2. Процесс ортогонализации базиса

Пусть даны линейно независимых векторов. Для построения по этим векторампопарно ортогональных векторовнеобходимо провести следующую процедуру ортогонализации. Положим вначале. Затем векторбудем искать в виде.

По условию ортогональности . Следовательно,откуда. Предположим, что уже построеноортогональных векторов. Будем искатьв виде

.

По условию вектор должен быть ортогонален, что даётуравнений для определениянеизвестных. Выпишем эти уравнения с учётом ортогональности векторов:

откуда получим

Типовые примеры

1. В евклидовом пространстве построить ортонормированный базис по данному

►Проведём вначале ортогонализацию, т.е. построим ортогональный базис . Проверим прежде всего, нет ли среди векторовортогональных. Вычислим:

.

Откуда следует, что векторы иортогональны. Они сразу входят в состав ортогонального базиса.

Далее определим , пользуясь процедурой ортогонализации. Ищемв виде.

Из условий ортогональности имеем

.

Таким образом Теперь отнормируем базис, т.е. переведём его в ортонормированный базис, получим

◄

2. Дополнить до ортогонального базиса пространства систему векторов

►Вначале ортогонализируем . Положим. Исходя из условия ортогональности имеем.

Построим . Пусть. По условиям ортогональности, откуда имеем

.

Общее решение полученной системы есть

ФСР строится стандартным способом и состоит из двух линейно независимых решений:

Вектор ортогонален векторами, следовательно, входит в ортогональный базис. Вектортакже ортогонален, но не ортогонален. Действительно

.

Проверим теперь, является ли система векторов линейно независимой. Для установления факта зависимости (независимости) этих векторов вычислим определитель, составленный из их координат

Неравенство нулю этого определителя означает, что однородная система уравнений для коэффициентов линейной комбинации рассматриваемых векторов имеет лишь тривиальное решение. Следовательно, векторы линейно независимы и составляют базис в пространстве. Остаётся теперь ортогонализировать вектор. Следуя стандартной процедуре, ищемв виде

Таким образом окончательно в качестве ортогонального базиса в имеем.◄

3. Матрица Грамма.Матрицей Грамадля системы векторовназывается симметричная матрица вида

,

где .

Утверждение

Скалярное произведение векторов и, заданных в базисе, вычисляется по фор­муле

,

где - матрица Грама для системы векторов.

Подмножество евклидова пространства Еⁿ вида

,

где - линейно независимые векторы, называетсяk-мерным параллелепипедом, построенным на векторах .

Утверждение

Объем k-мерного параллелепипеда, построенного на векторах , равен квадратному корню из определителя матрицы Грама для системы векторов.

4. Ортогональное разложение векторов. Говорят, что векторортогонален к подпро­странству, если векторортогонален любому вектору из этого подпространства.

Ортогональным дополнением к подпространству из евклидова пространства называется множество всех век­торов из , ортогональных подпространству . Обозначается.

Пусть вектор представлен в виде, где, а , тогда вектор называетсяортогональной проекцией вектора на подпространство, векторназывается ортогональной составляющей вектораотносительно подпространства, число называется расстоянием от вектора до подпространства, а угол между векторамииназывается углом между вектороми подпространством.

Утверждение

Ортогональное дополнение к подпространству из евклидова пространства само является подпространством евклидова пространства .

Утверждение

Сумма подпространств + является прямой суммой.

Утверждение

Если – некоторое подпространство евклидова пространства , то справедливо равенство +=.

Типовой пример

Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство, порождённое векторами

.

►Вначале определим базис данного подпространства. Проверим, являются ли линейно независимыми векторы . Условие линейной независимости (зависимости) данных векторовпредставляет собой систему уравнений относительно коэффициентов. Найдём решение этой системы с помощью элементарных преобразований её матрицы:

Как видно, ранг системы равен 3, определитель системы отличен от нуля. Следовательно, однородная система трёх уравнений для трёх неизвестных имеет лишь тривиальное решение: .

Таким образом векторы линейно независимы и составляют базис заданного подпространства. По определению вектор, представляющий ортогональную проекциюна подпространство, принадлежити ортогонален. Эти условия приводят в итоге к системе уравнений для координатвекторав базисеподпространства:, где- элементы матрицы Грамма. В соответствии с формулами Крамера решение этой системы имеет вид

где - определитель матрицы Грамма системы базисных векторов, а - определитель, полученный из определителя Грамма заменой -го столбца на столбец из свободных членов выписанной системы уравнений.

В рассматриваемой задаче элементы матрицы Грамма равны

Элементы столбца свободных членов: .

Учитывая это, для определителей имеем

Откуда . Таким образом, для ортогональной прекции вектора на подпространство получим ◄

Пример

Предприятие выпускает четыре вида продукции в количествах 50, 80, 20, 120 ед. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 7; 3,5; 10 и 4 кг. Определить суммарный расход сырья и его изменение при изменении выпуска продукциисоответственно на +5, -4, -2, +10 ед.

►Введем следующие векторы: вектор выпуска продукции и вектор расхода сырья. Тогда суммарный расход сырьяесть скалярное произведение векторови:(кг).

Пусть - вектор изменения выпуска продукции. Найдем изменение суммарного расхода сырья, используя свойства скалярного произведения векторов:.

Итак, (кг).◄