию в виде суммы нескольких функций, неопределенные интегралы от которых известны.

Типовой пример

. ►,

(где – произвольная постоянная). ◄

В этом примере мы сначала возвели в квадрат подынтегральную функцию, затем воспользовались свойством 4 неопределенного интеграла и заменили интеграл от суммы функций суммой интегралов от слагаемых. Далее, во втором из полученных интегралов мы вынесли за знак интеграла постоянный множитель (свойство 3 неопределенного интеграла). В итоге получили сумму трех табличных интегралов.

Замечание

При нахождении суммы интегралов принято сразу писать одну произвольную постоянную.

Типовой пример

.

►

.

Здесь нам удалось записать интеграл в виде суммы табличных интегралов после почленного деления числителя на знаменатель. ◄

Типовой пример

.

►.

В этом примере мы сначала воспользовались определением функции и записали подынтегральную функцию в виде дроби. Потом заменили числитель на разность (использовали основное тригонометрическое тождество). Разделив почленно числитель на знаменатель, мы получили под интегралом разность двух функций, интегралы от которых являются табличными. ◄

4.2. Интегрирование методом подстановки или замены переменной

Метод подстановки заключается в том, что переходя от переменной к новой переменнойс помощью равенстваили, гдеи- некоторые дифференцируемые (за исключением, быть может, конечного числа точек) функции, получаем более простую подынтегральную функцию, интеграл от которой вычислить легче, чем от исходной функции. Итак, имеем формулузамены переменной:

,

где , причем должна существовать обратная функция .

Типовой пример

Вычислить интеграл .

►Здесь необходимо упростить аргумент синуса, поэтому делаем подстановку: . После подстановки исходный интеграл сводится к табличному:

В этом примере мы использовали подстановку , где. ◄

Типовой пример

Вычислить интеграл .

►Выполним подстановку: ; .

В результате интеграл запишется в виде:

.

В данном примере использовалась подстановка , где.◄

Типовой пример

.

►Применим подстановки: и воспользуемся формулой замены переменной:

◄

Интегрирование методом внесения функции под знак дифференциала заключается в приведении подынтегрального выражения к виду, где– некоторая функция от, а– функция, более простая для интегрирования, чем.

Типовой пример

.

►Так как , то интеграл можно записать в виде

.◄

Типовой пример

.

►Заметим, что . Поэтому интеграл можно переписать в виде

.◄

В рассмотренных примерах нам довольно легко удалось преобразовать подынтегральное выражение к требуемому виду. Однако так бывает не всегда. В связи с этим следует заметить, что внесение функции под знак дифференциала можно рассматривать как замену в подынтегральном выражении дифференциалана выражение. Действительно, так как, то. Такой подход полезен, если не удается сразу выделить в подынтегральном выражении множитель.

Типовой пример

.

►Внесем под знак дифференциала функцию . При этом интеграл запишется в виде

.◄

Типовой пример

.

►Внесем под знак дифференциала функцию . В результате получим

.◄